ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра "Автоматизированные системы управления"

Математические модели информационных процессов и управления

Методические указания

к лабораторной работе 13 для студентов по специальности 1-53 01 02

« Автоматизированные системы обработки информации»

Могилев 2010

УДК 621.01

ББК 36.4

И87

Рекомендовано к опубликованию

учебно-методическим управлением

ГУВПО «Белорусско-Российский университет»

Одобрено кафедрой «Автоматизированные системы управления»

«11» мая 2010 г. протокол №8

Составитель канд. техн. наук, доц. А.И. Якимов

Рецензент канд. техн. наук, доц. Г.С. Леневский

Изложены последовательность выполнения и варианты заданий для лабораторной работы по нечеткой логике.

Учебное издание

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ И УПРАВЛЕНИЯ

Ответственный за выпуск	С.К. Крутолевич
Технический редактор	А.Т. Червинская
Компьютерная верстка	Н.П. Полевничая

Подписано в печать . Формат 60х84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс.

Печать трафаретная. Усл.печ.л. . Уч.-изд.л. . Тираж 65 экз. Заказ №

Издатель и полиграфическое исполнение

Государственное учреждение высшего профессионального образования

«Белорусско-Российский университет»

ЛИ № 02330/375 от 29.06.2004 г.

212030, Г. Могилев, пр. Мира, 43

© ГУВПО «Белорусско-Российский университет», 2010

Лабораторная работа 13. Способы задания графов

Цель работы:Изучить способы задания графов.

Порядок выполнения работы.

1. Изучить теоретические сведения.

2. Получить задание у преподавателя.

3. Исследовать способы задания графов.

4. Сделать выводы по результатам исследований.

5. Оформить отчет.

Требования к отчету.

1. Цель работы.

2. Постановка задачи.

3. Результаты исследования способов задания графов.

4. Выводы.

Теоретические сведения.

Существует три эквивалентных способа задания графов: аналитический, геометрический и матричный. Рассмотрим каждый из них.

1. Аналитический способ задания графов.

Граф G(V,E) задан, если задано множество элементов V и отображение Е множества V в V. Отображение Е может быть как однозначным, так и многозначным. В общем случае на V и Е никаких ограничений не накладывается.

Пусть дано множество V={v₁,v₂, …,v_n}, которое имеет мощность |V|=n. Вместо V={v₁,v₂, …,v_n} иногда пишут

V={v_i},i{1,2,…,n}.

Для того чтобы задать отображение Е на V или, что то же самое, отображение V в V, необходимо каждому элементу v_iV поставить в соответствие некоторое подмножество множества V, которому соответствует отображение Е. Это подмножество обозначают через. ПоэтомуV. Совокупности двух объектов: множества V и отображение Е на V задает некоторый граф.

Другой формой аналитического способа задания является задание графа как совокупности множества элементов V и подмножества множества упорядоченных пар < v_i,v_j>VV. Подмножество множества пар <v_i,v_j> декартова произведенияVVэквивалентно бинарному отношению R, заданному на множестве V. Поэтому множество V и бинарное отношение R на множестве V также определяет некоторый граф G.

2. Геометрический способ задания графов.

Множество элементов V графа G изображают кружками, это множество вершин. Каждую вершину v_iV соединяют линиями с теми вершинамиv_iV, для которых выполняется условиеv_i. Множество линий, которое соответствует множеству упорядоченных пар <v_i,v_j>, есть множество ребер графа.

3. Матричный способ задания графов.

Квадратная матрица

,

элементами которой являются нули и единицы, а также некоторое число m, называется матрицей смежности графа G(V,E) тогда и только тогда, когда ее элементы образуются по следующему правилу: элемент a_ij, стоящий на пересеченииv_i-й строки и v_j-го столбца, равен единице, если имеется ребро, идущее из вершиныv_iв вершину v_j, и a_ijравен нулю в противном случае. Элемент a_iiравен единице, если при вершинеv_i­имеется петля, и равен нулю в противном случае. Элемент a_ijравен некоторому числу m, где m – число ребер графа, идущее из вершиныv_i­в вершину v_j.

Пусть v_i­, …,v_n– вершины, а e₁, …,e_m– ребра некоторого ориентированного графа G(V,E). Матрица размером (mn), где

Называется матрицей инцидентности для ребер ориентированного графа.

Таким образом, если граф G(V,E) задан одним из указанных способов: аналитическим, геометрическим или матричным, всегда можно перейти к любому другому способу задания. Результаты, которые получены на одном языке, можно интерпретировать в другом. Наиболее часто для задания графа используется аналитический и матричный способы, а геометрический способ служит для иллюстрации полученных результатов.

