ЭММ / шпоры

16. К динамич. программированию относ. задачи, в которых речь идет о наиболее целесообр. распред. Во времени тех или иных ресурсов.

Рассмотрим простейший пример такой задачи. Группе предпринимателей выделяются дополнительные средства на реконструкцию и модернизацию производства. По каждому из n предприятий известен возможный прирост выпуска продукции g_i(x) в зависимости от вложенной суммы средств x. Необходимо таким образом распределить между предприятиями средства, чтобы общий прирост выпуска был max.

1ый этап.

n=1

Все выделенные средства мы отдадим первому предприятию. Тогда прирост продукции: f_i(x)= g_i(x)

2ой этап.

n=2

Выделенные средства будем делить между 1 и 2 предприятием. Х единиц выделяем 2му предприятию при этом получаем прирост по 2му предприятию g₂(x)

(с-х) – денежные средства, выделяемые 1му предприятию, прирост f₁(c-x)

Общий прирост по 2ум определяем: g₂(x)+ f₁(c-x)

В дальнейшем нужно выбрать такое значение х, которое позволит получить максимальный суммарный прирост. f₂(с)=max(g₂(x)+ f₁(c-x))

3ий этап.

n=3

Деньги распределяются между 3им предприятием и первыми двумя.

Третьему предприятию – х ден средств, прирост 3го – g₃(x). Остаток - (с-х). Общий прирост - g₃(x)+ f₂(c-x)

Выбрать значение, которое дает максимальный прирост:

F₃(с)=max(g₃(x)+ f₂(c-x))

Соотношение Беллмана:

n>1

f_n(c)=max (g_n(x)+f_n-1(c-x))

12. При решении ряда задач приходится сталкиваться ситуациями, когда наряду с неопределенностью существует сознательное противодействие. Такие ситуации называются конфликтными.

Теория игр – математическая теория конфликтных ситуаций. Ее задача – выработка рекомендаций по рациональному образу действий участника конфликта. Игрой будем называть упрощенную модель конфликтной ситуации. От реальной она отличается тем, что ведется по определенным правилам.

Стороны, участвующие в конфликте – игроки. Различают парные и множественные игры. Исход игры – значение некоторой функции, называемой функцией выигрыша (платежной функцией), которая задается либо таблицей, либо аналитическим выражением. Игра называется игрой с нулевой суммой, если один игрок выигрывает ровно столько, сколько проигрывает другой.

Ходом в теории игр называется выбор одного из предусмотренных правилами игры действий и его осуществления. Ход может быть личным и случайным.

Личный – сознательный выбор игроком одного из вариантов действий. Случайный – если выбор производится не игроком, а механизмом случайного выбора.

Стратегия игрока – совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом ходе этого игрока в зависимости от ситуации, сложившейся в ходе игры.

Оптимальная стратегия – стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает игроку максимально возможный средний выигрыш.

Игры, в которых оба участника сознательно стремятся добиться для себя наилучшего исхода называются стратегическими.

Часто приходится моделировать ситуации, придавая им игровую схему, в которых один из участников безразличен к исходу. Такие игры называются играми с природой. Под термином природа понимается совокупность всех внешних обстоятельств, в которых сознательному игроку приходится делать выбор.

Платежная матрица.

Рассмотрим игру, в которой игрок А имеет m чистых стратегий. Стратегия А₁ – А₁.

А₁, А₂,…, А_m

Игрок В имеет n чистых стратегий: В₁, В₂, …, В_n

Если игрок А выбирает i – чистую стратегию, а игрок В j – ую, то исход игры обозначим через a_ij, где a_ij - выигрыш игрока А. Мы – игрок А.

Предположим, что нам известны значения a_ij для каждой пары стратегии. Эти значения можно записать в виде матрицы, которая называется платежной.

А\В	В1	В2	…	Вn	αi
A1	a11	a12	…	a1n	α
A2	a21	a22	…	a2n	α
…	…	…	…	…	α
Am	am1	am2	…	amn	α
βj	Β1	Β2	…	βn

α показывает гарантированный средний выигрыш игрока А, если он грамотно выбирает свои стратегии при любом поведении игрока В.

α – нижняя цена игры

Βj=max (aij) (максимальное значение по столбцам)

β – верхняя цена игры. Она показывает, какой минимальный гарантированный проигрыш может быть у игрока В при правильном выборе им своих чистых стратегий независимо от действий игрока А.

Стратегии, указанные в матрице – чистые стратегии.

