2. Порядок выполнения работы

2.1. Ознакомится с методическими указаниями, изложенными в п.1;

2.2. Решить задачи (по указанию преподавателя)

2.3. Подготовить ответы на контрольные вопросы

3. Содержание отчета

3.1. Тема и цель работы

3.2. Условия задач

3.3. Подробное решение и результаты

Контрольные вопросы

1. Каковы основные термины и определения теории игр?

2. Каков принцип минимакса?

3. Когда следует использовать смешанные стратегии и как их найти?

4. Каковы критерии принятия решения в условиях неопределенности?

5. Когда следует применять критерии Вальда, Гурвица, Сэвиджа?

Список задач

1. Решить матричную игру, сведением к задаче линейного программирования:

1.1				1.7
1.2				1.8
1.3				1.9
1.4			1.10
1.5			1.11
1.6			1.12

2. На технологическую линию поступает сырьё с малым или большим количеством примесей. Линия может работать в трех режимах. Доход предприятия от реализации единицы продукции, изготовленной из сырья первого вида при различных режимах работы технологической линии, составляет соответственно 2, 5 и 6 ден. ед., а из сырья второго вида – 5, 3 и 1 ден.ед. В каких режимах и сколько времени должна работать технологическая линия, чтобы доход от выпущенной продукции был возможно большим?

3. Кафетерий «Мечта» реализует кондитерские изделия собственного изготовления. Спрос на пирожные может составить 100, 120, 140 или 160 шт. с вероятностью 0,2; 0,3; 0,4; 0,1 соответственно. Затраты на производство одного пирожного составляют 70 ден. ед., а цена реализации — 100 ден. ед. Если пирожные не продаются в течение 36 ч, они портятся и магазин несет убытки. Какое количество пирожных следует выпекать?

4. Небольшая частная фирма производит молочную продукцию. Один из ее продуктов — творожная масса. Необходимо решить, какое количество творожной массы следует производить в течение месяца, если вероятность того, что спрос составит 100, 150 или 200 кг равна соответственно 0,2; 0,5; 0,3. Затраты на производство 1 кг равны 1 тыс. ден. ед. Фирма продает массу по цене 1 тыс. 200 ден. ед. за 1 кг. Если масса не продается в течение месяца, то она снимается с реализации и фирма не получает дохода. Дать рекомендации, сколько творожной массы производить фирме.

5. Туристская фирма «Топ тур» берет на реализацию у фирмы «Смок» туристские путевки. Объем реализации путевок изменяется в зависимости от потребительского спроса в пределах от 6 до 9 ед. Если путевок меньше, чем требует спрос на них, то можно заказать недостающее количество. При этом возникнут дополнительные расходы в размере 4 ден. ед. за каждую новую путевку. А если количество путевок превышает спрос, то потери за невостребованные путевки составят 3 ден. ед. Прибыль от реализации одной путевки составляет 10 ден. ед. Определить, какое количество путевок выгоднее брать на реализацию.

6. Объем реализации товара Т за рассматриваемый период колеблется в зависимости от покупательского спроса в пределах от 4 до 6 ед. Прибыль торгового предприятия от единицы реализованного товара Т равна 2 ден. ед. Если запасенный товар полностью реализовать не удастся, то расходы на содержание и хранение остатка составят 3 ден. ед. за единицу товара. Используя игровой подход, определить оптимальный уровень запаса товара Т, обеспечивающий торговому предприятию наивысшую эффективность работы.

7. Небольшая фирма производит гигиенические средства для младенцев. В течение месяца реализуется 13, 14, 15 или 16 упаковок товара. От продажи каждой упаковки фирма получает 75 ден. ед. прибыли. Продукция имеет малый срок годности, поэтому, если упаковка не продана в месячный срок, она должна быть уничтожена. Поскольку производство одной упаковки обходится в 115 ден. ед., потери фирмы составляют 115 ден. ед., если упаковка не продана к концу месяца. Вероятности продать 13, 14, 15 или 16 упаковок за месяц составляют соответственно 0,20; 0,35; 0,1 и 0,35. Дать рекомендации по количеству производимой продукции.

