Литература / Дополнительная литература / 24_В.В.Аниськов, И.В.Близнец - Дискретная математика. Курс лекций

черезбозначим

k-значной логики

Определение 6.1.Ek Функциямножество {0, 1, . . . , k − 1}, k > 2.

жества

k-çíà÷íой логики

-мнонекоторогоэлементыкак

ункцию

тогда

запись

f (u1, u2, . . . , un) будет

означатьU = {u1, u2, . . . , um, . . .}

р менныхТак жедляак ункцийдляk-знабулевыхчнойлогиункций,от

nопределимаргументовнаборы.

пезначений

наборечимчерезномíзаОбознаàóê

множество(моет быть и противное), если это. значениå íà

÷åнными выборками с возвращениемk-значной логики,измнологикижоторыеества являются упорядо

Ek. Åñëè f (x1, x2, . . .

.торый. . , x1)наборнекзнаотораяченийопределеноункцияменныхk-значной

è (a1, a2, . . . , xn) í ê -

зн че ие этой ункции на наборе x1, x2, . . . , xn,

òî f (a1, a2, . . . , an) ñòü

(a1, a2, . . . , an

естественсамой у омкциипор.Наборыядке. значенийпеременных,70переменныхnраспостолаглбцеаютс+ 1 я взнатомченияж

Pk

ункций определенных всюду всех

kл-значнойгикиот логикизаданием,через

P (n) множество всех

ункций

k-значно

k

векторп льзоватьnобознаргументовчение .

Òàê

булевых для и как

- ис будем

ымФункции

n

выражение это называть и

. аргумента

x2, . . . , xn)

x˜ = (x1

возмодавать с помk-щьюзначнойтаблицылогикив ктоторойакж квакпервыхибулевы ункции можно

значенийнаборыжные

n

всестоятстолбцах

Если хотя бы для одного i = 1, 2, . . . , k,

ai 6= bi

,

то, по лемме 3.1, biai =

=ñåã0.даВ этом случае вся дизъюнкция равна

0.

жеЕсли

i = 1, 2, . . . , k

bi = ai, то в правой части получим f (b1, b2, . . . , bk, bk+1, . . . , bn) =

-частиравенство.Ввидувыпопроизволняетсльностиявсеункциизнавлевойчений,булевойчтоихжелюбойтонаборов..иДляе..т7,.азана3СвойствоТеоремапеременныхдокда.выбора

=ã f (b1, b2, . . . , bn)

противоречием,

f (˜xn) не является

òî

f (˜xn) справедливы сле-

дующие

авенства:

f (˜xn) = xnf (˜xn−1

1)

x

nf (˜xn−1, 0)

(3.1)

Åñëè

f (˜xn) =

x1a1 x2a2 . . . xnan f (a1, a2, . . . , an)

2)

a1,a2,...,an

,

равенбудетчлен

1

имеет

дизъюнктивный

f (˜xn) =

_

xa1 xa2 . . . xan

(3.3)

толькДокднуазатпåременнуюльство. Воспользуемся предыдущей1 2 n

Возьм¼мтеоремой.

(a1,a2 ...,an)

f (a ,a2,...,an)=1

.(5.1)равенствоссмотримà

Если на данном наборетеоремы,

k = n.

xn.

возможнопоэтомульк нее Для

набора два

è

Åñëè .

значение имеет

òî

a

(1)

(0)

xn

n

1

1

xn = xn

a

этому п

xnf (˜x

−

, 1)

åñëè à, ,

xn

значение

0

,

òî

xn

= xn

равен будет член дизъюнктивный

0).

поПоэтому,

свойству онстункций,íòû

n

−

1

.венствоноказîä

изследуетжак(5.1)

xnf (˜x

0)

.

(3.3)авенствоесли

предыдущей

переменных

(a1, a2, . . . , an)

чтоимеетмызнапочениелучаем,члендизъюнктивный

весьоторого,

x1 x2, . . . , xn

f (a1, a2, . . . , an) = 0

f (a1, a2, . . . , an) = 1,авенство. . мы получим равенство (5.2).

ëà

булевых

наборыднадизъюнктивныйоторых(кимеетакконъюнкциязначение0

íåê

- ÷èñ

ивныеельно, члены,перебрàквоторыевсе,этсоответствуютпеременных,наборам,мычленисключимобращающимисключаетсвсетея.дизъюнк0 Следоваункцию

торых

толькостанутсяЗначит,ноль.

наборыте

(a1, a2,

.

