21

Лекция 6 Системы математических вычислений MathCad Matlab http://detc.usu.ru/assets/amath0021/l5.htm

Назначение MathCAD

MathCAD является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов.

Пользователи MathCAD - это студенты, ученые, инженеры, разнообразные технические специалисты. Благодаря простоте применения, наглядности математических действий, обширной библиотеке встроенных функций и численных методов, возможности символьных вычислений, а также превосходному аппарату представления результатов (графики самых разных типов, мощных средств подготовки печатных документов и Web-страниц),MathCAD стал наиболее популярным математическим приложением.

Интерфейс пользователя

В MathCAD интерфейс пользователя интуитивен и сходен с другими приложениями Windows. Его составные части:

- верхнее меню, или строка меню (menu bar);

- панели инструментов (toolbars) Standard (Стандартная) и Formatting (Форматирование);

- панель инструментов Math (Математика) и доступные через нее дополнительные математические панели инструментов;

- рабочая область (worksheet);

- строка состояния (status line, или status bar);

- всплывающие, или контекстные, меню (pop-up menus, или context menus);

- диалоговые окна, или диалоги (dialogs).

Большинство команд можно выполнить как с помощью меню (верхнего или контекстного), так и панелей инструментов или клавиатуры.

Большинство команд можно выполнить как с помощью меню (верхнего или контекстного), так и панелей инструментов или клавиатуры.

Меню. Строка меню располагается в самой верхней части окна MathCAD. Она содержит девять заголовков, щелчок мышью на каждом из которых приводит к появлению соответствующего меню с перечнем сгруппированных по действию команд:

- File (Файл) - команды, связанные с созданием, открытием, сохранением, пересылкой по электронной почте и распечаткой на принтере файлов с документами;

- Edit (Правка) - команды, относящиеся к правке текста (копирование, вставка, удаление фрагментов и т. п.);

- View (Вид) - команды, управляющие внешним видом документа в окне редактора MathCAD, а также команды, создающие файлы анимации;

- Insert (Вставка) - команды вставки различных объектов в документы;

- Format (Формат) - команды форматирования текста, формул и графиков;

- Math (Математика) - команды управления вычислительным процессом;

- Symbolics (Символика) - команды символьных вычислений;

- Window (Окно) - команды управления расположением окон с различными документами на экране;

- Help (Справка) - команды вызова контекстно-зависимой справочной информации, доступа к Центру Ресурсов, опции Совета Дня и сведений о версии программы.

Математические панели:

Calculator (Калькулятор) - служит для вставки основных математических операций, получила свое название из-за схожести набора кнопок с кнопками типичного калькулятора;

- Graph (График) - для вставки графиков;

- Matrix (Матрица) - для вставки матриц и матричных операторов;

- Evaluation (Выражения) - для вставки операторов управления вычислениями;

- Calculus (Вычисления) - для вставки операторов интегрирования, дифференцирования, суммирования;

- Boolean (Булевы операторы) - для вставки логических (булевых) операторов;

- Programming (Программирование) - для программирования средствами MathCAD;

- Greek (Греческие символы) - для вставки греческих символов;

- Symbolic (Символика) - для вставки символьных операторов.

Рабочая область

Большую часть окна MathCAD занимает рабочая область, в которую пользователь вводит математические выражения, текстовые поля и элементы программирования.

Курсор ввода имеет вид небольшого крестика (на экране имеет красный цвет). С его помощью отмечается незаполненное место в документе, куда в текущий момент можно вводить формулы или текст. Чтобы переместить курсор, достаточно щелкнуть указателем мыши в требуемом месте, либо передвинуть его клавишами-стрелками. Если выполнить щелчок в области формулы или начать ввод выражения на пустом месте, вместо курсора появятся линии редактирования, отмечающие место в формуле или тексте, редактируемое в данный момент.

Пример расчета. Для вычисления синуса какого-нибудь числа достаточно ввести с клавиатуры выражение типа sin(1/4) =. После того как будет нажата клавиша со знаком равенства с правой стороны выражения, появится результат:

Использование переменных в расчетах

Определение функции пользователя и расчет ее значения в точке х=1

Решение алгебраических (и других) уравнений и систем.

