Малые_колебания.pdf_(310_Кб)

2

Следовательно, в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия имеет локальный минимум. Выберем начало координат в точке q0 и будем отсчитывать потенциальную энергию от ее значения в минимуме. Тогда выражение (2) будет начинаться с члена, квадратичного по смещениям. Если ограничиться в разложении потенциальной энергии по степеням смещения этим квадратичным слагаемым, то получится приближение, называемое

гармоническим (также линейным):

Для получения кинетической энергии в том же (гармоническом) приближении нужно иметь в виду, что выражение (1) уже содержит в качестве множителя величину второго порядка малости q2. Поэтому в разложении зависящего от координаты коэффициента a(q) =

a(q0) + dadq(q)j0 x + ::: следует удержать нулевой член a(q0) m. Постоянная m a(q0) обязана быть положительной (как и функция a(q)), т.к. в противном случае при прохож-

дении положения равновесия с отличной от нуля скоростью q система имела бы нулевую или отрицательную кинетическую энергию. Следовательно, в гармоническом приближении кинетическая энергия имеет вид:

Объединяя приближенные выражения (3) и (4), получаем функцию Лагранжа в гармоническом приближении:

Заметим следующее:

Постоянные k и m определяются приведенными выше формулами и в общем случае не являются жесткостью какой-либо пружины и массой какой-либо частицы (последнее имеет место в частном случае грузика на пружинке при малых ее деформациях).

Механическая система, лагранжиан которой имеет вид (5), называется гармоническим осциллятором.

В приведенных выше разложениях для потенциальной и кинетической энергий членами одного порядка малости являются слагаемые, имеющие одинаковые степени произведений смещения x и скорости x. Например, члену третьего порядка в разложении

1 d3U

потенциальной энергии 3! dx3 jq0 x3 в кинетической энергии соответствует слагаемое

da(q)

dq jq0 xx2 и т.д. При учете в разложениях членов более высоких порядков получается ангармонический осциллятор.

4

С помощью формулы (6) находится искомая частота.

При заданных начальных условиях определяются амплитуда и начальная фаза колебаний.

Как правило механические системы характеризуются некоторыми параметрами. Нередко при определенных сочетаниях этих параметров оказывается, что в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия имеет минимум более высокого порядка. Это значит, что вторая производная потенциальной энергии в положении равновесия обращается в нуль и гармонического приближения не существует. Для исследования движения в таких случаях неизбежно рассмотрение приближений, следующих за гармоническим. В материале ”Период колебаний при вырождении”, размещенном на сайте физфака (страничка кафедры теоретической физики, папка ”Теоретическая механика”), показано, как можно найти частоту колебаний в таком случае.

1.2Задачи

Задача 1

Определить положение устойчивого равновесия и частоту малых колебаний точки массой m, способной двигаться по гладкой прямой и прикрепленной к пружине жесткостью k, другой конец которой закреплен в точке A на расстоянии b от прямой (рис. 1). Длина пружины в нерастянутом состоянии равна l0.

Решение. В качестве обобщенной координаты точки выберем декартову координату q, отсчитываемую от точки O вдоль прямой. Поскольку это декартова координата, то кинетическая энергия точки равна

Определим положение устойчивого равновесия частицы на прямой, потребовав обраще-

p

Это уравнение имеет следующие решения: 1. q1 = 0 и

5

p

2. q2;3 = l02 b2:

Заметим, что второе решение при b > l0 оказывается мнимым и не имеет смысла.

Для выяснения характера экстремума потенциальной энергии в найденных точках вы-

При b > l0 вторая производная положительна в точке q1, а решение q2 мнимое. Поэтому в данном случае положением устойчивого равновесия является точка q1. Частота колебаний

r

вблизи этого положения в соответствии с (6) равна !1 = k(1 lb0 )=m.

