4. Графическое представление бинарного отношения

Наглядными примерами графов служат схемы железных дорог, помещаемые на стенах больших вокзалов, и схемы авиалиний в аэропортах. Характерным для таких схем является несоблюдение масштаба, несмотря на то, что они изображаются на фоне очертания страны или контуров материков земного шара. Тем самым подчеркивается, что здесь важна связь (бинарное отношение «есть линия») между населенными пунктами, но не расстояние.

Граф в том виде, как он определен выше, является, по сути дела, графическим представлением бинарного отношения. Пусть задано бинарное отношение R  А  В. Если А  В = , то данное отношение можно представить двудольным ориентированным графом G = (А, В, R), где каждая пара (a, b)  R представляется дугой, исходящей из вершины а и заходящей в вершину b. На рис. 3.2 представлено отношение R между элементами множеств А и В, где A  {a₁, a₂, a₃}, B  {b₁, b₂, b₃, b₄, b₅}, R  {(a₁, b₁), (a₁, b₂), (a₁, b₃), (a₁, b₅), (a₂, b₂), (a₂, b₄), (a₃, b₃)}.

Рис. 3.2. Графическое представление отношения между элементами

Множеств а и в Части графа

Граф Н = (W, F) называется подграфом графа G = (V, E), если W  V, F  E и обе вершины, инцидентные любому ребру из F, принадлежат W. Подграф Н графа G называется его остовным подграфом, если W = V. Если F является множеством всех ребер графа G, все концы которых содержатся в множестве W, то подграф Н = (W, F) называется подграфом, порожденным множеством W.

Любая последовательность вида v₁, e₁, v₂, e₂, … , e_k, v_k + 1, где v₁, v₂, … , v_k + 1 – вершины некоторого графа, а e₁,  e₂, … , e_k – его ребра, причем e_i = v_iv_i + 1 (i = 1, 2, … , k), называется маршрутом. Маршрут может быть конечным либо бесконечным. Одно и то же ребро может встречаться в маршруте не один раз. Длиной маршрута называется количество входящих в него ребер, причем каждое ребро считается столько раз, сколько оно встречается в данном маршруте.

Маршрут, все ребра которого различны, называется цепью. Цепь, все вершины которой различны, называется простой цепью. С понятием длины цепи связано понятие расстояния в графе. Под расстоянием между двумя вершинами понимается длина кратчайшей цепи, связывающей данные вершины.

Маршрут v₁, e₁, v₂, e₂, … , e_k, v₁ называется циклическим. Циклическая цепь называется циклом. Простой цикл – это циклическая простая цепь.

Любую цепь и любой цикл графа можно рассматривать как его подграф.

5. Эйлеров граф

Граф (или мультиграф без петель) называется эйлеровым, если существует цикл без повторения ребер (такой цикл называют эйлеровым), обходящий все вершины графа. Граф называется полуэйлеровым, если существует маршрут без повторения ребер (эйлеров путь), обходящий все ребра графа ровно один раз. На рис. 3 изображены: а – эйлеров граф, б – полуэйлеров граф и в – граф, не являющийся ни эйлеровым, ни полуэйлеровым

Теорема (Эйлер). Для того чтобы данный связный граф (не орграф, но, возможно, мультиграф без петель) был эйлеровым, необходимо и достаточно, чтобы степени всех вершин были четными .Данный связный граф будет полуэйлеровым тогда и только тогда, когда степени двух вершин будут нечетными, а степени остальных вершин – четными.

6. Гамильтонов граф

Маршрутом (или путем) в графе G называется чередующаяся последовательность вершин и ребер v₀, e₁, v₁, …, v_t−1, e_t, v_t+1, в которой e_i = v_i−1v_i (1 ≤ i ≤ t). Такой маршрут кратко называют (v₀, v_t)-маршрутом и говорят, что он соединяет v₀ c v_t; в свою очередь вершины v₀, v_t — это концевые вершины указанного маршрута. Длиной маршрута называют количество содержащихся в нем ребер. Заметим, что в обыкновенном графе маршрут полностью определяется последовательностью v₀, v₁, …, v_t своих вершин. Если v₀=v_t, то (v₀, v_t)-маршрут называется замкнутым.

