Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kepchik

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.02.2016

Размер:

946.98 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Она имеет такую же область определения, как и исходная функция, и не обращается в нуль ни в одной точке.

Таким образом, на интервале (",0) график функции является выпуклым, а на интервале (0, ") – вогнутым (рис. 8.3).

9. По результатам исследования, проведенного выше, построим схема-

тический график функции y x 2 1 (ðèñ. 8.4). x

8.1. Используя правило Лопиталя – Бернулли, найти пределы:

1) lim

1 x

;

8) lim

3tg4x 12tg x

;

x 1 ln x

x 0 3 sin 4x 12 sin x

2) lim

tg x x

;

9) lim

e x e

x 2x

;

sin x

x sin x

x 0 x

x 0

3) lim

x cos x sin x

;

10) lim

e 3x

3x 1

;

x 3

sin2

x 0

4) lim

ln x

;

11) lim x 2 ln x;

x 11 x 3

x 0

5) lim

e x 1

;

12) lim( x)tg

;

x 0 sin2x

1 cos 8x

6) lim

;

13) lim

;

tg 2

x 0

x 0 x e x

e 2x

7) lim

;

14) lim

;

x 0

ln(1 2x)

x 1

1 x

ctg

15) lim

;

21) lim

x ln x;

x 0 x 2

x 0

16) lim

;

22) lim

ln x;

x 1

ln x

x "

x 1

17) lim

ln(1 xe x )

;

23) lim

x 2

;

x 3

1 x 2 )

x 0 ln(x

x " x

18) lim

cos xe 2x

2 sin xe 2x 1

;

24) lim

1 cos3 2x

;

10x 3x 2

x sin3x

x 0

5x 7 6x 2 4

19) lim

;

25) lim

;

x 7 8x 77

x 0 x

sin x

x "

20) lim		cos2 3x		;	26) lim	ln tg x	.
		3 cos2
x			x		x 0 ln tg 2x
	2

8.2. Найти промежутки возрастания, убывания и точки экстремума функции:

1) y	1	x 3		1			x 2 2x 1;			6) y 2x 3 3x 2;
				2
3											x 3 3x 2
2) y 2x 3 12x 2 30x 7;										7) y					;

	1			1				2				x 1
3) y		x 3					x 2 6x 2		;	8) y x 2e x ;
				2
3						3				9) y 3x x 3;
1			x 2			2

4) y						;				10) y 4x 3;
			2
										11) y x(x 3)3;

5) y	1	x 2		1			;			12) y		5
														.
2					x
												x	2
										5

8.3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке:

1) y 3x 2	x	, [0; 4];	5) y 3x 14x 2 , [8; 10];
2) y x 2 , [0; 1];			6) y 2x 3 6x 5, [ 5 / 2; 3 / 2];

3) y 9 x 2 , [ 3; 3];			7) y 2 cos x sin2x, [0; 3 / 2];
4) y x 3 , [ 2; 2];			8) y x 4 8x 2 3, [ 2; 2].

8.4. Реакции организма на два лекарства как функции t (где время t выражается в часах) составляют u1 (t 1)e t è u2 t 2e t . У какого из ле-

карств выше максимальная реакция? Какое из лекарств медленнее в своем воздействии?

8.5. В питательную среду вносят 1000 бактерий. Численность ó бактерий

изменяется по закону y 1000	1000t		(где время t выражается в часах).

100 t		2

Определить максимальное количество бактерий.

8.6. Зависимость между объемом воды V и температурой t *С определяется по формуле V 1 8,38 10 6 (t 4)2. При какой температуре объем воды будет наименьшим?

8.7. Больному делается инъекция лекарства в момент времени t 0. Концентрация этого лекарства в крови в момент времени t описывается зависимостью:

1) x (t) c(e at e bt ), ãäå a,b,c – положительные постоянные и

ab;

2)x (t) 10(e 8t e 6t ).

Каково максимальное значение x (t) и когда оно достигается?

