Chuprigin_O_A_-_Matematicheskiy_analiz_predel_nepreryvnost_differentsiruemost_pdf

следовательность имеет бесконечный предел или стремится к бесконечности ( ; ).

В связи с введением понятия «бесконечный предел», условимся предел в ранее определенном смысле (см. п. 2.1.2) называть конечным пределом.

Очевидно, что всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Однако неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой (например,

xn [1 ( 1)ï]ï).

В заключение укажем простую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.

Теорема. Пусть xn 0 п. Тогда:

à) åñëè (xn) — бесконечно большая, òî yn 1 / xn будет беско-

нечно малой;

á) åñëè (xn) — бесконечно малая, òî yn 1 / xn будет бесконечно большой.

а) Пусть (xn) — бесконечно большая. Возьмем 0 и положим E 1 / . По данному E 0 N : n N | xn| E. Тогда

2.4. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

Вычислим пределы некоторых часто встречающихся последовательностей, которые полезно запомнить. Все доказательства будут базироваться на определении предела, теореме о сжатой переменной и формуле бинома Ньютона.

Справедливы следующие утверждения:

2)Åñëè õn 1 ï è lim xn 0, òî p1 xn 1, p ;

3)lim nn 1;

92

lim (1 n) 1 lim n 1.

4)Для любого à 0, начиная с некоторого номера, выполня-

êпределу в этом двойном неравенстве.

5)Åñëè q 0, то утверждение тривиально. При q 0 достаточ- но в определении предела взять N lg / lg | q |.

93

6) Òàê êàê à 1, то справедливо представление à 1 r, ãäå r 0. Пусть k — такое натуральное число, что k p. Äëÿ ï 2k имеем ï k n / 2, следовательно,

âñèëó 1) (âåäü k p 0).

7)Докажем соотношение при 1, тогда оно будет верно и

Осталось заметить, что в силу 5) lim qn 0, òàê êàê 0 q 1.

9) Выберем 0. Обозначим через à число 1 / , т. е. 1 / à. Òàê êàê lim an / n! 0 a, òî N : n N an / n! 1 èëè an n!.

А тогда n N получим

94

Заключительное замечание. Пусть (õn) è (yn) — бесконечно большие последовательности. Если lim õn / yn 0 (или, что то же самое, lim yn / õn ), то говорят, что (yn) имеет более высокий порядок роста, ÷åì (õn), и пишут õn yn. Рассмотренные выше примеры 6), 7), 8) приводят к следующим результатам, которые полезно запомнить:

logan np an n!, p 0, a 1.

Отступление. Равенство 6) особенно эмоционально воспринимается начинающими при конкретном выборе постоянных a è p. Например, утверждение

где многоточие заменяет любое количество нулей, всегда вызывает у первокурсников недоумение, поскольку при начальных значениях n члены последовательности возрастают и становятся «очень большими» по величине.

2.5. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПРЕДЕЛОВ И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

При рассмотрении (см. п. 2.2) пределов выражений xn yn, xn yn, xn / yn

мы предполагали, что обе последовательности (õn) è (yn) сходятся, причем в случае частного lim ón 0. Остались без внимания случаи, когда по крайней мере одна из последовательностей, составляющих арифметическую комбинацию, является бесконеч- но большой или — если речь идет о частном — lim ón 0. На этих особых случаях мы сейчас и остановимся.

2.5.1. Частное õn / yn

Не вызывают трудностей при рассмотрении предела частного xn / yn следующие утверждения:

à) åñëè õn à, à yn , òî lim õn / yn 0

(действительно, xn / yn xn (1 / yn); последовательность (õn) îãðà-

ничена по теореме 2 (см. п. 2.2), а (1 / yn) — бесконечно малая (см. п. 2.3); произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность);

95

á) åñëè õn , à yn à 0, òî lim xn / yn ; â) åñëè õn , à yn 0, òî lim xn / yn

(доказательства утверждений б) и в) тривиальны). Перечисленные случаи символически записывают следую-

щим образом:

à) à / 0; á) / à ; â) / 0 .

