Расчёт моментов инерции некоторых тел

Момент инерции тела относительно оси и относительно точки. Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния точки до оси. Чтобы найти момент инерции тела (с непрерывным распределением вещества) относительно оси, надо мысленно разбить его на такие малые элементы, чтобы каждый из них можно было считать материальной точкой бесконечно малой массыdm = dV. Тогда момент инерции тела относительно оси равен интегралу по объёму тела:

(1)

Рис. 1

где r– расстояние элементаdmдо оси.

Вычисление момента инерции тела относительно оси часто упрощается, если предварительно вычислить его момент инерции относительно точки .Он вычисляется по формуле, аналогичной (1):

(2)

где r– расстояние элементаdmдо выбранной точки (относительно которой вычисляется). Пусть эта точка является началом системы координатX, Y, Z(рис. 1). Квадраты расстояний элементаdmдо координатных осейX, Y, Z и до начала координат равны соответственноy²+z², z²+x², x²+y², x²+y²+z². Моменты инерции тела относительно осейX, Y, Zи относительно начала координат

Рис. 2

Из этих соотношений следует, что

(3)

Таким образом, сумма моментов инерции тела относительно трёх любых взаимно перпендикулярных осей , проходящих через одну точку, равна удвоенному моменту инерции тела относительно этой точки.

Момент инерции тонкого кольца.Все элементы кольцаdm(рис. 2) находятся на одинаковом расстоянии, равном радиусу кольцаR,от его оси симметрии (осьY) и от его центра. Момент инерции кольца относительно осиY

Рис. 3

(4)

Момент инерции тонкого диска.Пусть тонкий однородный диск массыmс концентрическим отверстием (рис. 3) имеет внутренний и внешний радиусыR₁иR₂. Мысленно разобьём диск на тонкие кольца радиусаr, толщиныdr. Момент инерции такого кольца относительно осиY(рис. 3, она перпендикулярна рисунку и не показана), в соответствии с (4):

(5)

Момент инерции диска:

(6)

В частности, полагая в (6) R₁ = 0, R₂ = R,получим формулу для вычисления момента инерции тонкого сплошного однородного диска относительно его оси:

(7)

Момент инерции диска относительно его оси симметрии не зависит от толщины диска. Поэтому по формулам (6) и (7) можно вычислять моменты инерции соответствующих цилиндров относительно их осей симметрии.

Момент инерции тонкого диска относительно его центра также вычисляется по формуле (6),  = J_y,а моменты инерции относительно осейXиZравны между собой,J_x = J_z. Поэтому, в соответствии с (3): 2J_x +J_y = 2J_y, J_x = J_y/2,или

(8)

Рис. 4

Момент инерции цилиндра.Пусть имеется полый симметричный цилиндр массыm, длины h, внутренний и внешний радиусы которого равныR₁ и R₂. Найдём его момент инерции относительно осиZ, проведенной через центр масс перпендикулярно оси цилиндра (рис. 4). Для этого мысленно разобьём его на диски бесконечно малой толщиныdy. Один из таких дисков, массойdm = mdy/h, расположенный на расстоянииyот начала координат, показан на рис. 4. Его момент инерции относительно осиZ, в соответствии с (8) и теоремой Гюйгенса – Штейнера

(9)

Момент инерции всего цилиндра

(10)

Момент инерции цилиндра относительно оси Z(оси вращения маятника) найдём по теореме Гюйгенса – Штейнера

где d– расстояние от центра масс цилиндра до осиZ. В работе 16 этот момент инерции обозначен какJ_ц

(11)

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Нанесение экспериментальных точек и проведение по ним графика «на глаз», а также определение по графику абсцисс и ординат точек, не отличаются высокой точностью. Её можно повысить, если использовать аналитический метод. Математическое правило построения графика заключается в подборе таких значений параметров «а» и «в» в линейной зависимости вида у = ах + b, чтобы сумма квадратов отклонений у_i (рис. 5) всех экспериментальных точек от линии графика была наименьшей (метод «наименьших квадратов»), т.е. чтобы величина

Рис. 5

(1)

имела минимум. Здесь x_i и y_i  значения величин х и у в i-том измерении, n  количество измерений. Величина S будет минимальной, если её частные производные по параметрам а и b будут равны нулю:

(2)

Отсюда наилучшие значения параметров «а» и «b» равны:

(3)

где средние значения ,.

Введем обозначения

и (4)

Абсолютные случайные погрешности а_сл и b_сл определяются по формулам:

и (5)

где t_p,n-2  коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности P и (n-2) измерений. При P = 0,95 и n  12-15 коэффициент t_p,n-2 = 2,25, а при P = 0,997 и тех же значениях n коэффициент t_p,n-2 = 3,25.

16