§ 2. Функции нескольких переменных Перечень вопросов по теме

1. Область определения функции нескольких переменных. Частное и полное приращение.

2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

3. Частные производные и полный дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков.

4. Дифференцирование сложных и неявных функций.

5. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.

6. Условный экстремум. Метод наименьших квадратов.

Задание 5. Вычислить частные производные первого и второго порядков указанных функций.

;

.

Решение варианта 0.

Пример 0.1. Считая одну из переменных постоянной величиной, с помощью таблицы производных получаем:

,

,

,

,

.

Пример 0.2. Как и в предыдущем случае, имеем:

,

,

,

,

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

;

.

Задание 6. Найти локальные экстремумы (первая функция) и условные экстремумы в указанной области (вторая функция).

	;
	, .

Решение варианта 0.

Пример 0.1. Ищем стационарные точки функции:

.

Находим частные производные второго порядка:

, ,.

Для каждой стационарной точки вычисляем :

, ,,

;

, ,,

;

Так как в обеих точках <0, то в них нет экстремума.

Пример 0.2. Как и в предыдущем примере ищем стационарные точки функции в области:

.

Внутрь нашей области попадает только точка (3/20; 1/2), в которой значение исследуемой функции равно 9/320.

Исследуем теперь поведение функции на границе области. На отрезках [(0; 0); (4/5; 0)] и [(0; 0); (0; 4/3)] функция равна нулю, поэтому минимальное и максимальное значение здесь — ноль. На отрезке [(0; 4/3); (4/5; 0)] функция превращается в

,

исследуя которую, находим ,.

Таким образом,

, .

	;
	, .

	;
	, .

	;
	, .

	;
	, .

	;
	, .

	;
	, .

	;
	, .

	;
	, .

	;
	, .

	;
	, .

	;
	, .

	;
	, .

	;
	, .

	;
	, .

	;
	, .

	;
	, .

	;
	, .

	;
	, .

	;
	, .

	;
	, .

	;
	, .

	;
	, .

	;
	, .

	;
	, .

	;
	, .