5. Формулы логики предикатов

Наряду с определенными предикатами, для которых истинность или ложность известны для каждого набора значений свободных предметных переменных, будем рассматривать переменные предикаты, для которых не определены значения. Будем обозначать переменные предикаты большими буквами из конца латинского алфавита с приписанными предметными переменными или без них:

W(x₁, …,x_n);U(x,y), … .

Применяя к переменным предикатам операции ,,,,,,, получим формулы логики предикатов, т.е. формулой логики предикатов называется выражение, составленное из переменных предикатов с помощью логических операций и кванторов и обращающееся в конкретный предикат при подстановке вместо переменных конкретных предикатов.

Например, ((x)W(x,y)B)U(z) – формула логики предикатов.

Формула логики предикатов называется тавтологией, если при подстановке любых конкретных предикатов она всегда обращается в тождественно истинный предикат.

Сформулируем следующие правила.

1. Формула логики предикатов называется атомарной, т.е. элементарной, если в ней нет связанных переменных.

2. Пусть F – формула, тогда F – тоже формула. Свободные и связанные переменные формулыF – это соответственно свободные и связанные переменные формулы F.

3. Пусть F и G – формулы, причем в них нет предметных переменных, которые были бы связаны в одной формуле и свободны в другой.

Тогда FG, FG, FG, FG – формулы, в которых свободные переменные формул F и G остаются свободными, а связанные - связанными.

4. Пусть F – формула, содержащая свободную переменную х. Тогда (x)F, (x)F– тоже формулы, в которых переменная х связана, а остальные свободные переменные, входящие в F, остаются свободными.

Заметим, что по определению формы никакая переменная не может быть одновременно свободной и связанной.

Значение формулы определено лишь тогда, когда задана какая-то интерпретация входящих в нее символов. Под интерпретацией понимаю систему М = <M,f>, состоящую из непустого множества М и соответствия f, которое сопоставляет каждой формуле определенный предикат. При заданной интерпретации предметные переменные пробегают множество М, а логические символы и символы кванторов имеют свой обычный смысл.

Индивидуальные задания

Задача 1

Пусть х {люди},у {вещи, которые можно читать и писать}. На этих областях определения заданы предикаты:

P(x):x– профессор,

S(x):x– студент,

V(x):x– поэт,

R(x,y):xпишетy,

W(x,y):xлюбит читатьy,

N(y):y– роман,

К(y):y– конспект,

C(y):y– стихи,

U(y):y– учебник,

L(y):y– письмо,

H(y):y– шпаргалка.

Следующие высказывания записать в виде формул логики предикатов.

Пример.

Некоторые учебники представляют собой конспекты - y(U(y)&K(y));

Ни один роман не является учебником - y(N(y)U(y));

Каждый читает какие-нибудь учебники - xy(U(y)&W(x,y));

Некоторые студенты читают только учебники - x(S(x)&y(W(x,y)U(y)));

Пушкин писал и стихи, и романы - y(C(y)N(y)R(Пушкин, y));

Студент Боб не пишет письма – S(Боб)&y(L(y)R(Боб,y));

Студент Боб читает только конспекты – S(Боб)&y(W(Боб, y)K(y));

Любой поэт пишет письма - x(V(x)y(L(y)R(x,y))).

Задания.

1. Некоторые романы написаны в стихах.

2. Ни один учебник не написан в стихах.

3. Все конспекты – учебники.

4. Некоторые стихи – письма.

5. «Евгений Онегин» - это роман в стихах.

6. Никто не любит писать письма.

7. Некоторые люди пишут стихи.

8. Те, кто пишет стихи, - поэты.

9. Все поэты любят читать стихи.

10. Все студенты любят читать учебники.

11. Все студенты пишут конспекты.

12. Некоторые студенты пишут только шпаргалки.

13. Никто из студентов не пишет учебники.

14. Некоторые профессора, а также студенты, пишут стихи.

15. Некоторые не любят читать никаких учебников.

16. Студент Том любит читать учебники.

17. Профессор Джонс – поэт.

18. Шекспир писал только стихи.

19. Каждый любит читать какие-либо стихи.

