Лабораторные_1 / ЛР_ММИП_11

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра "Автоматизированные системы управления"

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ И УПРАВЛЕНИЯ

Методические указания

к лабораторной работе 11 для студентов по специальности 1-53 01 02

« Автоматизированные системы обработки информации»

Могилев 2011

УДК 621.01

ББК 36.4

И87

Рекомендовано к опубликованию

учебно-методическим управлением

ГУВПО «Белорусско-Российский университет»

Одобрено кафедрой «Автоматизированные системы управления»

«11» мая 2010 г. протокол №8

Составитель канд. техн. наук, доц. А.И. Якимов

Рецензент канд. техн. наук, доц. Г.С. Леневский

Изложены последовательность выполнения и варианты заданий для лабораторной работы по нечеткой логике.

Учебное издание

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ И УПРАВЛЕНИЯ

Ответственный за выпуск	С.К. Крутолевич
Технический редактор	А.Т. Червинская
Компьютерная верстка	Н.П. Полевничая

Подписано в печать . Формат 60х84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс.

Печать трафаретная. Усл.печ.л. . Уч.-изд.л. . Тираж 65 экз. Заказ №

Издатель и полиграфическое исполнение

Государственное учреждение высшего профессионального образования

«Белорусско-Российский университет»

ЛИ № 02330/375 от 29.06.2004 г.

212030, г. Могилев, пр. Мира, 43

© ГУВПО «Белорусско-Российский университет», 2010

Лабораторная работа 11

Приведение формул логики предикатов к сколемовской нормальной форме

Цель работы: Изучить приведение формул логики предикатов к сколемовской нормальной форме.

Порядок выполнения работы

1. Изучить теоретические сведения.

2. Получить задание у преподавателя.

3. Исследовать приведение формул логики предикатов к сколемовской нормальной форме.

4. Сделать выводы по результатам исследований.

5. Оформить отчет.

Требования к отчету

1. Цель работы.

2. Постановка задачи.

3. Результаты исследования приведения формул логики предикатов к сколемовской нормальной форме.

4. Выводы.

1. Теоретические сведения

1. Равносильные формулы логики предикатов

Пусть формулы F и G имеют одно и то же множество свободных переменных (в частности, пустое). Формулы F и G равносильны в данной интерпретации, если они принимают одинаковые значения на любом наборе свободных переменных, т. е. выражают в данной интерпретации один и тот же предикат.

Формулы F и G равносильны на множестве M, если они принимают одинаковые значения во всех интерпретациях заданных на множестве М.

Формулы F и G равносильны в логике предикатов, если они равносильны на всех множествах .

Рассмотрим правила перехода от одних формул к другим, им равносильным.

(1) Перенос квантора через отрицание. Пусть W(X) — формула, содержащая свободную переменную х. Тогда справедливы равносильности:

(2) Вынос квантора за скобки. Пусть формула W(x) содержит свободную переменную х, а формула В не содержит переменной х. Формулы W(x) и В удовлетворяют третьему правилу создания формул. Тогда справедливы равносильности:

(3) Перестановка одноименных кванторов. Имеем

(4) Переименование связанных переменных. Заменяя связанную переменную формулы W другой переменной, не входящей в эту формулу, в кванторе и всюду в области действия квантора, получим формулу, равносильную W.

1.2 Приведенные и нормальные формы в логике предикатов

Рассмотрим способ упрощения формул, опирающийся на приведенные равносильности.

Формулы, в которых из логических символов имеются только символы конъюнкция, дизъюнкция и отрицание, причем символ отрицания встречается над символами предикатов, будем называть приведенными.

Например, формула — приведенная;

формула — неприведенная.

Для любой формулы существует равносильная ей приведенная формула, причем множества свободных и связанных переменных этих формул совпадают.

Такая приведенная формула называется приведенной формой данной формулы.

В логике высказываний мы ввели две нормальные формы – дизъюнктивную нормальную форму и конъюнктивную нормальную форму.