Ипа α <=β

Если α= β, то игра имеет седковую точку. Стратегии, образующие седковую точку, являются оптимальными.

Если α< β, то игра не имеет решения в чистых стратегиях, решение следует искать в области смешанных стратегий. Смешанной стратегией игрока А называется вектор р с координатами р1, р2, …,рm., компоненты которого удовлетворяют условиям:

∑pi=1, pi>=0

pi – вероятности, с которыми используются чистые стратегии ai.

Смешанной стратегией игрока В являются: q=(q1, q2, …, qn)

∑qj=1, qj>=0

qj – вероятности использования чистых стратегий игрока В.

13.

А\В	В1	В2	…	Вn
A1	a11	a12	…	a1n
A2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…
Am	am1	am2	…	amn

Смешанные стратегии для игрока А и для игрока В находятся из решения пары двойственных задач.

P F=x1+x2+…+xm→min a11x1+a21x2+…+am1xm>=1 a12x1+a22x2+…+am2xm>=1 …………………………………. a1nx1+a2nx2+…+amnxn>=1 xi>=0, i=1,m F*x*=(x1*, x2*, …, xm*) υ=1/F* p1*=x1*υ=x1*1/F* pi*=xi*υ=xi*1/F*

Q Z=y1+y2+…+yn→max a11y1+a12y2+…+a1nyn<=1 a21y1+a22y2+…+a2nyn<=1 …………………………….. am1y1+am2y2+…+amnyn<=1 yj>=0, j-1,n Z*y*=(y1*,y2*,…, yn*) υ=1/Z* qj=yj*υ=yj*1/Z*

υ – исход игры

Логический вывод:

P1, P2, …, Pm

x1, x2, …, xm

x1+x2+…+xm=1

F=a11x1+a21x2+…+am1xm→max

F=a12x1+a22x2+…+am2xm→max

……………………………………

F=a1nx1+a2nx2+…+amnxn→max

Разделим все выражения нашей модели на критерий оптимальности (F)

(x1+x2+…+xm)/F=1/F

F/F=(a11x1+a21x2+…+am1xm)/F

F/F=(a12x1+a22x2+…+am2xm)/F

…………………………………..

F/F=(a1nx1+a2nx2+…+amnxm)/F

F→max

1/F→min

Z=1/F→min

F – любое значение

14. Игры с природой являются частным видом парных матричных игр, поэтому вся теория матричных парных игр переносится на игры с природой.

С учетом особенностей игр с природой был сформулирован ряд критериев для решения задач. Эти критерии основываются на здравом смысле, интуиции и практической целесообразности. Они дают некоторую логическую схему принятия решения. Критерии позволяют последовательным численным анализом ситуации с различных точек зрения оценить принимаемое решение и высказать рекомендации по тому или иному образу действий и тем самым выбрать что-то определенное. Если рекомендации, вытекающие из различных критериев, принимается рекомендуемое решение. Если же критерии противоречат друг другу, то необходимо сравнить, на сколько отличаются результаты, привлечь дополнительную информацию и сделать окончательный вывод.

Критерий Вальда (нижняя цена игры):

α=max(min aij) (критерий крайнего пессимизма)

Критерий Гурвица:

υ=max (γmin aij+(1-γ)max aij)

0<γ<1

Критерий Сэвиджа:

υ=min(max rij) (опирается на матрицу рисков)

rij – риск

rij=βj-aij

Риском rij игрока А, использующего стратегию ai при реализации природой в состояние Pj, называется разница между тем выигрышем, который мог бы иметь игрок А, достоверно зная, что природой будет реализовано состояние Pj, и тем выигрышем, который имеет игрок, выбирая стратегию ai в состоянии полной неопределенности.

Критерий Байеса:

Критерием Байеса пользуются в тех случаях, когда известны вероятности состояний природы.

υ=max(∑aij *qi)

Критерий Лапласа:

Критерием Лапласа пользуются в тех случаях, когда известно, что все состояния природы равновероятны.

υ=max(∑aij*qj)=max(∑aij*1/n)=max1/n(∑aij)

15. ДП – математический метод для нахождения оптимальных решений многошаговых задач. Некоторые из таких задач естественным образом распадаются на отдельные шаги(этапы), но имеются задачи, в которых это разбиение приходится вводить искусственно для того, чтобы их можно было решить методом ДП.

Суть метода ДП: вместо поиска оптимального решения сразу для всей сложной задачи предпочитают находить оптимальные решения для нескольких более простых задач аналогичного содержания, на которые разбивается исходная задача.