8. Пятилетний срок эксплуатации производственного оборудования предприятия (цеха, участка цеха) может привести его в состояние, требующее а) замены отдельных деталей оборудования, б) капремонта оборудования, в) замены оборудования. Вероятности указанных состояний составляют 0,4; 0,5; 0,1. Руководитель предприятия может принять одно из трех решений для восстановления оборудования, которые соответственно потребуют следующих затрат:

1-е решение 5, 7, 12;

2-е решение 6, 8, 10;

3-е решение 12, 14, 9.

Проанализировав ситуацию, необходимо высказать соображения по принятию решения.

9. За некоторый промежуток времени на предприятии потребление исходного сырья в зависимости от его качества составляет 10, 11 или 12 ед. Если для выпуска запланированного объема основной продукции сырья окажется недостаточно, то запас его можно пополнить, что потребует дополнительных затрат в размере 5 ден. ед. в расчете на единицу сырья. Если же запас сырья превысит потребности, то дополнительные затраты на содержание и хранение остатка составят 2 ден. ед. на единицу сырья. Используя игровой подход, составить платежную матрицу и дать рекомендации по оптимальному уровню запаса сырья на предприятии, при котором дополнительные затраты на пополнение запаса, содержание и хранение остатка будут возможно меньшими.

10. Сельскохозяйственное предприятие имеет возможность выращивать картофель на трех участках: на участке У1 повышенной влажности, У2 средней влажности, У3 сухом. Урожайность картофеля зависит от погодных условий, в частности от количества осадков, выпадающих в течение сезона.. Если осадков выпадает меньше нормы, то средняя урожайность на участке У1 составляет 270 ц/га; при количестве осадков, близком к норме – 220ц; если же осадков выпадает больше нормы, - 110ц; на участке У2 – соответственно 210, 250 и 140 ц.; на участке У3 – 120,260 и 280 ц. Установить, на каком участке следует выращивать картофель в предстоящем году. (Критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица)

11. Объём реализации товара Т, за рассматриваемый период времени, колеблется в зависимости от уровня покупательского спроса в пределах от 4 до 7 ед. Прибыль торгового предприятия от единицы реализованного товара Т равна 2 ден.ед. Если заранее запасенного товара окажется недостаточно для полного удовлетворения спроса в рассматриваемый период, можно заказать дополнительное количество товара, что потребует новых затрат на заказывание и доставку в размере 4 ден.ед. в расчете на единицу товара. При этом предполагается, что дополнительно заказанный товар доставляется и полностью реализуется в тот же период времени. Если же запасенный заранее товар полностью реализовать не удастся, то расходы на содержание и хранение остатка в рассматриваемом периоде составят 3 ден.ед. в расчете на единицу товара. На основе анализа платежной матрицы по критериям Вальда, Сэвиджа и Гурвица (=0,7) высказать рекомендации об оптимальном уровне запаса товара Т на торговом предприятии, обеспечивающем ему наивысшую эффективность работы с учетом торговой прибыли и возможных дополнительных затрат на заказ и доставку товара, содержание и хранение остатка.

12. За некоторый период времени на предприятии потребление исходного топлива Т в зависимости от его качества составляет 12, 14, 16 или 18 единиц. Если топлива Т окажется недостаточно, то запас его можно пополнить, что потребует дополнительных затрат в сумме 5 единиц в расчете на единицу топлива. Если же запас топлива превысит потребности, то дополнительные затраты на содержание и хранение остатка составят 7 единиц в расчете на единицу топлива. Требуется: 1) придать описанной ситуации игровую схему; 2) вычислить элементы платежной матрицы и составить её; 3) дать обоснованные рекомендации об оптимальном уровне запаса топлива, при котором дополнительные затраты на приобретение, содержание и хранение топлива будут минимальными, при следующих предположениях: а) вероятности q1,q2,q3,q4 потребности в топливе в количестве соответственно 12, 14, 16 и 18 единиц известны: q1=0,25; q2=0,30; q3=0,25; q4=0,20; б) потребление топлива в количествах 12, 14, 16 и 18 единиц представляется равновероятным.

13. Для отопления коттеджа в зимний период используется уголь, цена на который зависит от времени года и характера зимы. Летом тонна угля стоит 7,5 ден.ед., в мягкую зиму – 8,5, в обычную – 9,0, а в холодную – 9,5. Расход угля в отопительный сезон полностью определяется характером зимы: на мягкую зиму достаточно 6т, на обычную требуется 7т, а в холодную расходуется 8т. При необходимости недостающее количество угля можно приобрести и зимой. Кроме того, надо учесть, что продать непотребовавшийся уголь возможности не будет. Используя игровой подход, дать рекомендации.