Графможно определить как совокупность двух множеств:G = (V,E), гдеV– непустое множество, элементы которого называютсявершинами, иЕ– произвольное множество пар (v_i,v_j) элементов из множестваV, т. е.v_iV,v_jV,ЕV ². Элементы множестваЕназываютсяребрами.

Само понятие графа подразумевает графическое представление данного объекта. Вершины изображаются точками, а ребра – линиями, соединяющими эти точки. Если ребра представляют упорядоченные пары вершин, соответствующие линии изображаются стрелками (рис. 3.1). Такие ребра называют ориентированными ребрамиили, чаще,дугами. В этом случае имеем дело сориентированным графом в отличие отнеориентированногографа, на ребрах которого порядок вершин не задан.

а) б)

Рис. 3.1. Примеры графов: а)неориентированный;

б)ориентированный

Вершины неориентированного графа, связываемые ребром, считаются концамиэтого ребра. Например, концами ребрае₂графа на рис. 3.1,аявляются вершиныv₁иv₃. Принято обозначать ребра также парами их концов, напримере₂v₁v₃. Всякая упорядоченная пара вершин (v_i, v_j), представляющая дугу в ориентированном графе, имеетначалоv_iиконец v_j. Говорят, что дугавыходитиз начала ивходитв конец. В ориентированном графе на рис. 3.1,бначалом дугиа₄является вершинаv₃и концом – вершинаv₂. Это можно представить какa₄ = (v₃, v₂).

Между вершинами и ребрами неориентированного графа так же, как между вершинами и дугами ориентированного графа, существует отношение инцидентности. При этом в неориентированном графеG = (V,E) вершинаvVи реброеЕинцидентны, еслиvявляется одним из концов ребрае. В ориентированном графеG = (V,А) вершинаvVи дугааАинцидентны, еслиvявляется началом либо концом дугиа. Две вершины неориентированного графасмежны, если они инцидентны одному и тому же ребру.

Граф может содержать петли, т. е. ребра, концы которых совпадают, или дуги, у которых начало совпадает с концом. Очевидно, ориентация петли несущественна.

Множество всех вершин графа G, смежных с вершинойv, называетсяокрестностьювершиныvи обозначается символомN(v). Мощность множестваN(v), обозначаемаяd(v), называетсястепеньювершиныv. В ориентированном графе с некоторой вершинойvподобным образом связаны два множества:полуокрестность исходаN ⁺(v) – множество вершин, в которые входят дуги, исходящие из вершиныv, иполуокрестность заходаN ^‑(v) – множество вершин, из которых исходят дуги, заходящие вv. Соответственно мощность множестваN ⁺(v) называетсяполустепенью исходаи обозначаетсяd ⁺(v), а мощность множестваN ^‑(v) –полустепенью заходаи обозначаетсяd ^‑(v). Можно говорить об окрестностиN(v) и степениd(v) вершиныvориентированного графа. При этом

N(v) = N ⁺(v)  N ^‑(v) иd(v) = d ⁺(v) + d ^‑(v).

Для неориентированного графа с множеством ребер Еочевидно следующее соотношение:

= 2|Е|,

откуда следует, что в любом неориентированном графе число вершин с нечетной степенью всегда четно.

Для ориентированного графа с множеством дуг Аимеем

= |А|.

В практических приложениях граф (ориентированный или неориентированный), как правило, является конечным, т. е. его множество вершин конечно. Специальный раздел теории графов изучает такжебесконечные графы, у которых множество вершин бесконечно.

Граф G = (V,E), у которого множество ребер пусто, т. е.Е, называетсяпустымграфом. Неориентированный граф называетсяполным, если любые две его вершины смежны. Полный граф, число вершин которогоп, обозначается символомK_n.

Обозначим множество ребер полного графа символом U.ДополнениемграфаG = (V,E) является графG = (V,E), у которогоE = U \ E. Очевидно, что всякий полный граф является дополнением некоторого пустого графа и, наоборот, всякий пустой граф является дополнением некоторого полного графа.

Граф называется двудольным, если множество его вершинVразбито на два непересекающихся подмножестваVиV, а концы любого его ребра находятся в различных подмножествах. Такой граф задается какG = (V,V,E) или какG = (V,V,A). Вполном двудольном графе (V,V,E) каждая вершина изVсвязана ребром с каждой вершиной изV. Полный двудольный граф, у которогоV   pиV   q, обозначается символомK_p, q.