Цепь — это маршрут без повторяющихся ребер. Цепь называется простой цепью, если в ней нет повторяющихся вершин, кроме, быть может, совпадающих концевых вершин. Замкнутая простая цепь называется циклом (или контуром).

Гамильтоновой цепью графа называется его простая цепь, которая проходит через каждую вершину графа точно один раз. Цикл графа, проходящий через каждую его вершину, называется гамильтоновым циклом. Граф называется гамильтоновым, если он обладает гамильтоновым циклом.

Критерий же существования гамильтонова цикла в произвольном графе еще не найден.

Рассмотрим несколько достаточных условий существования гамильтоновых циклов в графе.

Во-первых, всякий полный граф является гамильтоновым. Действительно, он содержит такой простой цикл, которому принадлежат все вершины данного графа. Во-вторых, если граф, помимо простого цикла, проходящего через все его вершины, содержит и другие ребра, то он также является гамильтоновым.

Пример.

Простой (гамильтонов) цикл выделен сплошной линией , , , , . Заметим, что если граф имеет один гамильтонов цикл, то он может иметь и другие гамильтоновы циклы.

Если гамильтонов граф объединить с еще одной вершиной ребром так, что образуется висячая вершина, то такой граф гамильтоновым не является, поскольку не содержит простого цикла, проходящего через все вершины графа.

Пример.

Не является гамильтоновым и граф, представляющий собой простой цикл с "перекладиной", на которой расположены одна или несколько вершин.

Условие Дирака

Пусть p — число вершин в данном графе; если степень каждой вершины не меньше, чем, то граф называется графом Дирака. Граф Дирака — гамильтонов.

Условие Оре

p— количество вершин в данном графе. Если для любой пары несмежных вершинx,yвыполнено неравенство, то граф называется графом Оре (словами: степени любых двух несмежных вершин не меньше общего числа вершин в графе). Граф Оре — гамильтонов.

Индивидуальные задания

Задача 1. Изобразите графически:

1. Неориентированное и ориентированное ребра;

2. Неориентированный граф G(V,E), заданный множеством V={v₀,v₁,v₂,v₃,v₄,v₅} и соответствием: Е(v₀)={v₁,v₂}={v₀,v₂,v₄}; Е(v₁)={v₀,v₂,v₄}; Е(v₂)={v₀,v₁,v₅}; Е(v₃)={v₄}; Е(v₅)={v₂};

3. Плоский граф;

4. Полный неориентированный граф на трех, четырех и пяти вершинах;

5. Неполный ориентированный граф на пяти вершинах;

6. Петлю графа;

7. Неориентированный и ориентированный мультиграф.

Решение.

Неориентированное Ориентированное

ребро ребро

Плоский граф

Мультиграф Ориентированный

мультиграф

Задача 2. Докажите, что в полном графе с n вершинамиребер.

Решение. Каждой вершине в полном графе с n вершинами принадлежит n-1 ребро, но в произведении n(n-1) каждое ребро учтено дважды (так как одно ребро инцидентно двум вершинам). Следовательно, число ребер в полном графе с n вершинами равно.

Задача 3.Девять шахматистов проводят турнир в один круг (каждый из участников должен сыграть с остальными по одному разу). Покажите, что в любой момент найдутся два шахматиста, сыгравшие одинаковое число партий.

Решение. Переведем условие задачи на язык графов. Каждому шахматисту поставим в соответствие вершину графа, соединим ребрами попарно вершины, соответствующие шахматистам, уже сыгравшим между собой партию. Получим граф с девятью вершинами. Степени его вершин равняются числу партий, сыгранных соответствующими игроками. Покажем, что во всяком графе с девятью вершинами всегда найдутся хотя бы две вершины одинаковой степени.