При b < l0 вторая производная положительна в точках q2;3, симметрично расположенных относительно точки O, которые и являются при этом условии положениями устойчивого равновесия. В точке q1 вторая производная отрицательна и отвечает положению неустойчивого равновесия – колебания вблизи нее невозможны. Частоты колебаний вблизи положений

s

q2;3 = pl02 b2 одинаковы и равны !2 = k(1 b2 )=m.

l02

При b = l0 оба решения уравнения (11) совпадают: q1 = q2;3 = 0, а вторая производная в этой точке O обращается в нуль. Следовательно, при данном условии в точке O имеется минимум потенциальной энергии не второго, а более высокого порядка. Гармонического приближения в данном случае не существует и нужно рассматривать следующие приближения. Поскольку в нашем случае коэффициент перед квадратом скорости в кинетической энергии не зависит от координат (см.(9)), то разложению до первого неисчезающего члена подлежит только потенциальная энергия. Легко проверить, что это будет член степени 4 по отклонениям от положения равновесия (в точке минимума старший член разложения не может иметь нечетную степень!). В таком случае для нахождения частоты колебаний полученного ангармонического осциллятора можно воспользоваться результатами упомянутого выше материала ”Период колебаний при вырождении”.

Задача 2 (КС 5.3)

Частица массы , несущая заряд q, может двигаться в поле тяжести по вертикальной окружности радиуса R. В нижней части окружности закреплен заряд q. Найти положение равновесия и частоту малых колебаний частицы (рис. 2).

Решение. Выберем в качестве обобщенной координаты подвижного заряда угол ' (см. рисунок). Кинетическая энергия частицы

6

как и в предыдущей задаче не зависит от координаты ' – функция a(') = R2 сводится к

постоянной m (заметим, однако, что она не совпадает с массой частицы).

Потенциальная энергия частицы состоит из ее потенциальной энергии U1 в поле тяжести и потенциальной энергии U2 взаимодействия двух точечных зарядов. Выберем начало отсчета для U1 в нижней точке окружности. Тогда U1 = gR(1 cos '). Потенциальная энер-

единицах СГСЭ). Складывая оба выражения, находим потенциальную энергию подвижного заряда

Удобно выразить sin ' через половинный угол и представить необходимое условие минимума в виде

1.'1 = (верхняя точка окружности) и

2.'2 = 2(arcsin x0)1=3: Так как sin3 '22 = x0, то это решение существует только при x0 1.

Для выяснения характера экстремумов при разных значениях x0 найдем вторую производную (при этом удобнее использовать выражение (15)):

Подставляя в это выражения '1 и '2, получим вторые производные потенциальной энергии

При x0 > 1 существует только одно решение '1 = . Так как в этом случае вторая производная k1 положительна, то верхняя точка окружности является положением устойчивого

жительна вторая производная k2, то положением устойчивого равновесия является точка

весия.

Как и в предыдущей задаче имеется особый случай x0 = 1, когда оба решения уравнения (16) совпадают: '1 = '2 = . Вторая производная потенциальной энергии в этой точке обращается в нуль и гармонического приближения не существует (как легко проверить имеется минимум 4-го порядка). Так как и в этой задаче кинетическая энергия не зависит от координаты, то для нахождения частоты колебаний можно снова использовать результат материала ”Период колебаний при вырождении”.

2Вынужденные одномерные колебания

2.1Теория

см. § 22 учебника ЛЛ.

2.2Задачи

Задача 1 (ЛЛ § 22, № 1)

Определить вынужденные колебания системы под влиянием силы F (t), если в начальный момент t = 0 система покоится в положении равновесия (x = 0; x = 0) для случаев

а)F = const = F0

Решение. Общее решение уравнения вынужденных колебаний x• + !2x = m1 F (t) является суммой общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного: x(t) = x1(t) + x2(t). Так как однородное уравнение, т.е. x• + !2x = 0, – это рассмотренное выше уравнение свободных колебаний, то x1 = a cos(!t + ). Частное же решение уравнения

можно искать в виде x2 = b, где b = const. Подстановка этой постоянной в уравнение (18) дает для нее значение

Оно описывает гармонические колебания с частотой !, амплитудой a и начальной фазой , которые совершаются вокруг смещенного положения равновесия m!F0 2 .