1. Линейные алгебраические уравнения.

2. Квадратные уравнения и алгебраические уравнения высших порядков.

3. Иррациональное уравнения.

4. Экспоненциальные и логарифмические уравнения.

5. Тригонометрические уравнения.

6. Неравенства.

7. Системы линейных уравнений.

8. Нелинейные уравнения и системы уравнений.

Квадратные уравнения и алгебраические уравнения высших порядков.

Определение: Уравнение P(x)=0 называется алгебраическим уравнением n-го порядка, если P(x) представляет собой полином степени n, при n=2 данное уравнение называется квадратным уравнением.

При решении такого рода уравнения необходимо выполнить те же действия, что и при решении линейных уравнений.

Квадратное уравнение.

Команда Solve (Вычислить) подменю Variable (Переменные) меню Symbolics (Символы) дает решение в виде вектора: L={-2, -4}.

<

Аналогичный результат можно получить, используя директивы системы Smartmath.

Для этого необходимо включить панель символьных преобразований и после ввода выражения нажать кнопку со словом solve. В шаблоне, появившемся после вставки ключевого слова, необходимо указать переменную, относительно которой решается уравнение.

Другой способ решения заключается в использовании команды Factor (Фактор) меню Symbolics (Символы) для разложения полинома на множители в соответствии с теоремой Виета:

Отметим, что при иррациональных и комплексных решениях команда Factor (Фактор) меню Symbolics (Символы) не работает. Но MathCAD находит и такие решения при использовании команды Solve

Квадратные уравнения с комплексными коэффициентами.

При вводе уравнения с комплексными коэффициентами Следует вводить для i: 1i; для -i: -1i; для 2i: 2i; ни в коем случае не вводить "*"! Как видим, MAthCAD неплохо справляется и с такими задачами.

Уравнения более высокого порядка.

Mathcad может решать уравнения вплоть до порядка 4 (даже символьно). Если возможно частичное разложение на множители, то разрешимы уравнения и более высокого порядка.

Кубические уравнения.

Уравнение седьмого порядка.

Системы линейных уравнений.

Для численного решения линейных систем уравнений в MathCAD имеется специальная функция:

lsolv(A,B) Она решает систему линейных алгебраических уравнений вида А x X =B, выдавая решение - вектор X.

А - матрица коэффициентов размерности nxn;

В - вектор свободных членов размерности n ;

X - вектор неизвестных пока решений.

Эквивалентной для MathCAD формой представления систем линейных уравнений является матричная форма. Представленные таким образом системы можно решать как символьно, так и численно.

Хорошей альтернативой решению систем в матричной форме является так называемый solve block (Блок решения). Он удобен тем, что при его использовании уравнения записываются не в матричной, а в обычной форме, а также тем, что позволяет решать нелинейные уравнения и вводить ограничительные условия для определяемого решения. Блок решения применяется как для нахождения численного решения, так и для отыскания решения в символьном виде.

Синтаксис Блока решения:

Given

Уравнения

Ограничительные условия

Find(v1,v2,...vn) - возвращает значение одной или ряда переменных для точного решения

vi - переменные, которые надо найти.

Последовательность действий при численном решении: Задаем начальные (стартовые) значения для искомых переменных.

Заключаем уравнения в блок решения, начинающийся ключевым словом Given и заканчивающийся ключевым словом Find(v1,v2,...vn).

Если после слова Find(v1,v2,...vn) ввести знак равенства [=], MathACD выдаст численное решение.

При символьном решении не надо вводить начальные значения, а после ключевого слова Find(v1,v2,...vn) вместо знака равенства следует ввести символьный знак равенства (при помощи комбинации [Ctrl+.] или соответствующей пиктограммы панели Evaluation).

Существует еще одно важное отличие между блоком решения и использованием матричных операций. Если определитель матрицы коэффициентов равен нулю, матричные методы оказываются непригодными. В таком случае система не имеет решений или разрешима неоднозначно. Если же применить блок решения, MathCAD распознает неоднозначность и выдает решение в параметрической форме.