Литература / Дополнительная литература / 25_В.В.Аниськов, И.В.Близнец - Дискретная математика. Практиченское пособие

65)

f (x˜3) = (10001010);

3

нормальные

ормы1)Задаfдля(x˜ча)следующих=82.(10001000)ПостроитьДопоункций:. лнивсе òупикельныеовыезададизъюнктивныечи

2

f (x˜3) = (01111110);

3

f (x˜3) = (01111110);

4

f (x˜4) = (0110010101100110);

) 5

f (x˜4) = (0110101111011110);

4

или 1)Задасокращеннымиf (x˜ча) =83.(1110011000010101)Выяснить,ледующиеявляютсдизъюнктивныеялитупикнормальныеовыми,минимальными. ормы:

2

x1x2 x2;

3

x¯3x¯4 x1x¯2x3 x¯1x¯2x3;

ункций:следующихдля

1) x1x2 x¯1x3 x¯2x3x4 x2x3.

СДНФдлинуНайти84.Задача

n

x2 . . . xn;

2

f (x˜n) = x1

3

f (x˜n) = (x1 x2 . . . xn)(x¯1 x¯2 . . . x¯n);

. . . xn.

Задачаf (x˜ ) =85.(x1 x2 x3)(x¯1

x¯2 x¯3) x2 x4 x5

переменныхотзависящихункций,Среди

чаоторыеЗадакте,

ункцийподдсчитльшееатьчисчислолобулевыхразличныхнаибоПо86.имеют

x1

è

x2

найти

ункций.

местамиперестановкисле

x2

f (x˜n),

пооторые

Задачаний.

Указать x1

изменяютне

-значесвоих

87.

ункцию

множества

вгалкина

f (x˜n) у которой длина полинома Же-

ормуЗадапочазаданнойn 88раз. Построитьпревосконъюнктивнойхдитсокращеннуюдлину68нормальнойееСДНФдизъюнктивную.орме. нормальную

2

an+2 − 2 · (COS α) · an+1 = a − n = 0; a1 = COS α; a2 = COS 2α.

есличтоДоказать,57.чаЗада2)

íà

x = 1

-многочлекорнемявляетсяне

2

соотношенияx − 2x − 6, то частным решением соответствующего рекуррентного

является

последовательность

an+2 − 2an+1 − 6an = 4n + 5

Задача 58. Доказать, чтоanåñëè= an + b.

Найти a è b.

x = 1

простойрекуррентногоореньмногочлена

2

-ñîîò

xношения− 5x +можтоетчасбы6, òноеьнайденорешениеввидесоответствующего

есличтоДоказать,59.Задача

an = n(an + b). Найти a è b.

x = 1 кратный корень многочлена

2

2

(an+b).

xНайти+2x−3, то частное решение может быть найдено в виде an = n

a

è b.

.2

Булевы

свойстваихункцииункциилевыБу2.1.

n

1}являютсназываетсяяупорбулевойядоченныеункцией

или НаборФóнкциейамия fалгебрызначений: B →логики,B переменныхде. B = {0,

противное)

n

множества из повторениями с последовательности элементные

Åñëè

{0, 1}.

р я выборкаf (x1,çx2, . . . xn

булева

ункциязначение

- некото

(a1, a2

, . . . , an)

áîðåàí

Bn, òî f (a1, a2, . . . , an)

åñòü

ункциийэт

à

и(можЧерезетбыть

значениеэточаетс,ли.

îíопределенабопределенныхуказанномна

(a1, a2, . . . , an)

аргументау кций, Pчерезобозна

всюдувсехмножествоя

булевых

2

(n)

íûõ

P

булевых ункций от n пере-

Выражение(n > 1).

2

n

возмодаватьназываетспомощьюяможноункциювыхБулеву.

блицывекторным

воторойзаданиемк

x˜

= (x1, x2, . . . , xn)

привестиаn столбцах стоят все

переменных,ченийàзннаборыжные

к .ременныхДляn + 1того,стопримерлбцеприняточтобубылевойзнараспочениянятьлагункциипринципсамойать в тотбуаклевойòназываемомакрехогопеðункцииаспоеменных:лоестественн.жНаборыения,дîзнастаточнопорченийяд-

x1

x2

x3

f

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

перемомпактноетьниебозналееченийкàример,ользовЗадï

1

1

1 0

нныхвекторноеестественномзаданиебупорлевойядке

- позвоункцииляет.Наис

f (x˜3) = (11010110).