. , an)

äëÿ

î

f (˜xn)

..3.15доказаноОпределениеСвойство

n

n

1

n

1

f (˜x

) = xnf (˜x

, 1) xnf (˜x

, 0)

−

−

39ункциибулевойразложениемназывают

переменнойпо

полезяпозываетсстанавливаютсокуункцийпеременнойпобулевыхразложениесвойствавышелибо-какиеогдаОпределенноеным,

.индукции

-прояявляетсне

тиворечиОпрåм,делението выраж3.16ение. Если булева ункция f (˜xn)

f (˜xn) =

xa1 xa2 . . . xan

СД(ормой

НФ)Пуназывают.стьбулеваеесовершеннойункция дизъюнктивной1 2

нормальнойn

(a1,a2 ...,an)

f (a

,a2,...,an)=1

1

_

нстантакстроитькльку

f (˜xn)

гда,Ттавтологией.являетсяне

ляется противоречием1 двойственна. константедля

0, ункциитоункция

f (˜xn)

ÿâíå

ÑÄÍÔ:

Следовательно,

f (˜xn)

-по жномо

n

a1

a2

an

Воспользуемся

результаттеперь

выше:полученными

f

(˜x ) =

x1

x2

. . . xn .

(a1,a2 ...,an)

f (a ,a

,...,a

n

)=1

1

2

àìè,

f (˜xn) = (f (˜xn)) =

_

x1a1 x2a2 . . . xnan

=

1

(a1,a2,...,an)

f (a ,a

,...,a

)=1

2

n

=

xa1 xa2 . . . xan =

ìдвойственностипринципо

=

1

2

n

Воспользу

ÿ

(

1

_

1

2

n

a1

an

(a ,a2,...,an)

a2

f

a ,a ,...,a

)=1

,a2^, n)=1

f (a1

x2 . . . xn ) =

(x1

(a1,a2,...,an)

...,a

1

^

(x1a1 x2a2 . . . xnan ) =

(a1,a2,...,an)

f (

n)=0

a

,a

2,...,a

теперьзаменим

льзованнаяai ai (i = 1, n)

=

(a1

,a2

,...,an)

x1

x2 . . . xn .

-âûðà

1

^

a1

a2

жениеИспо

чтопричине,тойповозможназаменаеûøâ

f (a ,a2,...,an)=0

(a1, a2, . . . , an)

набор.некоторыйпросточаетознаслучае40данном

в подсистеменеf

еще одному предполному классу. Следовательно,

классчетырехункцийТВвидуТклассовеоремаеоремабу . выхK′

выделитьможно

. дсистему K′′

÷òî f / T0. Это значит, что f (0, 0, . .

, 0) = 1.

Åñëè f (1, 1 . . . 1) = 0 òî

föèÿ/ T1.

Еспринадлежитлиf (1, 1, . . . , 1) = 1, òî f / S,

этледовательно

-óíê

состоитчислаиззамкнутыйотораяуменьшения,Каждый..а)базисПостдальнейшеголнойконечныйтеоремапотребоватьимеет5являетс.2.нельзя(Первая6азана.ункций5ункцийпримерадок

всехМножество.Поста)теорема(Вторая5.7

-

òûõ

â P2

счетно.

покМожно

являетскласспредполныйчто

Дейзамкнутым.

токласс,предполныйазать,есливительно,

ункция

чтоить,ñò

K

K [K] P2. Åñëè äîïó

тогдаНо

K 6= [K]

однабыхотясуществуетто

f [K] \ K.

чточит

f P2 \ K.

След вательно, система {f } K

- знаЭтополна.

ïîñê ëüêó[{f } K] = P2.

Поэтому[K] {f } K, чего быть не может,

классов,

òîì, ÷òî K

{f } K [K].

предположение наше

ныхзамкнутСогклассовневерноласно.[K] докиприхазаннойдитсвышеязаключить,теореме,чтосущеK твпадаету,р.торыйве.что5= [K]

предпокласслK-

-Носпротиворетогклассднимда,поиз..нияîес.Подерлилученноенекжитссоневозмоíåполным,изяслучайнихполнымдномСистемаявляетсэтотрассматриваемыйонкласснияпре.оявляетсДействительно,.что5.2ункцийтеореме,

азываетойыхПримерпоказанн÷èåóêбулевых

T0

T1, S, M, L

K

истинности,истинности,легкявляетсубедитьсяполнойяв.аблицы

том,Действительно,что используяA = {x1x2; 0; 1; x1

x2 x3

}

стороны,показать,Сдругойчто

æ,àê

,

помощью

аблиц;

можно

x1x2 / S 0 / T1

1 / T0

x1 x2 x3 / M x1x2 / L.

A = {0; 1; x1 x2 x3} L,

вполной

15

A из замкнутого класса M называется

A2

= {x1x2; 1; x1 x2 x3} T1,

A3 = {x1x2; 0; x1 x2 x3} T0,

мыподсистт.е.