В логике предикатов также имеется нормальная форма, цель которой – упрощение процедуры доказательств.

Приведенная формула называется нормальной, если она не содержит символов кванторов или все символы кванторов стоят впереди (т. е. логические символы и символы предикатов стоят в области действия каждого квантора).

Для любой приведенной формулы существует равносильная ей нормальная формула той же длины (под длиной формулы будем понимать общее число входящих в нее символов предикатов, логических символов и символов кванторов).

Нормальная формула называется нормальной формой данной формулы.

Приведем несколько формул, находящихся в нормальной форме:

Алгоритм преобразования формул в нормальную форму:

1. Исключить логические связки и с помощью формул

2. Использовать закон , законы де Моргана:

законы

чтобы пронести знак отрицания внутрь формулы.

3. Переименовать связанные переменные, если это необходимо.

4. Использовать равносильные формулы логики предикатов, чтобы вынести кванторы в самое начало формулы для приведения ее к нормальной форме. Например, приведем формулу к нормальной форме:

Следовательно, нормальная форма формулы — это .

.

2. Примеры решения задач

Проверить логическую общезначимость следующих формул.

Пример 1. Дана формула: Если формула общезначима, она принимает истинное значение на всех возможных интерпретациях.

Для проверки общезначимости используем метод нахождения контрпримера. Предположим, что формула не является логически общезначимой. Тогда существует такое множество М, интерпретации Р*(х), Q*(x) предикатов Р(х), Q(x) соответственно, что Отсюда следует, что

(1)

(2)

Формула (2) принимает ложное значение, если на области интерпретации существует хотя бы одно значение, при котором , т.е. Для того, чтобы формула (1) приняла значение F, достаточно, чтобы существовало хотя бы одно значение х, например, х=с, такое, что |Р*(с)| =Т, а |Q*(с)| =F (с не обязательно совпадает с а).

Следовательно, мы нашли контрпример: достаточно на некотором n-элементном множестве М (п ≥ 2) найти такую интерпретацию, при которой |Р*(с)| = Т, |Q*(c)| = F и . |Q*(a)| = T.

Таким образом, формула не является логически общезначимой.

Пример 2.

Предположим, что существует множество М и интерпретация на нем Р*(х), Q*(x) такая, что формула на этой интерпретации принимает значение F.

Тогда:

, (1)

(2)

Формула (1) ложна, если и а отсюда следует, что

для любого (3)

для любого (4)

Из (2) следует, что существует такое , что . Возможны три варианта: а) ; b) ; c) .

Вариант а) противоречит условиям (3), (4). Однако, это противоречие еще не доказывает общезначимость формулы — следует проверить все варианты.

Вариант b). Если , то это противоречит условию (3).

Вариант с). Если , то это противоречит условию (4).

Следовательно, не существует такой интерпретации, на которой принимает ложное значение, т.е. она логически общезначима.

Пример 3. Получите нормальную форму для формулы

Решение.

(здесь выносим кванторы влево).

Следовательно, последняя формула есть нормальная форма первой фор­мулы.

Пример 4. Преобразуйте следующие формулы в нормальную форму:

1. 

2. 

3. 

3. Задания для выполнения

Проверить логическую общезначимость и получите нормальную форму следующих формул:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

4. Индивидуальные задания

Вариант	Задание1
1	8
2	4
3	11
4	13
5	9
6	2
7	14
8	5
9	15
10	3
11	10
12	6
13	12
14	1
15	7

5. Контрольные вопросы

1. Сформулируйте основные правила перехода к новым равносильным формулам.

2. Какая формула называется непротиворечивой, противоречивой, общезначимой?

3. Какая формула называется приведенной? Что такое приведенная форма?

4. Какая формула называется нормальной формой? Сформулируйте алгоритм приведения формулы к нормальной форме.

Список использованных источников

1 Галушкина, Ю. И. Конспект лекций по дискретной математике / Ю. И. Галушкина, А. Н. Марьямов. – М. : Айрис-Пресс, 2007. – 176 с. : ил.

10