30

111

110

011

101

010

100

001

000

îðìó:

2.1:èñ.

-дозадание:ормаискомой,являетснайтиялиеенайденнаявекторноеть,истинности

Дляаточнотого,(почтобыаблицепроверст x¯2x3

x1x3

x¯1x¯2

x1x2.

x¯2 x3)

(x1 x3)

(x¯1 x¯2)

(x1 x2)

1

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

Векторное0 0 1задание1

1полученной1 1

1 îðìû0

0

0

1

1

1

1

наясовпадаетОтвет:ормасявляетсвекторнымяискзаданиемомой. ункции, данной(11000111)в условии,.Посктолькунайденоно-

x¯2x3 x1x3

67x¯1x¯2 x1x2.

нормальнуюдизъюнктивнуюсокращеннуюНайти81.чаЗада

-оринтегеометрическуюиспользуяункций,булевыхследующихдляму

претацию.

21) f (x˜2) = (1100);

3

f (x˜2) = (1010);

) 4

f (x˜3) = (11100000);

3

тинности:ешение:f (x˜ ) =Ïî(11000111);векторному заданию ункции составим ее таблицу ис-

x1

x2

x3

f

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

грани,

Теперь п строим множество1 1

1

1

(001)грани,} g2 = {(001), (101)},

даноторыхстрокистрокв

ÿ

g1

= {(000),

Nf

ункция

все выберем имеследующимтзначениеобразом:

луаких.В резульсостатеавиммыпоíàлучим:борзначений п ременных, вх1

из й орму идящихдлякажд

эграни,строеннлементовкоторыемутогомнолегкнежжсотвумнодернужноества:атсянисоствавитьодноймакдругойсимальные{(000), (001), (101) (110)составленнойт.По.такпо(111)} èåç-

.естрехмерныйлирассмотреть.куб(рисгеометрическую.2.1)ранигранит.е.соответствуданном,состсавить,лучаеацию,Этипрет

-интер

g3

= {(101), (111)}

g4 = {(111),

(110)}

ê

g1

нъюнкциякет

x¯1x¯2,

грани

g2

соответствует

нъюнкция

g3

соответствуетx¯2x3,

грани

конъюнкцияответствуетîñ

x1x3,

грани

g4

конъюнкция

конъюнкций,Теперьост.аетс.состсоставитьавитьсокращендизъю66x x . íуюкциюдизъюнктивнуюполученныхэлементнормальарíóþûõ

1

2

x¯

;отрицание

0

0

1

константа

1;

x y

x y ä

; ъюнкция ç

x y

эквиваленцияпликация ( x посылка, y заключение);

x y

;

2 x y = y x

2 3. x y = y x;

1Дистрибутивные;x y = y x

законы:

2

x(y z) = xy xz;

. 33

x yz = (x y)(x z);

Свойстваx(y z)операций= xy xz.

1

Закон двойного отрицания:, ,

. 24.

= x;

x

Çàê3îíûx xäå=-Моргана:x x = x;

. 44.

x y

=

xy;

=

.

32

xy

x

y

2.1, 3.1

(x1 x3)(x1 x¯2 x¯3)(x¯1 x¯2)

=

x x

3.1, 1.2

x

x

x x

x

x

x

x

=

((

1(

1 ¯2 ¯3)) (

3(

1 ¯2

¯3)))(¯1 ¯2)

4.2, 5.1

(x1x1 x1x¯2 x1x¯3 x3x1 x3x¯2 x3x¯3)(x¯1 5.6x¯2)

=

(x1

x1x¯2

x1x¯3

x3x1

x3x¯2

0)(x¯1

x¯2) =

(x1

x1x¯2

x1x¯3

x3x1

7.1

x3x¯2)(x¯1

x¯2) =

(x1

x1x¯3

x3x1

7.1

x3x¯2)(x¯1

x¯2) =

(x1

x3x1

x¯2)