14. За некоторый период времени на предприятии потребление исходного сырья S в зависимости от его качества составляет 10—12 ед. Если для выпуска запланированного объема основной продукции сырья S окажется недостаточно, запас его можно пополнить, что потребует дополнительных затрат в размере 5 ед. в расчете на единицу сырья. Если же запас сырья превысит потребности, то дополнительные затраты на содержание и хранение остатка составят 2 ед. в расчете на единицу сырья. Придать описанной производственной ситуации игровую схему и составить платежную матрицу. Дать рекомендации по созданию оптимального запаса сырья на предприятии.

15. Магазин может закупить для реализации 10, 15 или 20 ед. скоропортящегося товара по цене 3 ден. ед. за единицу товара. В зависимости от уровня спроса (пониженный, умеренный или повышенный) в день реализации может быть продано 10, 15 или 20 ед. товара по цене 5 ден. ед. за единицу товара. Предполагается, что остаток товара будет реализован на следующий день по сниженной цене в 2 ден. ед. за единицу товара. Придать описанной ситуации игровую схему и составить платежную матрицу (матрицу доходов). Найти оптимальную стратегию, пользуясь критериями.

СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Цель работы:

1) Ознакомиться с теорией СМО.

2) Научиться определять характеристики СМО и проводить анализ её работы.

1.Общие сведения

Многоканальная СМО с ожиданием. Пусть в n-канальную систему массового обслуживания поступает простейший поток требований с интенсивностью λ; число мест в очереди ограничено и равно т. Время обслуживания требований (для одного канала) экспоненциальное, со средним значением t_обс

Размеченный граф состояний системы представлен на рисунке.

Используем общепринятое обозначение относительной нагрузки на систему

Предельные вероятности состояний системы имеют вид

Требование получает отказ в том случае, когда система занята, то есть вероятность отказа

Относительная пропускная способность или вероятность того, что поступившее в систему требование будет принято к обслуживанию, дополняет вероятность отказа до единицы

Всистему поступает λ требований в единицувремени, а доля требований, принятых к обслуживанию, равна q. Следовательно, абсолютная пропускная способность

Каждый канал, если он занят, обслуживает вединицу времени λ требований, а вся система —А требований. Таким образом, среднее число занятых каналов

Среднее число требований, находящихся в очереди, вычислим как математическое ожидание числа требований, находящихся в очереди:

Подставив значенияР_n+r(r=1, m) и выполнив преобразования, окончательно получим

Учитывая, что среднее числотребований, находящихся под обслуживанием, совпадает со средним числом занятых каналов, среднее число требований, находящихся в системе, равно

Среднее время пребывания требований в очереди

Среднее времяпребывания требования в системе получим, если к среднему времени ожидания в очереди прибавим среднее время обслуживания, умноженное на относительную пропускную способность q

Многоканальная СМО с неограниченной длиной очереди. Так как длина очереди не ограничена, то граф состояний в этом случае является бесконечным

Установившийся режим работы системы существует при , а при очередь будет расти неограниченно. Полагаем, что . Формулы для расчета характеристик СМО с неограниченной очередью. Предельные вероятности состояний:

Так как число мест в очереди не ограничено, то все требования, поступившие в систему, рано или поздно будут обслужены. Следовательно

Среднее число занятых каналов

Среднее число требований, находящихся в очереди

Среднее число требований, находящихся в системе

Среднее время пребывания требования в очереди

Среднее время пребывания требования в системе

Многоканальная СМО с отказами. Если требование поступает в систему в момент, когда все п каналов заняты, то оно получает отказ (покидает систему не обслуженным). Если же в момент поступления требования имеется хотя бы один свободный канал, то оно принимается к обслуживанию и обслуживается до конца. Размеченный граф состояний системы с отказами представлен на рисунке.

Предельные вероятности состояний системы (формулы Эрланга) для рассматриваемой СМО имеют вид

Вероятность отказа

Относительная пропускная способность

Абсолютная пропускная способность A=λq

Среднее число занятых каналов

2. Порядок выполнения работы

2.1.Ознакомится с методическими указаниями, изложенными в п.1;

2.2.Решить задачи (по указанию преподавателя)

3. Содержание отчета:

3.1.Тема и цель работы

3.2.Условия задач

3.3. Результаты решения задач.

