Инерциальные_свойствава_твердого_тела.pdf_(182_Кб) / metod_mehanika / Инструкции к лабораторным работам / Механика старые / 20. Маятник Максвелла

Работа 20. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ

И ПРОВЕРКА ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

ПРИ ПОМОЩИ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА

Задание: определить момент инерции маятника Максвелла с предельной относительной погрешностью , не превышающей 5 %.

Рис. 1

Оборудование и принадлежности: установка для проведения измерений, линейка, микрометр.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Общий вид установки показан на рис. 1. На вертикальной стойке 3 основания 1 крепятся два кронштейна: верхний 4 и нижний 5. На верхнем кронштейне находится электромагнит 6, фотоэлектрический датчик 7 и устройство 8 для крепления и регулировки длины бифилярной подвески маятника. Нижний кронштейн вместе с прикрепленным к нему фотоэлектрическим датчиком 9 можно перемещать вдоль стойки и фиксировать в произвольно выбранном положении.

Маятник представляет собой диск 11, закрепленный на стержне 10, подвешенном на двух нитях. На диске крепятся сменные кольца. Маятник фиксируется в верхнем исходном положении с помощью электромагнита. На вертикальной стойке нанесена миллиметровая шкала, по которой определяется ход маятника.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

Рис. 2

Измерение момента инерции маятника Максвелла. Маятник Максвелла представляет собой диск, жестко посаженный на цилиндрический стержень и подвешенный на двух параллельных нитях (бифилярный подвес, рис. 2). Закручивая нити на стержень, поднимают маятник на высоту h₀, т.е. сообщают ему потенциальную энергию относительно нижнего положения, определяемую длиной нити подвеса. При освобождении маятника он начинает движение: поступательное вниз и вращательное вокруг своей оси симметрии. Вращение маятника продолжается по инерции и в самой низкой точке (когда нити раскручены), что приводит вновь к наматыванию нити на стержень, а, следовательно, к подъему маятника.

Рис. 3

Движение маятника (рис. 3) происходит под действием силы тяжести , приложенной в центре масс, и силы натяжения нитей , приложенных к стержню в точках касания нитей (силы трения не учитываем). Направим ось X вертикально вниз, а ось Z вдоль оси стержня. Тогда, по второму закону Ньютона в проекции на ось X:

(1)

или

ma_x = mg - 2T, (2)

где a_x– проекция ускорения центра масс маятника, m – масса маятника.

Основное уравнение динамики вращательного движения маятника:

M_z = J__ (3)

где – проекция момента силы натяжения нитей на ось вращения Z, r₀ – радиус стержня, J_z – момент инерции маятника относительно оси вращения Z, _z – проекция углового ускорения маятника на ось Z. При отсутствии проскальзывания нерастяжимой нити

(4)

С учетом (4) уравнение (3) примет вид

(5)

Из (2) и (5) следует:

(6)

При a = const и v₀ = 0

(7)

где t – время движения маятника, h – расстояние, пройденное маятником за это время. Из соотношений (6) и (7) находим

(8)

Расчет момента инерции маятника Максвелла. Правильная форма элементов маятника Максвелла позволяет рассчитать его момент инерции.

Рис. 4

Момент инерции маятника составляет (рис. 4) стержень 1, диск 2 и сменное кольцо 3. Момент инерции стержня J₁=1/2 m₁r₀², момент инерции диска J₂=1/2 m₂R₁², момент инерции кольца J₃=1/2 m₃(R₁²+R₂²). Момент инерции маятника

(9)

где m₁, m₂, m₃ – массы соответственно стержня, диска и кольца, а r₀, R₁ и R₂ – их радиусы (рис. 4).

Закон сохранения энергии. Если пренебречь силами трения и сопротивления воздуха, то для системы маятник Максвелла - Земля будет выполняться закон сохранения полной механической энергии:

(10)

где

v = at = 2h/t, (11)

Соотношение (10) вытекает из законов динамики (см. Приложение 1).

Порядок выполнения задания

1. Измерение момента инерции

1. Установить кронштейн 5 в крайнее нижнее положение.

2. Надеть сменное кольцо на диск. Установить необходимую длину нитей так, чтобы нижняя кромка сменного кольца находилась на 4-5 мм ниже оптической оси фотодатчика.

3. С помощью регулировки опор 2 установить диск на бифилярном подвесе посредине фотодатчика 9. Ось маятника должна быть горизонтальной.

4. Нажать кнопку “сеть” на панели секундомера 12.

5.Накрутить нити на стержень 10 виток к витку и зафиксировать маятник в верхнем положении при помощи электромагнита 6.

6. Установить индикатор отсчета времени на 0, нажав кнопку “сброс”.

7. Нажать кнопку “пуск”. Происходит отключение электромагнита и включение секундомера в момент пересечения маятником оптической оси нижнего фотодатчика отсчет времени прекратится.

8. Вновь поднимающийся маятник в верхнем положении удержать рукой и осторожно опустить вниз.

9. Записать время падения маятника (отсчитав его по миллисекундомеру).

10. Проделать операции, обозначенные в пунктах 6-9 3-5 раз.

11. По формуле (8) вычислить момент инерции маятника.

12. Произвести измерения с каждым из сменных колец.

13. Оценить полную относительную погрешность косвенных измерений J_z.

2. Вычисление момента инерции

1. Измерить r₀, R₁ и R₂ (рис. 4) штангенциркулем.

2. Определить массу элементов маятника (величина их нанесена на маятнике и на сменных дисках).

3. По формуле 9 рассчитать момент инерции маятника и оценить минимальную относительную погрешность косвенных измерений величины J_z.

4. Сравнить измеренный момент инерции с расчетным.

3. Проверка закона сохранения энергии

1. Вычислить v и  по формулам (11).

2. Проверить выполнение (10), воспользовавшись полученными данными для m, J_z и h в одном из предыдущих опытов.

На основании проделанных измерений сформулировать цель работы и сделать выводы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какую физическую величину называют моментом инерции?

2. Рассчитать момент инерции цилиндрического стержня.

3. В каком из сложных движений участвует маятник?

4. Какие точки маятника будут иметь одинаковое ускорение?

5. Выведите закон сохранения энергии из законов движения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кембровский Г.С. Приближённые вычисления и методы обработки результатов измерений в физике. -Минск: Изд-во "Университетское", 1990. -189 с.

2. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. -М.: Высшая школа, 1986. -320 с.

3. Петровский И.И. Механика. -Минск: Изд-во БГУ, 1973. -352 с.

4. Савельев И.В. Курс общей физики. -М.: Наука, 1982. Т. 1. Механика. Молекулярная физика. -432 с.

5. Сивухин Д.В. Общий курс физики. М.: Наука, 1989 Т. 1. Механика. -576 с.

6. Стрелков С.П. Механика. -М.: Наука, 1975. -560 с.

7. Физический практикум. Под ред. Кембровского Г.С. -Минск: Изд-во "Университетское", 1986. -352 с.

Приложение 1.

Закон сохранения энергии для замкнутой консервативной системы вытекает из законов движения. Из (2) с учетом (5) имеем

или (12)

где

Умножив уравнение (12) на , получим

(13)

Учитывая, что получим или

(14)

Поскольку при t = t_max x = h, а при t = 0 const = 0, из (14) следует (10):

(10)

5