7.1, 2.1

x3x¯2)(x¯1

=

3.1

(x1 x3x¯2)(x¯1 x¯2) =

x3x¯2)x¯2)

3.1, 2.1

((x1

x3x¯2)x¯1)

((x1

=

x1x¯1

5.1, 5.6, 4.2

x3x¯2x¯1 x1x¯2

x3x¯2x¯2

=

2.2

x x x

x x

x x

=

3 ¯2

¯1

1 ¯2

3 ¯2

7.1

x1x¯2 x3x¯2x¯1 x3x¯2 =

сокращенной,ормыпостроиваблицудляистинностиполученной.дизъюнктивнойТеперьсделаемнормальнойпроверку(

x1x¯2

x3x¯2.

x1 x¯2)

(x3 x¯2)

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

торнымОтвет:Поскзаданиемолькувекторноеисхднойзадание1 0 ункции,полученнойтонайденная0 0 1 0 0ормыормасовпадаетискомаясвек.-

4)

x1x¯2 x3x¯2.

5

f (x˜3) = (11010111);

6

f (x˜3) = (00001010);

f (x˜3) = (11101000).

65

условиидизъюнктивнойданнойтупиковойзаданиемлученнойповекторнымсзаданиесовпадаетрмывекторлькуПоскнормальной

ункции,

омая.искормастроеннаяîïî

4)Ответ: x2.

5

f (x˜3) = (10010011);

6

f (x˜3) = (01001010);

3

íияые 1)Задасокращенныхдизъюнктивныеf (x˜÷à) =80.(11101011)Длядизъюнктивныхснормальныеледующихбу. нормальныхлевыхормы,испоункцийльзуормпостря.алгîитьритмсокращенпострое-

2

f (x˜2) = (0101);

3

f (x˜2) = (1110);

3

СКНФ:ешение:f (x˜ ) = Ïî(01001100);векторному заданию ункции легко построить ее

(x1 x2 x3)(x1

x¯2 x3)(x1 x¯2

x¯3)(x¯1

è x¯2 x3)(x¯1 x¯2 x¯3).

первогопроизведениевначалеУпростим

множителей:второго

(x

x

x

)(x

x

x

2.2

2

=

1

3

1

¯2

3)

1.2

(x2 x1 x3)(x¯2 x1 x3) = 3.2

(x2

(x1 x3))(x¯25.1

(x1 x3)) =

(

x

2

¯2) (

x

1

5.6

3) =

x

x

0 (x1

x3) = x1 x3.

упростимпроизведениеИспользуячетвертоготежправилапятогоравносильныхмножителей:преобразований,

констант:аâСвойст

12

= xx = 0;

xx

3

x0 = 0x = 0;

4

x1 = 1x = x;

5

x

=

x = 1;

x

x

6

x 1 = 1 x = 1;

7

x 0 = 0 x = x;

8

x x = 0;

5 9. x 0 = 0 x = x;

Выражениеx 1 = 1 x = x¯;

1

, , через , , :

2

x y = xy

xy = yx yx;

3

x y =

x

y;

6 4. x y = xy

=

xy

xy

xy

1Справедливыx y = (x

y

следующие)(x y) =правила:(y x)(y x).

2

x xy = x правилопоглощенияконъюнкции;

7 3. x(x y) = x

ïîã

дизъюнкции;

1Имеютxy xyместо= x следующие склеивания;равенства:

2

0 x = 1;

3

1 x = x

8.4. x 0 =

x

;

×åðxðåç 1 = 1;

öèé, à ÷å F обозначается некоторое непустое множество булевых унк-

ФормулаFнад м ножествомэлементарных булевых ункций.

0

ункция Каждаятивно.

F булевых ункций определяется индук

íàä

f (x˜n) из множества F называетс ормулой

F .