A4 = {x1x2; 0; 1} M,

A1

,

A2

,

A3

,

A4

.5Определениее

полными.Системанеявляются.

íàä

M , åñ

любая ункция из M может быть задана ормулой

A.

Система5.16.

системаесли,зисомбегоется

A из замкнутого класса M

-называ

дсисте по

вполнанеа

A полна в M , но любая ее собственная

Пример 5.3. Система.M

нестемыболееТДокеоремабучетырехазательстволев 5.5 (Оункций,A

являетс5.2примераиз

базисом

P2

-си.любой,содержащуюполнойИз..дсистемуполнабазисе)аявыделитьтакжесистемакоторстьможноПу.минимальном

подсистемаполнаяет

K полна, тогда в ней существу-

ясодержащих

неункцийункциюизпятиях.неВозьмемболеечемпредполныхсостоклассящ

K′

68

f K′ àêóþ,

логией,Определението выражение3.17. Если булева ункция f (˜xn) не является тавто-

n

1

^

n

a

1

a

2

a

-кмноонъормойизя.переменныхназываетсконъюнкциейнормальнойиндуктивноотрицанийконъюнктивнойпеременныхопределитьпричемЭлементарной.лажно18мо.совершенной

юнкция(СКНФОпределениеСДНФназываетс)неко СКНФорогояееf (˜x3÷èñ) =

a1,a2,...,ak

(x1

x2

. . . xn )

f (a

,a2,...,an)=0

-азансамаототак)КНФотрицаниелибонекук(ормойприсутствоватьлюбойлибоиликпеременнойонъюнкцияеенормальнойая.,Любаядизъюнкция,мо.переменная.ждляетъюнктивнойзъюнкциейарКодизъюнкцийдизъюнкции.20.отрицанарной3эвсэементяклементибоаявэарныхэтойлементествачисная,олажОпределениеОпределение

рогоназываетсжпеременогоявляетсU = {u1, u2, .

. , um, . . .}

)ДНФ(ормойнормальнойДизъюнктивной3.21.

элементарнаявсякаяназывается

-некотодизъюнкциялибоонъюнкция,

онъюнкций.ементарныхэчисларого

нормальной

Определение

Совершенной3.22.

всякназываетс)СКНФ(ормой

ÊÍÔ,

-дизъэлементарнуюаждую

юнкциюэраз,юнкциюлемормойОпределениеснтлиарную(ккСДНФэтоторойоторойпдизъюнкциюременн)называетсвсвсякяк3àÿ.23либопеременнаяпеременная. Совершеннойэтойвсееякотрицание,СКНФДНФ,либолибо.вконъюнктивнойдизъюнктивнойеееевхаждуюотрицаниеотрицаниедитэлементакуювхвх-оолибоарнуюдитдитнормальнойровноровнодругуюконъ1-

5,..33.4множителемтеоремееизназываетспосредственнонной)Нперем

.1)(3изжеак

ледует

еоремаТ

3.6.

Всякая

ункция,булева

отличная

константы,от

ждениеутвер

несколькоиметьможетноСКНФ,иСДНФединственныеимеет

ÊÍÔ.èÄÍÔ

ство:Теорема 3.7. Для любой булевой ункции f (˜xn) справедливо равен-

n

0. Следовательно, равенство принимает вид:

ПустьДоказательство.

f (0, x2, . . . , xn)).

f (˜x ) = (x1

f (1, x2, . . . , xn)) (x1

переменнойДля

f (˜xn) произвольная булева ункция.

Åñëè

x1

возможны два равенстволучая:x1 = 1 x1 = 0.

x1 = 1,

доказываемоето

âèä:ìàåòèïðèí

n

имеетиюопределепоскобках

-значе

ниеИмпликация,f (˜x ) стоящая= (1 f (1ïîñx2, . . .èõxn)) (0 f (0, x2, . . . , xn)).

имеет.1 Поэтомузначениезаключение импликации, которая выпо

последнейяетсяí

n

-отрица

дизъюнкциючерезимпликациивыражение

è

ние,Испопользуячим:теперь f (˜x

) = (1 f (1, x2, . . . , xn)) 0.

f (˜xn) = (0 f (1, x2, . . . , xn);

f (˜xn) = f (1, x2, . . . , xn);

ò.ê.Íî

f (˜xn) = f (1, x2, . . , xn).