3.4.Выводы по работе.

Список задач

1. Информационно-справочное бюро имеет два телефона, по которым дает справки о наличии товаров в магазинах. В среднем за 1 мин поступает 3 запроса, время обслуживания каждого требования в среднем составляет 40 с.

Определить важнейшие характеристики СМО, считая все потоки простейшими.

2. В таксопарке 3 диспетчера принимают заказы на вызов машин и обеспечивают своевременное обслуживание клиентов. В среднем за каждый час поступает 120 заявок, длительность регистрации заявки равна в среднем 1 мин.

Определить важнейшие параметры данной СМО.

3. В справочное бюро аэропорта поступает в среднем 8 запросов за 1 мин. Обслуживают 2 телефонистки. Средняя длительность разговора — 0,5 мин.

Установить все характеристики СМО.

4. Входной поток клиентов в парикмахерскую подчиняется закону Пуассона, его интенсивность — 12 чел /ч. Обслуживают посетителей 3 мастера, в среднем за 1 ч мастер обслуживает 2 чел., максимальная очередь — 5 чел.

Рассчитать важнейшие характеристики СМО с ожиданием.

5. В магазине самообслуживания установлено 3 кассовых аппарата. В течение часа магазин посещают 96 чел., наибольшая очередь к кассе — 8 чел., среднее время обслуживания клиента — 2,5 мин.

Считая поток покупателей простейшим, определить основные характеристики СМО с ожиданием.

6. В билетной кассе работают 3 кассира, каждый из которых может обслужить 3 пассажиров за 10 мин. Поток пассажиров простейший с интенсивностью 15 чел /ч. Время обслуживания подчинено показательному закону распределения.

Определить основные характеристики функционирования СМО.

7. Автосервис решил нанять нового механика, для того что бы он менял старые покрышки на новые. На это место есть 2 кандидата. Один из них имеет ограниченный опыт и может быть нанят за 7 ден. ед /ч. Ожидается, что этот механик сможет обслуживать 3 клиентов в час. Другой механик более опытен, он в состоянии обслуживать 4 клиентов в час, но его можно нанять на работу за 10 ден. ед /ч. Клиенты прибывают со скоростью 2 чел /ч.

Предполагая пуассоновское распределение времени прибытия и экспоненциальное распределение продолжительности времени обслуживания, определить:

1. среднее время, которое клиент проводит в очереди;

2. среднюю длину очереди;

3. среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания;

4. среднее число клиентов в системе обслуживания;

5. вероятность того, что система обслуживания окажется незанятой при условии найма одного или другого механика.

Компания оценивает издержки по ожиданию клиентами своей очереди в 15 ден. ед /ч. Какого механика следует нанять, чтобы обеспечить меньшие совокупные издержки? Каковы минимальные совокупные издержки?

8. Фирма «Уют» предлагает своим клиентам помощь в дизайне дома или офиса. В нормальном режиме за каждый час прибывает в среднем 2,5 клиента. Единственный консультант по дизайну отвечает на вопросы клиента и дает необходимые рекомендации. Он тратит на каждого посетителя в среднем 10 мин.

Предполагая пуассоновское распределение времени прибытия и экспоненциальное распределение продолжительности обслуживания, определить:

1. среднее время, которое клиент проводит в очереди;

2. среднюю длину очереди;

3. среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания;

4. среднее число клиентов в системе обслуживания;

5. вероятность того, что система обслуживания окажется незанятой.

Желательно, чтобы прибывающий клиент не ждал своей очереди в среднем более 5 мин. Соответствует ли реальная ситуация данному пожеланию? Если нет, то что необходимо предпринять? Предположим, что консультант способен уменьшить среднее время, которое он проводит с клиентом, до 8 мин. Какой станет средняя скорость обслуживания? Будет ли достигнута желаемая цель?

9. Торговая фирма планирует принимать заказы клиентов по телефону. Для этой цели необходимо выделить и подготовить персонал, а также выбрать соответствующую мини-АТС с несколькими телефонными аппаратами. Порядок обслуживания должен быть следующим: если заказ поступает, когда все линии заняты, то абонент получает отказ. Если же в момент поступления заказа