Каждая вершина графа с девятью вершинами может иметь степень 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Предположим, что существует граф G, все вершины которого имеют разную степень, т.е. каждое из чисел последовательности 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 является степенью одной и только одной из его вершин. Но этого не может быть, так как если в графе есть вершина v_iстепени 0, то в нем найдется вершина v_jсо степенью 8. Эта вершина v_jдолжна быть соединена ребрами со всеми остальными вершинами графа, в том числе и с v_i, поэтому степень вершины v_iне может равняться 0. Таким образом, в графе с девятью вершинами не могут быть одновременно вершины степень 0 и 8. Следовательно, найдутся хотя бы две вершины, степени которых равны между собой. Таким образом, доказано, что в любой момент найдутся хотя бы два шахматиста, сыгравшие одинаковое число партий.

Задача 4.(Для самостоятельного решения.)

Девять человек проводят шахматный турнир в один круг. К некоторому моменту выясняется, что двое сыграли одинаковое число партий. Докажите, что тогда либо один участник еще не сыграл ни одной партии, либо один сыграл все партии.

Задача 5.Может ли так случиться, что в одной компании из шести человек каждый знаком с двумя и только с двумя другими?

Решение. Участников этой компании изобразим вершиной графа (рис. 5.1), а отношение знакомства между двумя участниками – ребром. Изобразим графы, которые могут соответствовать такой компании.

Рис. 5.1

Про граф G₁говорят, что он связный, так как из каждой вершины по ребрам можно попасть в любую другую. Делаем вывод, что в этом случае каждый через своих знакомых может познакомиться со всеми остальными.

Про граф G₂говорят, что он несвязный, так как состоит из двух простых циклов. Делаем вывод, что граф соответствует двум компаниям, участники одной из них могут быть не знакомы с участниками другой.

Задача 6.Из пункта А в пункт В выехали пять машин одной марки разного цвета: белая, черная, красная, синяя, зеленая. Черная едет впереди синей, зеленая – впереди белой, но позади синей, красная впереди черной. Какая машина едет первой и какая последней?

Решение. Решаем задачу, построив ориентированный граф для отношения f: «х едет сзади у». На плоскости отметим пять точек, соответствующих каждой машине, и обозначим их первой буквой цвета машины (рис. 5.2)

Рис. 5.2

Анализируя граф, получаем следующий порядок движения: красная, черная, синяя, зеленая, белая.

Задача 7. Пусть даны графы G₁(X,E) и G₂(Y,E), изображенные на рис. 5.3.

Установите, изоморфны ли данные графы.

Решение. Для доказательства того, что граф G₁изоморфен графу G₂необходимо и достаточно выполнение условия: найти такую подстановку, которая граф G₁переводит в граф G₂.

Запишем элементы xX и yY с соответствующими им парами чисел, где первое число – число исходов из вершины, а второе – число заходов в

Рис. 5.3

вершину. Далее определим частичную подстановку, соединяя вершины x_iи y_iс одинаковыми числами (рис. 5.4).

Рис.5.4

В результате получим подстановку

.

Следовательно, графы G₁и G₂изоморфны.

Задача 8.Для неориентированного графа, изображенного на рис. 5.5, постройте матрицу смежности и матрицу инцидентности.

Рис.5.5

Решение. Матрица смежности

Матрица инцидентности

Задача 9.Задан граф G(V,E), где V={v₁,v₂,v₃,v₄,v₅};={v₁,v₃,v₅};=;={v₁,v₂,v₅};={v₁};={v₁,v₂,v₃,v₄,v₅}.

1. Задайте граф с помощью бинарного отношения, т.е. совокупности множества V и подмножества множества упорядоченных пар <v_i,v_j>VV.

2. Изобразите орграф на рисунке.

3. Постройте матрицу смежности.

Решение.

1. V={v₁,v₂,v₃,v₄,v₅}.

Множество пар: {<v₁,v₁>; <v₁,v₃>; <v₁,v₅>; <v₃,v₁>; <v₃,v₂>; <v₃,v₅>; <v₄,v₁>; <v₅,v₂>; <v₅,v₃>; <v₅,v₄>; <v₅,v₅>}.

2. См. рис.5.6

Рис. 5.6

3. 

Задача 10.Дано множество V={1,2,3,4,5}. На этом множестве задано отношение f: x>y. Постройте орграф данного отношения.