В основе ДП лежит принцип оптимальности Беллмана: оптимальное поведение обладает тем свойством, что каковы бы ни были начальные состояния и начальные решения, последующие решения должны быть оптимальными относительно состояния, полученного в результате первоначального решения.

Задача о выборе наиболее экономного маршрута доставки:

Дана сеть дорог, имеется несколько маршрутов, по которым может доставляться груз из пункта А в пункт Б. Известны стоимости перевозки единицы грузов между отдельными промежуточными пунктами сети.

Требуется в системе дорог выбрать маршрут доставки груза из А в Б, которому соответствуют наименьшие затраты.

СХЕМА

1. Разобьем множество пунктов на отдельные подмножества.

К 1му подмножеству отнесем n{1}, ко 2му подмножеству отнесем все те пункты, в которые можно попасть из пункта 1: {2;3;4}

К новому подмножеству отнесем все те пункты, в которые можно попасть из пунктов предыдущего подмножества:

{5;6;7}

{8;9}

{10}

Между пунктами подмножества не должно быть дорог.

1→3→7→9→10

F=17 (затраты)

Общая задача:

СХЕМА

17. Проблема своевременной замены оборудования – одна из насущных проблем любой сферы производственной деятельности. С течением времени оборудование изнашивается морально и физически. В связи с этим возникает задача определения наиболее подходящего момента замены.

В качестве критерия оптимальности при замене оборудования обычно принимают min ожидаемых затрат или max ожидаемой прибыли за некоторый промежуток времени.

Рассмотрим задачу в упрощенной постановке:

Пусть в начале планового периода из N лет имеется оборудование возраста t. Ежегодно на оборудовании производится продукция стоимостью r(t). Для нормальной работы оборудования требуются эксплуатационные затраты u(t).

Оборудование имеет остаточную стоимость S(t). В любой год оборудование можно заменить на новое. Стоимость нового оборудования р. При этом при замене оборудования старое оборудование продается по остаточной стоимости. Требуется разработать оптимальную политику замены оборудования исходя из условия максимизации ожидаемой прибыли за период времени длительностью N.

Рассмотрим каждый год планового периода:

Рассмотрим предпоследний год планового периода:

Используем эту формулу тогда, когда до конца планового периода n лет

Это формула, когда до конца периода 1 год.

17. Любое действие, направленное на достижение какой-либо цели и требующее времени, назовем работой.

Любая работа характеризуется следующими величинами:

1. время начала t^н + t длительность работы = время окончания t^ок.

t^н + t= t^ок

Работы бывают:

• последовательные

• параллельные

• комбинированные

Рассмотрим последовательные работы 1,2,3. Для них характерно:

t₁^ок = t₂^н

Параллельные работы: (4,5,6)

t₄^н= t₅^н= t₆^н

t_4,5,6^ok=max (t₄^ok, t₅^ok, t₆^ok)

Резерв – для параллельных работ = времени оказания нарастающих работ минус время оказания конкретной работы.

t_4,5,6^ok- t₄^ok

Комбинированные работы – комбинация последовательных и параллельных работ.

Для наглядного представления взаимозависимых работ строится таблица временных характеристик, а по ней линейный график работ, который отражает наглядную взаимозависимость работ.

17. Комплекс работ будем называть проектом. Сокращение времени завершения проекта, как правило, связано с привлечением дополнительных средств (увеличение количества рабочих, использование сверхурочного времени и др.)

Рассмотрим два примера постановки задачи оптимизации проекта по времени с привлечением дополнительных средств. Первая постановка задачи:

1. Для сокращения времени выполнения проекта выделяется некоторая сумма дополнительных средств В. Задан сетевой график выполнения проекта G = (E,e), где Е – множество состояний, е – множество работ.

Известны длительности работ tij, (I;j)e и известно что вложение дополнительных средств xij в работы I,j ведет к сокращению времени выполнения работы до длительности tij.

tij = fij (xij) < tij, где fij – известная зависимости.

Известно также минимально возможное время выполнения работ dij.

Требуется определить время начала и время окончания работ, а также количество дополнительных средств, которые необходимо вложить в работы, чтобы общее время выполнения проекта было минимальным, сумма дополнительно вложенных средств не превышала величины В, время выполнения каждой работы было не меньше минимально возможного времени dij.

2. пусть задан срок выполнения Т, а расчетное время превышает этот срок.