8.8. Установить, при каком процентном содержании y кислорода в газовой смеси скорость окисления азота будет максимальной, если уравнение кинетики имеет видv k(100x 2 x 3 ),ãäå k – постоянная; õ – концентрация окиси азота и x y 100.

8.9. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости графика

функции:

1) y x 36x 2 2x 3 x 4;

7) y x 3;

8) y x 3

x 4

;

2) y 3 4x 3 12x;

3) y 4x

x 3

;

9) y 2 x 3

x 4;

4) y

;

10) y 3

x 1;

x 2

5) y 5 4x 2x 2 x 3;

11) y 6 9x 3 5x 4;

6) y 5 9x 6x 2 x 3;

12) y 5x 3 6.

8.10. Найти асимптоты графика функции:

1) y

;

3) y

2x 2 9

;

2 4x

x 2

2) y

x 2;

4) y x 2 9;

5) y xe

9) y e

;

6) 2y(x 1)2 x 3;

10) y

x 2

;

7) y x 3 x 5;

8) y

;

11) y

6x 3

4(x 2

8.11. Исследовать функцию и построить ее график:

1)y x 2e x ;

2)y x ; ln x

3) y

;

x 2

4) y

x 3

;

(x 2)2

5) y

;

x 2 4

6) y

x 3 3x;

7) y

;

2 (x

8) y

;

4 x 2

9) y

;

1 x 2

10)y (2 x 2 )e x 2 ;

11)y x 3 4x 2 3x;

12) y	x 2	5x 4	;
	x 2
		6x 5

13)y 3 x 2 ;

14)y x 2 ln x;

15)y x 3 4 ;

16)y 33x x;

34) y e x ;


	x
	1
35) y x 2e		x	;
36) y xe x ;
37) y	x 2
				;
	1 x 2

17) y

x 3

;

x 2

18) y

x 3

;

(x 2)2

19) y (x 1)

x ;

20) y

;

x 2

2x 2

21) y

;

22) y

x 4

;

x 3

23)y 3(x 1)2 3x 2 1;

24)y 31 x 3 ;

25)y xx 3;

26)y xe x ;

27)y x ln x;

28)y x 4 x;

29) y	x 3	;
	x 2
1

30)y (x 1)2 (x 3)2;

31)y x 1 ;

32)y (x 1)2 ; x 2

33)y 3x 2 ; 5x 2

38) y	x	;

	(x 1)2

39) y ln x ; x

40)y x 2 1.

x2 1

9. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Основные понятия и теоремы: понятие первообразной функции; неопределенный интеграл и его свойства; таблица основных интегралов; основные методы интегрирования: метод непосредственного интегрирования, метод замены переменной, метод интегрирования по частям; интегрирование выражений с квадратным трехчленом в знаменателе; интегрирование некоторых тригонометрических выражений.

Пример 1. Используя свойства и таблицу неопределенных интегралов,

		8		1
вычислить интеграл . 8x 6	6x					3 dx.

				x	2
		x	9	x

Ð å ø å í è å.

. 8x 6

3 dx . 8x 6dx . 6x dx .

. 3dx

. 8x 6dx . 6x dx 8.

dx .

3. dx 8

x 7

8 ln| x | arcsin

3x c.

ln6

Пример 2. Используя метод замены переменной, вычислить интегралы:

1)	.	cos 7x sin2	7xdx; 2)		5e x dx	; 3)	.	x 2dx	.
								(x 3 5)2
				. e 2x 1
Ð å ø å í è å.									1)

. cos 7x sin2 7xdx 71 . cos 7x sin2 7xd 7x [7x u]

71 . cosu sin2 udu 71 . sin2 u d sinu [sinu t]

						1		. t 2dt				t 3						sin3 7x
														c					c.
							7					7 3		c				21	c.
		5e x dx			e x u,					#					du		5arctgu c 5arctge x c.
2)										%	5
2)	. e		2x	1		e			x	%	5		. u		2	1
	. e			1	du	e				dx$			. u			1

	3)
.	x 2dx				1			.	3x 2dx		1		.	d(x 3 )								u]		1		.		du
																		[x 3
	(x 3 5)2						3		(x 3 5)2			3		(x 3 5)2				[x 3						3			(u 5)2
		1	.			d(u 5)								1		.	dt		1								1
										[u	5 t]											c									c.
		3				(u 5)2				[u	5 t]				3		t 2			3t		c			3(x 3 5)						c.
																															.u dv
	Пример 3. Используя метод интегрирования по частям																														.u dv
uv		.																	.		x	2	cos xdx; 2)					.	e	x	sin xdx;
		.																	.									.
				v du , вычислить интегралы: 1)

3). 1 x 2 dx .