20. Каждый, кто любит читать какие-либо стихи, любит читать стихи Шекспира.

21. Только студенты пишут конспекты.

22. Профессора пишут учебники.

23. Ни один профессор не пишет шпаргалки.

24. Студенты, которые пишут конспекты, не пишут шпаргалки.

25. Поэты пишут стихи.

26. Поэты пишут только стихи.

27. Некоторые поэты пишут и стихи, и романы.

28. Все пишут письма.

29. Только поэты пишут только стихи.

30. Любой поэт любит читать свои стихи.

Задание 1.Построить таблицы истинности на области интерпретации D={1,2}.

Пример. У =xy(P(x)Q(y)R).

Предикаты P(x),Q(y) на области интерпретации D={1,2} принимают следующие значения:

x	P1	P2	P3	P4
1	F	F	T	T
2	F	T	F	T

y	Q1	Q2	Q3	Q4
1	F	F	T	T
2	F	T	F	T

R– замкнутая формула, т.е. высказывание, которое принимает значение T и F.

Поскольку предикат P(x) принимает 4 значения, предикат Q(y) – 4 значения, формула R-2 значения, и в формуле Е нет свободных переменных, ее таблица истинности будет состоять из 442=32 строк. Очевидно, что если |R|=T, то |E|=T, поэтому остается вычислить значение формула на оставшихся 16 интерпретациях формулы при |R|=F.

Пусть |R|=F. Рассмотрим вычисление значения формулы на интерпретацииP=P₁и Q=Q₂.

Пусть P=P₂и Q=Q₁. Тогда

Аналогично находятся остальные значения формулы Е, которые приведены ниже в таблице.

P

P1

P1

P1

P1

P2

P2

P2

P2

P3

P3

P3

P3

P4

P4

P4

P4

Q

Q1

Q2

Q3

Q4

Q1

Q2

Q3

Q4

Q1

Q2

Q3

Q4

Q1

Q2

Q3

Q4

E

T

T

T

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

Задания.

1. xy(P(x)Q(y)R);

2. x(y(RP(x) Q(y)));

3. x(Ry(P(x) Q(y)));

4. x(Ry(Q(y)P(x)));

5. x(P(x) y(R Q(y)));

6. x(P(x) y(Q(y) P(x)));

7. x(P(x)&y(Q(y) R));

8. x(P(x) y(Q(y) R) S);

9. x(P(x)& y Q(y)) x P(x);

10. xy(P(x) Q(y) Q(y));

11. x(P(x)& y(Q(y) P(x)));

12. x(y(P(x) R(y))Q);

13. x(P(x)& z R(z) y Q(y));

14. x((P(x)y Q(y))&P(x));

15. y(P(y) xQ(x) P(y));

16. y(P(y) x R(x))Q;

17. xy(P(x) Q(y)) R;

18. x P(x) y Q(y) R;

19. x(P(x) y Q(y) R);

20. x(y(RP(x) Q(y)));

21. x(P(x) y(Q(y) P(x)));

22. y(x P(x) Q(y) Q(y));

23. x(P(x)& y(Q(y) P(x)));

24. x(y(P(x) (RQ(y))));

25. x((P(x) y Q(y))&P(x)).

Задача 5.Основные аксиомы натуральных чисел таковы:

А₁: Для каждого числа существует одно и только одно число, непосредственно следующее за ним.

А₂: Нет числа, за которым непосредственно следует 0.

А­₃: Для каждого числа, отличного от нуля, существует одно и только одно непосредственно предшествующее ему число.

Пусть f(x) и y(x) представляют соответственно число, непосредственно следующее за х и непосредственно предшествующее х.

Пусть «х равно у» - предикат, обозначенный через Е(х,у). Записать аксиомы с помощью формул логики предикатов.

Решение. А₁: (x)(y)E(y,f(x))(z)(E(z,f(x))E(y,z)),

A₂:

A₃: (x)

Задача 6.Определите значение формул:

а) (x)P(x); б) (x)

в интерпретации М=<M,f>, где М={1,2}: f: P(1) – истина; P(2) – ложь.

Решение.

а) (x)P(x) – ложь, так как P(x) – не истина как для х=1, так и для х=2;

б) (x)– истина, так какв этой интерпретации истина.