Решение. Для того чтобы построить орграф данного отношения f: x>y, изобразим все элементы множества V точками на плоскости и проведем стрелку от каждого большего числа к меньшему (рис. 5.7).

Рис. 5.7

Задача 11.Дана матрица

Постройте орграф, для которого данная матрица является матрицей смежности. Найдите матрицу инцидентности орграфа.

Решение. Для построения орграфа его вершине однозначно сопоставим точку на плоскости. Данная матрица смежности имеет четыре строки и четыре столбца, следовательно, в орграфе четыре вершины: 1, 2, 3, 4.

Проанализируем элементы матрицы:

а₁₁=0 – при вершине 1 нет петель;

а₁₂=2 – из вершины 1 выходят две стрелки к вершине 2;

а₁₃=0 – из 1 не выходит ни одной стрелки к вершине 3;

а₁₄=0 – из 1 не выходит ни одной стрелки к вершине 4;

а₂₁=0 – из 2 не выходит ни одной стрелки к вершине 1;

а₂₂=0 – при 1 нет петель;

а₂₃=1 – из 2 выходит одна стрелка к вершине 3;

а₂₄=0 – из 2 не выходит ни одной стрелки к вершине 4;

а₃₁=1 – из 3 выходит одна стрелка к вершине 1;

а₃₂=0 – из 3 не выходит ни одной стрелки к вершине 2;

а₃₃=0 – при 3 нет петель;

а₃₄=1 – из 3 выходит одна стрелка к вершине 4;

а₄₁=3 – из 4 выходит 3 стрелки к вершине 1;

а₄₂=1 – из 4 выходит одна стрелка к вершине 2;

а₄₃=0 – из 4 не выходит ни одной стрелки к вершине 3;

а₄₄=0 – при 4 нет петель.

Строим орграф (рис. 5.8).

Рис.5.8

Для построенного графа запишем матрицу инцидентности:

Здесь четыре строки по числу вершин и 9 столбцов по числу дуг.

Задача 12. Пусть заданы два графа G₁(V₁,E₁), G₂(V₂,E₂) (рис.5.9).

Рис. 5.9

Изобразите геометрически объединение графов G₁G₂; пересечение графов G₁G₂и сумму по модулю два G₁G₂.

Решение. Объединение графов G₁иG₂: G₁G₂(рис. 5.10).

Пересечение графов G₁иG₂: G₁G₂(рис. 5.11).

Сумма по модулю два графов G₁иG₂: G₁G₂(рис. 5.12).

Рис.5.10 Рис.5.11

Рис.5.12

Задача 13. Найдите эйлеров цикл в эйлеровом графе (рис. 5.13).

Рис.5.13

Решение. После выбора вершины a и прохождении ребер 1 и 2 имеются три возможности выбора: ребра 3, 6 или 7. Выбираем ребро 3 или 6. Например, ребро 3. Далее обходим оставшиеся ребра и получаем эйлеров цикл 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Задача 14.Найдите цикл, содержащий все вершины додекаэдра, причем в точности по одному разу каждую.

Решение. Этот цикл: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 18, 14, 15, 16, 17, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 20. Этот цикл называется гамильтоновым циклом (рис. 5.14).

Рис. 5.14

Задача 15.(Для самостоятельного решения.)

Покажите, что в изображенном графе нет гамильтонова пути, но в графе, полученном из него удалением одной из вершин, имеется гамильтонов цикл (рис. 5.15).

Рис. 5.15

Задача 16.(Для самостоятельного решения.)

Даны графы G₁и G₂(рис. 5.16). Постройте матрицы смежности.

Рис. 5.16

Индивидуальные задания

Для графа заданного матрицей смежности

1. найти матрицу инцидентности

2. построить граф

3. задать граф бинарным отношением

4. определить является ли граф эйлеровым

5. можно ли получить эйлеров цикл удалив некоторые ребра

6. сделайте предположение, является ли граф гамильтоновым

Примечание:

т.к. граф является неориентированным, то в матрице должны быть 1, симметричные относительно главной диагонали, поэтому в некоторых вариантах необходимо проставить 1, симметричные уже заданным