Ðå ø å í è å.

u x 2 ,

1) . x 2 cos xdx

dv cos xdx,

du u) (x)dx 2xdx #
%
v . dv . cos xdx sin x$

x 2 sin x . 2x sin xdx

u x,

du u) (x)dx dx

sin xdx,

. dv . sin xdx cos x$

x cos x

sin x 2(x cos x sin x) c

sin x 2

( cos x d x) x

x 2 sin x 2x cos x 2 sin x c.

u sin x,

du u) (x)dx cos xdx#

2) . e x sin xdx

dx,

v . dv . e

e x sin x . e x cos xdx

u cos x,

du u) (x)dx sin xdx#

dx,

v . dv

. e

dx e

e x sin x (e x cos x . e x sin xdx) e x sin x e x cos x . e x sin xdx.

Получили	равенство
. e x sin xdx e x sin x e x cos x . e x sin xdx, èç	которого следует,
÷òî 2. e x sin xdx e x (sin x cos x).

Следовательно, . e x sin xdx

e x sin x cos x c.

xdx

1 x

, du u) (x)dx

3) .

1 x

dv dx,

dx x

x 2

x 1 x 2 . x

dx x 1 x 2 .

dx x 1 x 2

1 x

x 2

1 1

(1 x 2 )

dx x 1

dx x 1 x

1 x

arcsinx .

1 x 2 dx x

1 x 2

1 x 2 dx c.

Ïîëó÷èëè

равенство

. 1 x 2 dx x

1 x 2

arcsinx .

1 x 2 dx c, из которого следует,

÷òî 2. 1 x 2 dx x1 x 2 arcsinx c.

							.					dx					x								1	arcsinx c , ãäå c															c	.
Следовательно,											1 x 2						x			1 x 2					1													1			c
Следовательно,											1 x 2									1 x 2
															2								2											1						2
															2								2																	2
Пример 4. Вычислить интегралы от функций, содержащих квадрат-
ный трехчлен: 1) .											dx				; 2) .									dx							.
											dx													dx					;	3)					8x x 2 dx.

									2	6x 13
									2													2
						x															x		6x 13
Ð å ø å í è å.
1)				dx						выделим полный													#								dx
																							%
		. x	2	6x	13																		%					. (x			3)	2					4
		. x		6x	13					квадрат в знаменателе$																		. (x			3)						4
.		d(x 3)			.					d(x 3)						[x		3 u] .										du						1		arctg		u		c
.	(x 3)2 4				.			(x 3)2 4								[x		3 u] .									u 2 4						2			arctg			2	c
													1	arctg					x 3					c.
														arctg										c.
										2								2

		2)			.					dx															вы делим														ï î ëí û é											#					.					dx
																																																		%
								x2 6x 13																																										%
								x2 6x 13																	квадрат в зн ам ен ателе$																																(x 3)2 4
			.						d(x 3)														[x 3 u] .																							du
									d(x 3)																																					du						ln				u			u		2	4			c

														2																																	2
								(x			3)								4																										u			4
								(x			3)								4																										u			4

					ln				x 3 (x 3)2 4																											c ln											x 3 x 2 6x 13																	c.
																																																	x 4 u,															#

		3).					8x x						2						. (x 4)																		2			16dx
		3).					8x x								dx				. (x 4)																					16dx																								%
																																																																$
																																																	du d(x 4) dx
																																																			u				u		16 u					2
					. 16 u												2	du .												2							2														u				u		16 u					2
																													4		u								du				8arcsin																				c
																													4		u								du				8arcsin									4						2					c