Второму из этих соотношений можно удовлетворить, положив = 0. Из первого соотноше-

отличается от уравнения движения предыдущей задачи только правой частью, то остается найти удовлетворяющее ему частное решение. Снова попробуем функцию того же типа, что и в правой части уравнения, а именно x2 = ct; где c = const. Подстановка этого пробного

Для отыскания амплитуды колебаний a и начальной фазы используем начальные усло-

Первому из них можно удовлетворить, положив = =2. Из второго соотношения находим

Этот закон движения соответствует гармоническим колебаниям с частотой ! около поло-

9

Задача 2 (ЛЛ § 22, № 2)

Определить конечную амплитуду колебаний после действия внешней силы, меняющейся по закону F = 0 при t < 0; F = F0 t=T при 0 < t T; F = F0 при t > T (рис. 3). До момента t = 0 система покоится в положении равновесия.

Решение. В промежутке 0 < t T сила меняется по линейному закону – так же, как в задаче 1б, а при t > T она постоянна, как это было в задаче 1а. Общие решения уравнений движения для обоих режимов изменения силы, полученные в этих задачах, могут быть использованы здесь. Более того, решение (24) задачи 1б было получено при тех же начальных условиях, что и в данной задаче. Поэтому в промежутке 0 < t T его можно использовать, заменив только постоянную b на F0=T . Однако непосредственно воспользоваться решением (21 для постоянной внешней силы нельзя, т.к. оно было было получено для нулевых начальных условий, а теперь в момент времени T , когда сила становится постоянной, система не находится в начале координат и, вообще говоря, движется.

Найти новое частное решение для t > T можно, если учесть, что состояние системы в этот момент времени (как и в любой другой) должно изменяться непрерывно: непрерывность координаты следует из непрерывности движения, а непрерывность скорости вытекает из свойства инерции – скорость не может изменяться скачком. Поэтому следует, как говорят,

сшить оба решения в момент времени T , потребовав совпадения состояний (т.е. координат

где учтено, что теперь движение по такому закону начинается не в момент времени t = 0, а в момент времени T . Скорость при таком движении изменяется по закону x = a! sin[!(t T ) + ]. Потребуем теперь, чтобы при t = T оба решения непрерывно переходили друг в друга вместе с первыми производными (т.е. скоростями):

Отсюда находим искомую амплитуду колебаний jaj = m!2F30T j sin !T2 j. Отметим, что она тем меньше, чем медленнее ”включается” сила (т.е. чем больше T ). При T ! 0 амплитуда стремится к m!F0 2 – известному из задачи 1а результату. Кроме того, амплитуда обращается

в нуль, если T = 2!k , где k – целое число (отличное от нуля).

10

Задача 3 (ЛЛ § 22, № 3)

То же для постоянной силы F), действующей в течение ограниченного времени T (рис. 4).

Решение. Эту задачу можно решить тем же способом, что и предыдущую, – сшивкой известных решений, но мы используем общий метод, изложенный в конце § 22 учебника ЛЛ.

Для этого объединим координату x и скорость x системы в одну комплексную перемен-

ную x + {!x. Тогда исходное уравнение движения x• + !2x = m1 F (t), являющееся дифференциальным уравнением 2-го порядка для действительной переменной x, превратится в уравнение 1-го порядка относительно комплексной переменной :

При этом, несмотря на переход к комплексной переменной, сила F (t) как и прежде остается вещественной функций времени (это важно для дальнейших преобразований).

Если бы правая часть этого неоднородного уравнения была равна нулю, то общее решение получившегося в результате однородного уравнения имело бы вид (t) = Ae{!t, где A

– некоторая постоянная. Общее решение неоднородного уравнения можно получить варьированием этой произвольной постоянной, полагая (t) = A(t)e{!t. Подставляя это пробное решение в уравнение (27), находим для функции A(t) уравнение с разделяющимися пере-

Положив в этом решении t = 0, находим (0) = 0, что оправдывает принятое обозначение для постоянной интегрирования – она полностью определяется начальным положением и начальной скоростью системы.

Полученное решение позволяет в принципе найти закон движения при любой зависимости вынуждающей силы F (t) от времени (если удастся вычислить интеграл!). Если вынуждающая сила действует в течение промежутка времени 0 < t < T , а движение рассматрива-

ется после окончания ее действия, как это имеет место в нашей задаче, то

В данном случае выражение в скобках представляет собой некоторую комплексную постоянную