Задача заключается в определении величины дополнительных средств, вложенных в работы, чтобы общий срок его выполнения не превышал заданной величины Т, а суммарный расход дополнительных средств минимальным, при этом время выполнения каждой работы должно быть не меньше минимально возможного времени dij. Целевая функция меняется.

17. Оптимизация проекта по стоимости. В общем случае стоимость выполнения работы зависит от ее продолжительности. Если работа выполняется в минимально возможное время dij, то она имеет максимальную стоимость Cij. Если же работа выполняется в нормальном режиме Dij, то ей будет соответствовать минимальная стоимость cij.

Вообще зависимость стоимости от продолжительности работы не меняется, но для упрощения оптимальных расчетов предполагают, что уменьшение продолжительности работ пропорционально возрастанию ее стоимости. Тогда в расчете на единицу времени дополнительные затраты на сокращение продолжительности работы будут равны:

hij=(Cij-cij)/(Dij-dij)

Предположим, что проект рассчитан в срочном режиме, то есть его стоимость максимальна. Чтобы уменьшить стоимость этого проекта, надо увеличить время работы.

(tij-dij) – показывает на ск5олько было увеличено время работы

Тогда (tij-dij) hij (экономия)

Тогда стоимость работы Cij’=Cij – (tij-dij)hij

c’=∑cij – hij(tij - dij)

пусть проект задан сетевым графиком. Для выполнения проекта выделено R единиц ресурса. Каждая работа характеризуется продолжительностью выполнения tij и интенсивностью потребления ресурса rij.

Интенсивность потребления ресурса – требуемое количество ресурса для выполнения работы в единицу времени.(для простоты допускается что интенсивность постоянна)

Оптимальное распределение ресурса – такое размещение работ во времени, при котором в любой момент времени потребность в ресурсах не превышает имеющегося в наличии количества ресурса, а время выполнения проекта минимально.

24. Эффективное функционирование экономики предполагает наличие баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом выступает двояко:

1. Как производитель некоторой продукции

2. Как потребитель продукции, вырабатываемой другими отраслями.

Для наглядного выражения взаимной связи между отраслями используют наблюдения определенного вида, которые подразумевают наблюдения МБ. Пусть весь производственный сектор народного хозяйства разбит на n чистых отраслей. Понятие «чистой отрасли» - условное. Это некоторая часть народного хозяйства, более или менее цельная.

Введем следующее:

xij – продукция iой отрасли, используемая jой отраслью

Xi, Xj – валовой продукт iой либо jой отрасли

yi – конечный продукт iой отрасли, используемый в производстве другой отраслью

zj – условно чистая продукция jой отрасли.

Она включает оплату труда, амортизацию и условно чистый доход.

Различают стоимостной и натуральный баланс в зависимости от перечисленных величин в стоимостном или натуральном виде.

Рассмотрим стоимостной баланс.

	Потребляющие отрасли 1 2 … n	Конечный продукт yi	Валовый продукт Xi
1 2 … n	x11 x21 … x1n x21 x22 … x2n xn1 xn2 … xnn	y1 y2 yn	X1 X2 Xn
Zj	Z1 Z2 … Zn	= 1
Xj	X1 X2 … Xn		= 2

Если рассмотреть схему баланса по столбцам, можно сделать вывод, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее чистая продукция равны валовой продукции этой отрасли.

Xj = ∑xij+Zj

Xi = ∑xij+yi

Балансовый характер таблицы выражается в соотношениях:

1. ∑Zj = ∑yi

2. ∑Xj = ∑Xi

Основу МБ составляет матрица коэффициентов прямых затрат. Коэффициент показывает какое количество продукции iой отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты для производства единицы продукции jой отрасли.

aij – коэффициент прямых затрат.

aij = xij/Xj

Предположим:

1. А – матрица прямых затрат постоянна, то есть не меняется технология производства.

2. Материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции.

xij = aij*Xj

В эту формулу подставим xij:

Xj = ∑aij*Xj+Zj

X = AX+Z

X – матрица

А – матрица

С учетом этого равенства можно решать задачи трех видов:

1. Задав модели величины валовой продукции каждой отрасли можно получить объемы конечной продукции каждой отрасли

Y = (E-A)X

E – единичная матрица

2. Задав величины конечной продукции всех отраслей можно определить величины валовой продукции каждой отрасли, то есть наоборот.

X = (E-A)^-1Y

3. Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных объемы конечной продукции может найти величины конечной продукции для одних отраслей и валовой продукции для других.

(Е-А)^-1 = В

В – матрица полных затрат