Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусско-Российский университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

24_В.В.Аниськов, И.В.Близнец - Дискретная математика. Курс лекций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.02.2016

Размер:

659.25 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

дляоперациилиопределитьмыможноВышерации								-опежеТакиесетей.логическихдля
			.соединений:двухобъединения
			подключения			.элемента
àöèÿIîïåðII				.выходаразветвления
Очевидны				леммы.двеледующие
.соединениемявляетсяям
		соединеникI,II,IIIоперацийпримененияезультат7.2.
7.3.Лемма						-являетсхемытривиальнойоттличное
толькоСоединение,тогдасхемойся						следующихизодновыполненокогдагда,î
3)	изполучаетсясоединение						азветвлениярпутемсхемынекоторой
условий:						-являкоторыединений,сообъединением
1)
2)						èç			подключпутемсхемы
схемами;ются
нта;элемнекоторого
выхода.							которыйгоритм,			-соедикаждоголя
Существует7.2.Теорема
нет.илисхемойонолиявляетсявыясняет,нения
ненияазательствосоедДоксвязей					. Доказательство проведем индукцией по числу d
либоДопуявляетсстим òривиальнеперь,справедлива.ПричтS îйтеоремахемойсоединение.выполняетслибоядляневсехявляетсяd = 1 S											хемой,
оначтоПокажем,						äëÿè				d = 1, 2, . . . t.
имеетроекотединение,								d = t + 1. Пусть S некоторое со-
1.					t + 1	возможнычиследующиерассматрилучаи:Тогдасвязь.
ваемприменения2.соединпниS îлучаетсниеднойнеизявляеизоперацсоедядостхненийемой1)-3). .сТменьшимогдаочевидно,ломчтосвяз											-путемй
мами,Есчислохемамижлилоенийн.то,Затемйдетссвязей.илиS являетсввидуЭтонетя.выясняемвозмВакпредыдущей,чтоэтоерезуразложновозможныхльлучаедлятпоскатомеíлеммы,кие,омпонентлькуоперацииделатьвсеаточносоединениевариантовкмпонентыввидуразлорассмотретьнадпржразлоединениямикния,дпотороголожвсеявляютсжениявариантыявляютсиндукциимеонечноелиьшимяЕсразонихне--.

змоединениеîвсизтомй,хаждбужедетвкеоремас		разложений хотя быS	ликомпонентхемой.являетсднаиз
Ò	доказана.	S не бу90дет хемой.

∞ an

∞

zn;

n=0

2◦

∞

anzn ± bnzn =

(an ± bn)zn;

n=0

∞ an zn

∞

bn zn =

∞

an ± bn zn;

n=0 n!

± n=0

n=0

3◦

aibn−i, òî

åñëè cn =

∞

i=0

åñëè

(

anzn)(

bnzn) =

cnzn;

n=0

dn = aibn−i,

òî

i=0

∞

(

zn)(

zn) =

zn.

n=0

4◦ c R справедливы равенства:

∞∞

		X			X
		c(	anzn) =			canzn;
		n=0			n=0
		∞	an		∞	an
		X			X
Последовательностиc(				zn) =		c		zn.
		n=0	n!		n=0		n!
		n=0			n=0
		свертками
енствами называютсдящие cn			dn,		-равышеопределяемыепоследовательностейуказанными
èçâ	произвоы	ункции							an è bn. Åñëè
льностейват					A(z) è	B(z) соответственно последо
Èç	ункциячторядматематическ,тоихэтогоанализаойявляетсизвестно,я
	курса an	bn							A(z)B(z)
принулюк		сумма	определениюядаравна (1 −z)−1						∞ zn сазанныходится
	\|z\| < 1	сумма	определениюядаравна (1 −z)−1						P
									n=0
								укдля..дящейт
1, ∞	этот1,1,ункции,дляпроизвопоследовательностиункциейявляетсдящихпроизво.Согласнодящей
яд ж теории
z, n=0 zn = (1−z)−1
P
. . . .	операции,принципаосновноготом,чтоункций,являетсзаключающегос19яиллюстрациейяЭтопризвообстоятельство