2.5.1.1. Неопределенность вида 0 / 0

Пусть õn 0 è yn 0. В этом случае о пределе отношения õn / yn мы не можем сделать никакого общего заключения, не зная самих величин õn è yn. Отношение двух бесконечно малых последовательностей может быть бесконечно малой, бесконечно большой, иметь пределом число, отличное от нуля, а может и вовсе не иметь предела. Например:

åñëè õn 1 / ï2 0, yn 1 / ï 0, òî õn / yn 1 / ï 0; åñëè õn 1 / ï 0, yn 1 / ï2 0, òî õn / yn ï ;

åñëè õn 1 / ï 0, yn 2 / ï 0, òî lim õn / yn 1 / 2; åñëè õn ( 1)n / n 0, yn 1 / ï 0, òî lim õn / yn lim ( 1)n —

не существует.

Âсвязи с этим говорят, что отношение бесконечно малых,

ò.å. õn / yn ïðè õn 0 è yn 0, представляет собой неопределенность âèäà 0/0. Åñëè lim (õn / yn) найден или установлено, что он не существует, то говорят, что неопределенность раскрыта.

2.5.1.2. Неопределенность вида /

Пусть õn è yn . В этом случае мы также никакого общего заключения о пределе частного õn / yn сделать не можем. Отношение двух бесконечно больших õn / yn может давать бесконечно большую, бесконечно малую или расходящуюся последовательность (соответствующие примеры легко указать). Поэтому говорят о неопределенности вида / и о раскрытии ее.

2.5.2. Произведение õn yn

В этом случае не вызывает трудностей доказательство следующих утверждений:

åñëè õn , yn , òî õn yn (в символической записи

);

åñëè õn , yn à 0, òî õn yn (в символической записи a ).

96

2.5.2.1. Неопределенность вида 0

Пусть õn 0, à yn . В этом случае произведение õn yn может иметь конечный предел (например, xn a / n, yn n), бесконечный предел (например, xn 1/ n, yn n2) или вовсе не иметь

предела (например, xn ( 1)n/ n, yn n). Таким образом, при

õn 0, à yn мы говорим о неопределенности вида 0 .

2.5.3. Сумма õn yn

Легко заметить, если õn , à yn à, òî õn yn . В частности, если õn ( ), òî õn yn ( ).

2.5.3.1. Неопределенность вида

Пусть õn è yn являются бесконечно большими разных знаков. Тогда ничего определенного нельзя сказать о пределе суммы xn yn (достаточно, в подтверждение сказанному, рассмотреть примеры:

1)õn ï, yn ï à;

2)õn 2ï, yn ï;

3)õn ï ( 1)ï, yn ï).

Следовательно, в этом случае мы будем иметь неопределенность, которая обозначается символом .

Вывод. При рассмотрении суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей мы можем встретить неопределенности следующих видов:

0 / 0, / , 0 , .

Пример 1. Найти lim Pm(n), ãäå Pm(n) есть многочлен степени ò:

n

Ðò(ï) à0 ïò à1 ïò 1 ... àò (à0 0).

Если бы все коэффициенты многочлена были положительны (отрицательны), то, очевидно, lim Ðò(ï) ( ). При разных знаках коэффициентов налицо неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности представим Ðò(ï) â âèäå

Ðò(ï) ïò (à0 à1 / ï à2 / ï2 ... àò / ïò). Выражение в скобках имеет пределом à0 0, множитель ïò ,

следовательно, lim Ðò(ï) равен ( ), в зависимости от знака à0.

97

Qk(n) b0nk b1nk 1 ... bk (a0 % 0, b0 % 0).

Как установлено в предыдущем примере, числитель и знаменатель являются бесконечно большими, следовательно, отно-

шение Pm(n) представляет собой неопределенность вида / / /. в числителе ïò, а в знаменателе ïk,

Второй множитель (т. е. дробь) имеет пределом (à0 / b0) % 0. Предел первого множителя ïò–k зависит от соотношения чисел m è k:

åñëè m - k, òî ïò–k . /; åñëè m k, òî ïò–k . 0; åñëè m k, òî nm k 1 . 1. Таким образом,

Замечание. При решении примера 2 можно было бы поступить иначе: поделить числитель и знаменатель на ïp, ãäå p max(m; k). Посредством этой операции при m k мы бы сразу нашли искомый предел, а при m k свели бы неопределенность / / / к известным случаям (см. п. 2.4.1), записываемым символически в виде 0 / / или / / 0.

