2. Отображение множеств

Соответствие f, сопоставляющее каждому элементу х множеств X один и только один элемент множества Y, называется отображением мно­жества X во множество Y.

Элемент множества Y, соответствующий при отображении f элементу х из Х, обозначают f(x) и называют образом элемента х при этом отобра­жении.

Если f(x) = у, то элемент х называют прообразом элемента у при отображении f.

Совокупность всех прообразов элемента у при отображении f назы­вается полным прообразом этого элемента и обозначается f^-1(y), т.е. f^-1={x: f(x)=y}.

Правая часть читается: «совокупность таких х, что f(x) = у».

Каждому подмножеству А множества X (А  X) соответствует его образ f(А) при отображении А. Этот образ состоит из всех элементов мно­жества Y, которые являются образами какого-нибудь элемента из А: f(A)={y: y = f(a),aA}.

Каждому подмножеству В множества Y (В  Y) соответствует его полный прообраз f^-1(B) при отображении f. Он состоит из всех элементов, образы которых принадлежат В: f^-1 (В) = {х : f{x)  В}.

Множество А называется областью определения отображения f, а мно­жество f(А) называется множеством значений этого отображения.

Частный случай отображения множества X в множество Y имеет место, если каждый элемент множества Y имеет прообраз. В этом случае отображение f называется сюръективным.

Если для каждого элемента у  Y существует не более одного прообра­за, т. е. f(x₁)  f(x₂) для любых x₁, x₂  X, если х₁ x₂, то отображение f называется инъективным.

Если отображение f сюръективно и инъективно, то оно называется биективным (взаимно-однозначным).

С точки зрения отображений два множества называются количест­венно-эквивалентными, если между ними можно установить биективное отображение.

Если между элементами множеств А и В существует биективное отоб­ражение, то множества A и В называются равномощными.

Для конечных множеств A и В понятие равномощности означает, что они имеют одно и то же число элементов. Таким образом, если А — ко­нечное множество, содержащее n элементов, то мощностью множества А называется число n и обозначается |А|, т. е. |А| = n.

Очевидно, что отношение равномощности является отношением экви­валентности, поэтому равномощные множества часто называют эквивалентными.

3. Функции

В основе всех разделов дискретной математики лежит понятие функции.

Функцией называется бинарное отношение f, если из <х, у>  f и <x, z>  f следует, что y=z.

Две функции f и g равны, если они состоят из одних и тех же элемен­тов. Область определения функции и область ее значений задается так же, как и для бинарных отношений. Если область определения _f = X и область значений _f  Y, то говорят, что функция f задана на множестве X со значениями во множестве Y, при этом f отображает множество X во множество Y. Это отображение обозначается как f : X  У.

Если f — функция, то вместо <х, у>  f пишут у = f(x) и говорят, что у — значение, соответствующее аргументу х, или у — образ элемента х при отображении f. При этом х называют прообразом элемента у.

Назовем f — n-местной функцией из X в Y, если f : Хⁿ  Y. Тогда записываем у = f{x₁,...,x_n) и говорим, что у — значение функции при значении аргументов х₁, ...,х_n.

Пусть f: X  У. Функция f называется инъективной, если для любых x₁, x₂, у из у = f(x₁) и y = f(x₂) следует, что х₁ = х₂.

Функция f называется сюръективной, если для любого элемента у  Y существует элемент х  X такой, что у = f(x).

Функция f называется биективной, если f одновременно сюръективна и инъективна.

Если существует биективная функция f: XУ, то говорят, что f осуществляет взаимно-однозначное соответствие между множествами X и Y.

Если f : X  Y, a g : Y  Z, то функция F : X  Z, определенная для каждого х  X формулой F(x)=g(f(x)), называется композицией (суперпозицией) функции f и g, или сложной функцией.

Пусть задана функция f : X  Y и _f — множество ее значений. Сово­купность всевозможных упорядоченных пар вида <у, f^-1(y)>, у  _f обра­зует функцию, которая называется обратной функцией для функции f и обозначается f^-1.

Обратная функция f^-1 ставит в соответствие каждому элементу у  _f его прообраз f^-1(y), т.е. некоторое множество элементов. Заметим, что для того, чтобы f^-1 являлась функцией, достаточно, чтобы функция f была инъективной.

Индивидуальные задания

Задача 1. Из множеств {а, b, с} и {1,2} составьте кортежи.

Решение. Из данных множеств можно составить 6 кортежей длины 2. <а, 1>; <а,2>; <b,1>; <b,2>; <с,1>; <с,2>.

Задача 2. Сравните кортежи:

а) <l²,2²,3²> и <, , >;

б) <1, 2 ,3> и <3, 1, 2>;

в) <1, 2, 3> и <1, 2, 3, 4>.