Åñëè f (x1, x2, . . . , xn)

F 33è

A1, A2, . . . , An ормулы над F

íå îðìóèìåð,ëû.xОбычнлиy y , всюду,(x z) ãäå

F0 x1 x2, (x1 x2)

или переменные из некоторого множества переменных U , то выражение

Íàï

над ормулой называется

F

.

f (A1, A1, . . . An)

ормувозмолыправило,наджвместо;

записьляется

x y, употреб-

аблицЕслиистинности,естакxy

аетнеразночтенийиспользуетс.я.Длявозниккакнеэтомонечнообознапричение,ек

орункции:

A

B

иормулыторыеîíå

f (A, B) F0

ëàì

чтоэквиваленция,тоговорят,

циями,двепозом,мооперации,вдуìнолюждизъюнкция,применимыество2.AКромеотопрыепримененарацийэтихB тоаконъюнкция,лькжоперацийбулевойявляютскоперацияднойалгебрыимпликябуэорëåáóìвойвхлевойентуация,ледяталгебреарнымиалгебрывзятиелементсуществуютбулевыми.отрицания:арныеТакимбусуммаобралункещевы--

операция: веннаятождес

¯

A

записивместоИногда

A.

¯

ле,чениеормубознай

оклибоазывПравилоотрицанийется упраскрытиядобным,достсостаточноавленииеслискобок:отрицаниемногоиспоаблиц((((.льзуОсобенистинностиприменяетсзаписьудобным.якбо.такЭтоA A льшое

ункции,

êöèþA(x1, x2, . . . xn)

û,

fA = fB , при этом пишут

булеву вить

над множеством F

сопост можно

f (x1, x2, . . . , xn) по правилу: дляункциюаждого набора

(a1 a2

, . . . , an)

переменных чений зна

x1, x2 . . . , xn

определению по

ëà

åòñÿ ã

множества.Такую из ункций суперпозицией

n

âàþò

f (x1, x2,

. . , xn) = A(a1, a2, . . . , an)

f (x˜ )

- íàçû

ормулачтооворят,

F .

þ

A(x1, x2, . . . , xn)

булевунекоторуюлизуетре

f (x˜

n

)

дляункциюЭту

A

îáîç

÷àþò à

fA

Формулы

.

.

которыеиреализуютназываютэтиA B

.е.тнымиíåëормуэквива

,

åñëè

булевыавны

A = B.

34

•

ормыпросматриваемойВид

Просматриваемая

Действие

конъюнкция

1

x¯1x¯2x¯3 x¯1x¯2x3 x1x¯2x¯3 x1x¯2x3

x¯1x¯2x¯3

Конъюнкцию

2

x¯1x¯2x¯3

нельзяудалить

3

x¯1x¯2x¯3 x¯1x¯2x3 x1x¯2x¯3 x1x¯2x3

x¯1x¯2x¯3

мноУжителядаление

x¯1

4

x¯2x¯3 x¯1x¯2x3 x1x¯2x¯3 x1x¯2x3

x¯2x¯3

МноКонъюнкциюжители

x¯3

удалить

x¯2

нельзя

x¯2x¯3 x¯1x¯2x3 x1x¯2x¯3 x1x¯2x3

x¯1x¯2x3

x¯1x¯2x3

5

нельзяудалить

6

x¯2x¯3 x¯1x¯2x3 x1x¯2x¯3 x1x¯2x3

x¯1x¯2x3

мноУжителядаление

x¯1

x¯2x¯3 x¯2x3 x1x¯2x¯3 x1x¯2x3

x¯2x3

Множитель

x¯2

7

нельзя

8

x¯2x¯3 x¯2x3 x1x¯2x¯3 x1x¯2x3

x¯2x3

мноУжителядаление

x3

x¯2x¯3 x¯2 x1x¯2x¯3 x1x¯2x3

x1x¯2x¯3

конъюнкции

9

x1x¯2x¯3

x¯2x¯3 x¯2 x1x¯2x3

x1x¯2x3

0

x1x¯2x3

11

x¯2x¯3 x¯2

x¯2x¯3

x¯2x¯3

ак,истинностиданнаяблицуюнктивнуюИт

x¯2

том,дизъ.чтоаонченпостроив,Алгоритмзактоункциейльксделатьполучаемнужноотпроверкутрехсокращеннуюпомнитьпеременныхункции,алгоритма,.МояжноявляетстырмуîдаетэтойрабовпросмотрнедляатеункциярмальнуюрезурезуловииВторичный

-

x1

x2

x3

x¯2

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

631

0

тупиковыепостроитьункцийбулевыхследующихДля79.Задача

ормынормальныедизъюнктивные

2

строим1)ешение:fÑÄÍÔ:Ïî(x˜ ) = (1001);векторному заданию ункции, данному в условии, по

еля, поаблицеò

x¯1x¯2 x1x2.