Задача 7.Оцените формулу (x)(y)P(x,y) в интерпретации М{1,2}

P(1,1)	P(1,2)	P(2,1)	P(2,2)
И	Л	Л	И

Решение. Если х=1, то существует у=1 такой, что P(1,y) есть истина.

Если х=2, также существует такой у, что P(2,y) – истина.

Следовательно, в указанной интерпретации для каждого х из М существует такое значение у, что P(x,y) есть истина, т.е. (x)(y)P(x,y) есть истина в этой интерпретации.

Задача 8.Рассмотрим формулу G: (x)P(x)Q(f(x), a), здесь а – константа, f – одноместная функция,P– одноместный предикат, Q – двуместный предикат.f(2)=1;P(1) – Л;P(2) – И;Q(1,1) – И;Q(1,2) – И;Q(2,1) – Л;Q(2,2) – И. Оцените эту формулу.

Решение. Если х=1, то

P(x)Q(f(x),a)=P(1)Q(f(1),a)=P(1)Q(2,1)=ЛИ=И.

Если х=2, то

P(x)Q(f(x),a)=P(2)Q(f(2),a)=P(2)Q(2,1)=ИИ=И.

Так как P(x)Q(f(x),a) истинно для всех х из области М, то формула (x)(P(x)Q(f(x),a)) истинно в заданной интерпретации.

Задача 9.Используя интерпретации из задачи 8, оцените следующие формулы:

а) (x)(P(f(x))Q(x, f(a)));

б) (x)(P(x)Q(x, a));

в) (x)(у)(P(x)Q(x,у)).

Ответ: а) – истина; б) – ложь; в) – ложь.

Задача 10.Рассмотрим формулы

F₁: (x)(P(x)Q(x));

F₂:P(a).

Докажите, что Q(a) есть логическое следствие формул F₁и F₂.

Решение. Рассмотрим любую интерпретацию. Из определения следует, что формула есть логическое следствие формул F₁и F₂тогда и только тогда, когда для каждой интерпретации данная формула истинна, если F₁F₂– истина.

Рассмотрим любую интерпретацию, которая удовлетворяет

(x)(P(x)Q(x))P(a).

В этой интерпретации P(a) – истина.

Пусть Q(a) не является истиной в этой интерпретации, тогдаQ(a)=P(a)Q(a) – не истина. Это значит, что (x)(P(x)Q(x)) – ложь, что невозможно. Следовательно, Q(a) должно быть истиной в каждой интерпретации, которая удовлетворяет (x)(P(x)Q(x))P(a). Это означает, что Q(a) есть следствие из F₁ иF₂.

Задача 11.Докажите следующее:

1. (x)P(x)(у)- противоречива (невыполнима), т.е. не существует интерпретации, удовлетворяющей этой формуле.

2. P(a)– непротиворечива (выполнима), т.е. существует такая интерпретация, что формула истинна в этой интерпретации.

3. а) (x)P(x)(у)P(y), б) (x)P(x)(у)общезначимы, т.е. не существует никакой интерпретации, которая удовлетворяет формулам.

Индивидуальные задания

Вариант	Задание 1	Задание 2
1	1(30)	2(18)
2	1(20)	2(22)
3	1(24)	2(14)
4	1(17)	2(20)
5	1(29)	2(21)
6	1(21)	2(13)
7	1(19)	2(17)
8	1(27)	2(24)
9	1(23)	2(15)
10	1(28)	2(12)
11	1(22)	2(19)
12	1(26)	2(12)
13	1(19)	2(25)
14	1(25)	2(16)
15	1(18)	2(23)

Контрольные вопросы

1. Что называется предикатом? Приведите примеры предикатов.

1. Какой предикат называется разрешимым, тождественно истинным, тождественно ложным?

2. Перечислите операции, которые можно осуществить над предикатами. Как применяются предикаты в алгебре? Что такое множество истинности предиката?

3. Из чего состоит алфавит логики предикатов? Что такое квантор?

4. Что называется формулой логики предикатов?

5. Сформулируйте основные правила построения формул.

6. В чем состоит смысл термина «интерпретация» в логике предикатов?