Решение, а) Кортежи <l²,2²,3²> и <, , > равны, поскольку l²=;

2²= ; 3²= б) кортежи <1, 2 ,3> и <3, 1, 2> различны. Хотя имеют одинаковую длину и одно и то же множество координат, но эти координаты располагаются в разном порядке; в) кортежи <1, 2, 3> и <1, 2, 3, 4> различны, так как имеют разную длину.

Задача 3. Равны ли следующие кортежи: 1)<а,{а,b,с},b,с> и <а,{а,b,с},{b,с}>;

2. <а, {а, b, с}, b, с> и <а, {а, b, с}, b, с>;

3. <а, {а, b, с}, b, с> и <а, {а, b, с}, с, b>;

4. <а, {а, о, с},b, с> и <а, {а, b, с}, а, b, с>?

Задача 4. Пусть A = {1,2,3}, В={х,у}.

Выписать все элементы декартова произведения A х В и В х A. Решение.

АВ = {<1,x>; <2,x>; <3,х>; <1,y>; <2,y>; <3,y>},

ВА = {<х,1>; <х,2>; <х,3>; <у,1>; <у,2>; <у,3>}.

Задача 5. Пусть А = {1, 2}. Выписать все элементы декартова произведения АА. Решение. АА = {<1,1>; <1,2>; <2,1>; <2,2>}.

Задача 6. Из цифр 1,2,3,4,5 составьте все двузначные числа. Как связано получившееся множество с декартовым произведением А  А, где А={1,2,3,4,5}?

Задача 7. Рассмотрим два множества А = {а, b, с, d, е, f, g, h} и В = {1,2,3,4,5, 6,7,8}.

Составьте множество пар <х, у>  А  В. Что это множество представляет? Ответ: множество клеток шахматной доски.

Задача 8. Найдите правую и левую область отношения R = {<1,5>; <1,6>; <1, 7>}. Решение. D_пр. = {5,6,7}; D_лев. = {1}.

Задача 9. Если A={2,3,4,5,6,7,8}, запишите бинарное отношение R={<x,y>: x,yA, x делит y, и x3}.

Решение. R={<2,2>; <2,4>; <2,6>; <2,8>; <3,3>; <3,6>}.

Задача 10. Рассмотрим множество шахматных клеток S = А  В из задачи 7. Определите бинарное отношение R: ход ладьи на множестве S по следующему правилу: <c₁,c₂>  R тогда и только тогда, когда <c₁,c₂>  S и ладья может пройти с клетки c₁ на клетку c₂ одним ходом на пустой доске (напомним, что ладья за один ход может изменить либо горизонтальную координату, либо вертикальную, но не обе координаты одновременно).

Решение. R = {<c₁,c₂>: c₁ = <s₁, t₁>; с₂ =<s₂, t₂>; s₁, s₂  А; t₁, t₂  В и < s₁ = s₂ и t₁ t₂> или < s₁ = s₂ и t₁= t₂>}.

Задача 11. Каждому алгебраическому уравнению ставится в соответствие его степень. Укажите множество значений для этого отображения.

Ответ: Множество N.

Задача 12. Пусть X – множество пальто в гардеробе, Y – множество крючков. В каком случае отображение множества пальто X в множество крючков Y будет инъективным, сюръективным, биективным?

Решение. Отображение, при котором каждому пальто сопоставляется крючок, на котором оно висит, является инъективным, если на каждом крючке висит не более одного пальто (некоторые крючки могут быть пустыми).

Отображение является сюръективным, если на каждом крючке висит хотя бы одно пальто (на некоторых крючках может быть несколько пальто).

Отображение является биективным, если на каждом крючке висит ровно одно пальто.

Заметим, что если существует биективное отображение конечного множества А в конечное множество B, то в множествах А и B поровну элементов. Если же существует инъективное отображение конечного множества А в конечное множество B, то можно сказать, что в B не меньше элементов, чем в А.

Если же в А больше элементов, чем в B, то не существует инъективного отображения А в B.

В случае, когда существует сюръективное отображение А в B, то в А не меньше элементов, чем в B.

Задача 13. Среди следующих отображений укажите сюръективные отображе­ния:

1. X — множество кругов, Y — множество действительных чисел, каждому кругу сопоставляется его площадь;

2. X — множество кругов, Y — множество положительных действительных чисел, каждому кругу сопоставляется его площадь;

3. X = {х : -3  х  5}, Y = R, f : х  х² (R — множество действительных чисел);

4)Х = {х: -3  х  5},Y={х: 0  х  25}, f : х  х².

Ответ: 2) и 4).

Задача 14. Является ли отображением соответствие «Столицей государства X является город Y»? Ответ: Да.