- аждуюезультатыонъюнкциииздействийъюнкцийбудалениядемнапредметотражмноатьживывудаления.кненияТеперьдвиг.двухаясьбудемсоперацийлеваисследоватьнаправо

•

ормыпросматриваемойВид

Просматриваемая

Действие

конъюнкция

1

x¯1x¯2 x1x2

x¯1x¯2

2

.Вторичныйля,цииормойпоВудалениялученнаярезу

x¯1x¯2 x1x2

x1x2

даеттупикнеотносительнояничегоработыявляетсалгоритма,просмотрльтатеконъюнкцииСДНФ

нормальноймнооперажитенеприменимыпоовойлучаем,операциидизъюнктивнойчтоотносительноудаления

-

2)Ответ:

x¯1x¯2 x1x2.

3 f (x˜2) = (0010);

3

ешение:f (x˜ ) =Составим(11001100);по векторному заданию ункции ее СДНФ:

аботу

x¯1x¯2x¯3 x¯1x¯2x3 x1x¯2x¯3 x1x¯2x3. таблицы.

видевпредст62авимупрощенияалгоритма

лы,ляютрмупозвоункцийПонятиявых

бубуарныхсуперпозицииэлементлыормусвойствальзоватьиспо

-реа.левых.(тданнойравносильнаотораялы,уорэквивалентнойлученияпо

кцию),ужетуетункцийли

действияТакиестроение.простоеболеееетì

преобразованиями.авносильнымирдляываютсçà

ностныхФормузналаченийназываетсеепеременныхяA тавтологиейона принимает,еслипризналюбомчение наборе истин-

Åñëè

1.

ФормулаA тавтология, то пишут: |= A.

всех их двойственныхM екотороеункциймножобознаествочаетсбулевыхячерезункций, то множество

тинно тных значенназывайворечие,тспеременныхяA противоречиемона принимает,еслидлязналюбогочениенабора ис-

ëè ñ Å

0.

ФормулаA ïðîòè

то пишут: |= A.

Áó âà Aункцияравна B тогункциидатольк

тогда, когда |= A B.

двойственной булевойf (x1, x2, . . . , xn)

òîì,

= f (

1

2, . . . , xn)

называется

x

x

Åñ

f (x1, x2, . . . xn).

M .

ñòâå0 двойственнак

ê 1; 1

двойственназаключаетс 0; x двойственна к

x;

-äâîé

x

щихпосдалеííПриПринципбузаменыуюлевывыпо.конкретнТ;акимx двойственлнениивсункции,хобразом,операцийравносильныхормунадостиназнакдоклеазав;двойственные,аждуюомдвойственнаравенствапреобразованийнекоперациюотороеябуновоетокдемждество,чтобына.тооперацию,писатьормуждествозаменитьл,мыномерареализую.поейлучимвсюдвойтехду--

которыеункций,булевыхэлементарныхсвойстввышеперечисленных

Например:преобразований.этапеданномнаиспользуются

6.2

2.1,3.2

(x¯1 x1) (x¯1

x2)

5.3,5.4

x¯1 x2.

x1 (x2x1) = x¯1 (x2x1)

=

=

-преобраистинностиравносильные.ячииспотаблицыльзузадаиспоормульзулы,я,ОсновныеУпроститьпроверку60.сделатьчаиЗадазования

ешение:

x2x1);

1) (x1 x2x3) (x1

6.2

(x1 x2x3) (x1 x2x1) =

35

1.2

(x¯1 x2x3) (x¯1 x2x1) =

1

1

3.2

2.2, 4.2

x¯

x2x3

x¯

=

x2x1

x¯1 x2x3 x2x1 =

5.4, 5.3

(x¯1 x2)(x¯1 x1) x2x3

=

x¯1

x2 x2x3

7.1

(

= x¯1 x2.

истинности.таблицупостроимТеперь

x1 x2 x3

)

(

x1 x2 x1

)

x¯1 x2

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0