Случай

òî

равенство

справедливо.

x1 = 1

x1 = 0

аналогично:доказывается

f (˜xn) = (0 f (1, x2, . . . , xn)) (1 f (0, x2, . . . , xn));

f (˜xn) = 1 (1 f (0, x2, . . . , xn));

f (˜xn) = 0 (1 f (0, x2, . . . , xn));

f (˜xn) = (0 f (0, x2, . . . , xn));

f (˜xn) = (f (0, x2, . . . , xn));

ПуТеоремастьвыраждоказанаение.

f (˜xn) = f (0, x2, . . . , xn)

1 →i

Ai обозначает ормулу

n

6 6

отзависятункцииэтичтосчитать,Можно

äíèõ

переменныхжетех

íàä èòü

- постро достаточно

x1, x2, . . . xn. Для того, чтобы показать полнотусистемуK′

x, xy

этомВ.

нам Iпомогут.Построимполеммылнуювначалесистему5.8,к5онст.9.иПостроиманты5.10.K′

íàä K′

{

}

= 1, fi(x, x, . . . , x) =лучае,при0

x = 0, fi(x, x, . . . , x) = 1. Åñëè ïðè ýòîì

fâj (0ðàññ, 0, .атриваемом,тос. 0) = 0 fj являетсункциюяонстантой

0 è, используя построенную

. . . , 0) = 1

0

1. Поскольку fi / T0, òî fi(0, 0, . . .

fj / T1

fj (1, 1, . . . 1) = 0.

поскольку, а, ,

антой,

стантой

fi(1, 1, . . . , 1) = 1

è fj (0, 0 . . . , 0) = 0. Тогда fi

- кон является

Пусть1, à fj является конст

0.

fi(1, 1, . . . , 1) = 0. Тогда fi

реализует ункцию x,

.ê. ïðè x =

.ПоэтомуИтак,прихв.Тлюбоогдимда. . , 1) = 1 fêëi óжчаерассмотреннойконстяконстантыантойвыше,а1 fj

x.

æå Åñëè

x

,

такжункциюеконстанту получаем

1.

ì ñìîæ

ункцию,то реализовать

fj

ункцию реализует

x

.

мы Поэтому

fj (0, 0, . . . , 0) = 1

x = x.

теперь Взяв

fs

однумырассмотретьжемпостроить5.8,åëåìì

согункцииласнопомощью,саконстант,

x и другуюОсталось.

когдаявляетслучай,

fi(1, 1, . . . , 1) = 1

ункцию

fj (1, 1, . .

ситуреализуации.ет

5.3.доказанаСледствиеТеорема

Следовательно, [K] = P2.

. Если на этапе I константы былииспопостроенымогутбытьсразупостроены,то0 1 ункцию.

5.9, леммы виду в построить можно

константы эти льзуя

x

используя 5.10 леммы Ввиду .III

fm.

0 1, x, fl

построитьможно

xy. Итак, нами построена над

надизначита

K система

x, xy

,

являетсякоторая

ëíîé.

K′,

{

}

.Всякий

классзамкнутый

чтокой,

K булевых ункций та-

.булевыхклассклассовоторыйизнекеслиодномДействительно,хотябы.содержитсяДоказательствоункций

K 6= P2

T0, T1, S, M, L

Поэтомусов, поKтолькцеликчтоом недоказаннойжитстеореме,янив он являетсизперечисяполнойленныхсистемойклас-.

...5.14доказано,а,ОпределениеСледствие.

.Класскласс K

замкнут,

òî

[K] = K

è

ïðèõ

êäèì

противоречию[K] = P2

),максимальным

ñëè

K P2 называетсдляпредполным (или

f P2 \ K

K

нополным,являетсяне

ункциилюбой

система {f } K

полна.67

конъюнкц

ê,

Без.елейжимнодвухменеенесодержатьдетбу

ваазательдокобщности

-мноимиòэчтоать,считожно

йдетсяàí

акой наборединственен,

f1(x3, x4, . . . , xn) 6≡0. Ñë -

оторая ляютс ограничения жителями

è

x2. Представим построенный нами полином в

виде: следующем

x1

довательно,

(a3, a4, . . . , an),

f (a3, a4, . . . , an) =

x1x2f1(x3, x4, . . . xn) x1f2

(x3, x4, . . . , xn)

äå

f1

f2, f3, f4

x2f3(x3, x4, . . . , xn) f4(x3, x4, . . . , xn),

ã

кдляалкина

ЖеполиномПоскчтолькуункциито.оторыеункциибулевынекждой

= 1. Определим

ункцию:ледующую

ãäå

ϕ(x1, x2) = f (x1, x2, a3, a4, . . . , an) = x1x2 αx1 βx2 ,

α, β, B.

ункциютакжеассмотрим

тогда

Ψ(x1, x2) = ϕ(x1 β, x2 α) αβ .