98

Пример 3. Найти lim n(n2 1 n).

n

Мы имеем неопределенность вида 0 . Для ее раскрытия переведеì èððациональность в знаменатель, домножив и разде-

Практическая рекомендация. Часто используемыми приемами раскрытия неопределенности вида / (и других) являются следующие: деление числителя и знаменателя на самое быстро растущее слагаемое (в примерах 1 и 2 — это старшая степень многочлена); перевод иррациональности из числителя в знаменатель и наоборот (пример 3), тождественные преобразования выражения и использование известных пределов (см. п. 2.4).

2.6. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

2.6.1. Признак сходимости монотонной последовательности

Последовательность (xn) называется невозрастающей (неубывающей), åñëè ï õn 1 õn (õn 1 õn). Åñëè ï выполняются строгие неравенства õn 1 õn (õn 1 õn), то последовательность называют убывающей (возрастающей).

Невозрастающие и неубывающие последовательности, а также возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называют также строго монотонными.

Для монотонных последовательностей существует простой признак сходимости.

Теорема 1 (Вейерштрасса). Всякая неубывающая (невозрастающая) последовательность, ограниченная сверху (снизу), сходится.

Предварительное замечание. Отметим следующие два момента: 1) в теореме требуется ограниченность последовательности только с одной стороны, поскольку неубывающая последовательность всегда ограничена снизу (невозрастающая — сверху), сво-

им первым членом;

99

2) известно (см. п. 2.2), что любая сходящаяся последовательность ограничена, однако не всякая ограниченная последовательность является сходящейся (например, õn ( 1)ï). Оказывается, что для монотонной последовательности ограниченность является не только необходимым, но и достаточным условием сходимости. Таким образом, теореме 1 можно придать следующий вид.

Теорема 2. Для того чтобы монотонная последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной.

Пусть (õn) — некоторая неубывающая последовательность, ограниченная сверху. Тогда множество {õn} ее значений имеет точную верхнюю границу sup{õn}. Покажем, что число à sup{õn} является пределом (õn). Действительно, по определению супремума, во-первых, õn à ï и, во-вторых, 0 существует элемент последовательности, скажем, õN такой, что õN à . Ввиду монотонности последовательности (здесь мы впервые на это опираемся) ï N õn õN. Следовательно, ï N имеем

à õn õN à èëè 0 õn à ,

откуда | õn à | .

А это означает, что lim xn à.

Аналогично доказывается, что пределом невозрастающей по-

щая) последовательность (xn) не ограничена сверху (снизу), то

lim xn ( ).

Условимся в следующем обозначении: если (xn) — неубывающая (невозрастающая) последовательность, сходящаяся к пределу à, то будем писать xn à (xn à).

Следствие. Åñëè xn a, òî xn a n;

åñëè xn a, òî xn a n.

Доказанная теорема является типичной «теоремой существования», ибо она устанавливает лишь факт существования предела монотонной последовательности и не дает практических рекомендаций для его отыскания. Однако во многих случаях именно установление факта сходимости последовательности позволяет легко найти ее предел. Подтвердим сказанное характерными примерами.

100

Пример 1. Доказать сходимость последовательности õn an n !

(à 0) и найти ее предел (см. п. 2.4).

Òàê êàê

òî ïðè ï à 1 последовательность (õn) становится убывающей. Кроме того, она ограничена снизу (õn 0 ï), значит, по теореме 1 существует конечный предел lim xn ñ. Для нахождения ñ перей-

Замечание 2. Точно таким же путем, используя соответствующие рекуррентные соотношения, можно найти (см. п. 2.4) пределы последовательностей xn qn (| q | 1), xn np / an (a 1) и др. Однако такой эффективный во многих случаях прием не всегда ведет к цели.

n 1

Рассмотрим, например, последовательность xn k 1 k2 . Ýòà

последовательность, очевидно, возрастает и ограничена сверху, ведь для любого ï 2

101