Задача 15. Являются ли следующие отношения функциями:

1) {<1,2>; <2,3>; <3,2>};

2) {<1,2>; <1,3>; <2,3>};

3) {х, х²-2х-3: х R}?

Решение. Отношение 1) — функция; отношение 2) — не является функцией; отношение 3) — функция, которая обычно обозначается у = х² - 2х - 3.

Задача 16. Является ли отношение {<1, а>; <1,b>; <2, а>}, определенное на декар­товом произведении множеств А = {1,2} и В = {а, b}, функцией?

Решение. Не является, так как элементу 1  A ставятся в соответствие различные элементы a, b  В.

Задача 17. Является ли функция f(x) = х² инъективной?

Решение. Не является, так как существуют такие различные значения x₁ и x₂, для которых f(x₁) = f(х₂). Например, пусть x₁ = 1 и х₂ = -1. Тогда f(x₁)=l²=(-l)² = f(x₂).

Задача 18. Является ли отношение {<a₁, b₁>; <а₂, b₂>; <a₃, b₂>}, определенное на декартовом произведении множеств А = {а₁, а₂, a₃} и B = {b₁, b₂, b₃}, функцией?

Если да, то является ли данная функция сюръекцией, инъекцией?

Решение. Поскольку каждому элементу множества А соответствует единственный элемент множества В, то можно утверждать, что данное отношение является функцией. Данная функция не является инъекцией, поскольку существуют различные элементы множества А, которым соответствует один и тот же элемент из В. Так, различным элементам а₂ и a₃ соответствует элемент b₂. Данная функция также не является сюръекцией, поскольку элемент b₃ не входит ни в одну упорядоченную пару.

Задача 19. Является ли отношение {(1, 4); (2, 3); (3, 2); (4, 1)}, заданное на декартовом квадрате множества А = {1, 2, 3, 4}, биективным отображением?

Решение. Сначала проверим, является ли данное отношение отображением. Так как каждый элемент х из А входит в пары вида (х, у) лишь один раз, можно утверждать, что мы имеем дело с отображением. Это отображение инъективно, поскольку для различных первых элементов пар вторые элементы этих пар также различны. Отображение является сюръекцией, так как правая часть отношения совпадает с множеством А. Раз отношение является инъективным и сюръектиным, следовательно, оно является биективным.

Задача 20. Отношение R на множестве всех книг библиотеки определили следующим образом. Пара книг а и b принадлежат В, если и только если в этих книгах есть ссылка на одни и те же литературные источники. Является ли R

а) рефлексивным отношением;

б) симметричным отношением;

в) транзитивным отношением?

Решение. Отношение R рефлексивно, раз две одинаковые книги содержат ссылки на одни и те же литературные источники. Данное отношение также симметрично, так как если в книгах а и b имеется ссылка на какой-либо литературный источник, то в книгах b и а, очевидно, есть ссылки на тот же литературный источник.

Свойство транзитивности, вообще говоря, не выполняется, поскольку возможны случаи, когда книги а и b содержат ссылки на общие литературные источники, книги b и с также ссылаются на общие литературные источники, а книги а и с не имеют общих ссылок. Отсюда можно сделать вывод, что для данного отношения не выполняются условия эквивалентности.

Контрольные вопросы

1. Какие основные символы, используемые в теории множеств, вы знаете?

2. Что такое множество? Как его обозначить? Как можно задать множество? Что такое подмножество?

3. Какие основные операции выполняются над множествами?

4. Какое множество можно назвать универсальным?

5. Что такое диаграмма Эйлера-Венна? Проиллюстрируйте с помощью диаграммы Эйлера-Венна объединение и пересечение трех множеств.

6. Каковы соотношения между множествами и составными высказываниями?

7. Сформулируйте и докажите основные тождества алгебры множеств.

8. Что называется кортежем и какие кортежи называются равными?

9. Что такое: декартово произведение множеств; декартова степень некоторого множества А; бинарное отношение, заданное на множестве А?

10. Назовите основные свойства бинарных отношений. Какое отношение называется рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным? Какое отношение называется отношением эквивалентности?

11. Дайте определение отображения множества А во множество В. Поясните термин «мощность множества».

12. Что такое сюръекция, инъекция, биекция?

13. Дайте определение функции.

Индивидуальные задания

Вариант	Задание 1	Задание 2	Задание 3
1	12	16	19
2	13(1)	15(1)	20
3	13(4)	15(2)	19
4	13(3)	17	20
5	12	15(3)	19
6	13(2)	18	20
7	13(4)	15(2)	19
8	14	15(1)	20
9	13(3)	17	19
10	12	18	20
11	13(1)	16	19
12	13(2)	15(3)	20
13	13(3)	18	19
14	14	16	20
15	13(4)	17	19