													8arcsin														x 4									(x 4)										16 (x 4)2												c.
													8arcsin																																			2										c.
																													4																			2
		Пример									5.						Вычислить																	интегралы:																1)				. sin3 x cos4 xdx;													2)
. sin2 x cos2 xdx; 3) . 7 sin5x cos 4xdx.
			Ð å ø å í è å. 1) . sin3 x cos4 xdx . sin2 x sin x cos4 xdx
																								. sin2 x cos4 xd( cos x)
																				t,									#
											cos x									t,										. (1 t 2 ) t 4dt . (t 8 t 4 )dt
																2	x			1 t									2 %	. (1 t 2 ) t 4dt . (t 8 t 4 )dt
										sin							x			1 t									$
																						t 9							t 5	c										cos9 x									cos5 x						c.
																													5	c																									c.
																							9						5														9							5
			2) . sin2 x cos2 xdx . sin2 x(1 sin2 x)dx . (sin2 x sin4 x)dx
						2													4														2									1												#				1
	. sin						xdx . sin														xdx							sin							x									(1 cos 2x)% .															(1 cos 2x)dx
	. sin						xdx . sin														xdx							sin							x							2		(1 cos 2x)% .														2	(1 cos 2x)dx
																																										2												$				2
	1										2												1								1																			1																2
.		(1														dx										.		dx						.					cos 2xdx														.	(1 2 cos 2x cos													2x)dx
.	2																							2		.						2		.																4			.
				cos 2x)
		1					1				1																										1										1												1
				. dx												. cos 2xd(2x)																									. dx								. cos 2xdx												. cos2 2xdx
		2		. dx						2		2				. cos 2xd(2x)																						4			. dx						2		. cos 2xdx										4		. cos2 2xdx

cos2	x	1	1 cos 2x	#		1		dx	1		cos 2xd(2x)	1	1		cos 2xd(2x)
				%			.			.				.
	2				2			4			2 2
				$

41 . 21 (1 cos 4x)dx 21 . dx 41 . cos 2xd(2x) 41 . cos 2xd(2x)

81 . dx 81 . cos 4xdx 21 . dx 41 . cos 2xd(2x) 41 . cos 2xd(2x)

	1	. dx	1		1	. cos 4xd(4x)	1	x	1	x	1	sin 4x c	5	x	1	sin 4x c.
	8		8		4		2		8		32		8		32

									2				5					X
																		X
									Ðèñ. 10.1
												1									#
. 7 sin5x cos 4x dx								sin x cos y						sin(x y )					sin(x y ) %
. 7 sin5x cos 4x dx								sin x cos y				2		sin(x y )					sin(x y ) %
												2									$
			7							7
					.	(sin x sin9x)dx					.		sin xdx				.
			2		.					2	.						.
																		sin9 xdx
	7			sin xdx			1	.							7				7		c.
									sin9xd(9x)							cos x				cos 9x
	2						9		sin9xd(9x)						2	cos x			18	cos 9x
	2	.					9								2				18

9.1. Используя метод непосредственного интегрирования, вычислить интегралы:

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.2018513.54 Кб15Kasko_Osnovy_journ.doc
#
29.02.2016781.82 Кб26KAUN_2k_Ist_IIB_DO_istoria_Lektsii.doc
#
29.02.20167.37 Mб46kaz_hist.pdf
#
19.09.201954.05 Кб4kaz_yaz_bilety2.docx
#
09.08.201952.63 Кб4KD_E.docx
#
29.02.2016946.98 Кб77Kepchik.pdf
#
29.02.2016226.87 Кб2Khantington_-Stolknovenie_tsivilizatsy.pdf
#
18.09.2019141.82 Кб24Khimicheskie_reaktory.doc
#
08.09.201952.49 Кб2Khorovaya_i_solnaya_melika.docx
#
22.09.2019217.22 Кб3Khoz_protsess_Konspekt.docx
#
21.08.2019153.09 Кб5KhP-2.doc