о.ядовручаствующие	ормальныхдлябыяхотсмысиметьдолжнылахму
-рекуррентоторыхнекдляункциидящиепроизвотеперьлучимПо
.соотношенийстепенных
Ньютона,биномаормулеСогласно1.
	n						n
	X		n	−	m	=	X
Поэтому для последовательности(1 + t) = Cn t 1				−		=	Cn t .
	n	m m					m m
	m=0						m=0
		Cm производящей ункцией бу							(1+
n		n					äåò
n
+ t) 2.. Для последовательности
(1 − 2z −1, \|z\| < 1,		2n производящей ункцией мож						áûòü
(1 − 2z −1, \|z\| < 1,	какак

∞ ∞

сторону):

2z)−

цировать,3.Поскто,лькуиспоаналитическуюльзуяполученную2 z = (2ункциювышеz) = (1

-еренмодляжнопоспочленноледовательностиди

n=0

−

нкциюпроизводящую

ветльзуиспоную(которое

-еренцированиеледующееравенствообратмосмысжнолеподилучить,оторомнек

(1−z)−1

∞

nzn−1 = z

nzn = z

(

zn) =

n=0

ункцЗначит

(1 − z)−1 = z(1 − z)−2.

è последовательност

z(1 − z)−2

дляункциейпроизводящейявляется

вуюрезу4произво.Еслиперемноиспощуюльзоватьжnенияункцию:.двухеденныепроизвовышедящихормальныеункций, мыоперации,получимтонов

являетсприравнятьпроизводящей ункцией дляr

последовательности.s r+s Эт ункция

(1 + z) (1 + z) = (1 + z)

ïåðü

приициентыкоэ

Crn+s. Åñëè òå-

Êîøè:

zn, то можно получить тождество

−

= Cr+s.

Поскольку

k=0

Лемма 7.1.ÐÈÑ. 18Число									ÐÈÑ. 19
äîâ					S (n, p, h) всех соединений, содержащих n âõî-
òîâxíå, xпревосходит,, . . . , x p выходов z						, z	, . . . z		h ункциональных элемен
i1	i2	in			j1	j2		jp
ãäå					Hrh · (n + h)hv+p,
иДоказательство				базиса.элементоввсехчислоВыберем.
v = max16i6rni			r
осуществитьлибожно						h ункциональных				что,элементов
			h
âõìентдовасвыбранныхсамымлибольшимэлементовспособамичисломнепревышаетвх.лькумноH v жествоэточисвсехловхвыхдовдовэлеих-
			r				Ïîñê
							äîâ,
входам,к			к вых дам элементов, числовыборокоторыхштук.равноПодключимhv + p
извозвращениябезвыборкуупорядоченнуюлучим										n+h. Ìû
ïî										n + h элементов
hv + p		возможныхвсехЧислоэлементов.							равнобудет
							hv+p
поключенияПосклучим,олькучтожнезависимыечисвыборлорассматриваемыхункциональныхсобытия,то,соединенийэприменивлементовправилоневыборпревосвариантовпроизведения,хдитпо(n + h) . -

СледствиеЛемма доказана7.1.. Число Hrh · (n + h)hv+p.
содержащихтов,	S(n, p, h) схем из ункциональных элемен-
ункциональных элементоввходовn xудовлетворяет,, x , . . . , x p нервыходовавенствуz , z							j2	, . . . , z	jp	è h
	i1	i2	in			j1	j2		jp
S(n, p, h) 6 S	(n, p, h) 6 Hh 89(n + h)hv+p			6 rh	·	(n + h)hv+p.
		r	·		·

полной.былабазисуэтомусоответствующих
7.4.		элементовункциональныхизсхем
заключаетсяэлементовункциональныхизхемсинтезаси.ющеледс
произвоПуПроблемастьнаязадансистеманекоторыйбулевыхбазисуравненийF ункциональных элементов и взята
	z1 = f1(x1, x2, . . . , xn);
	z2	= f2(x1, x2, . . . , xn);
			базисом,
			. . .
			теоремы,
ýáылаойлеванеобхпричинепооторыйлнойункциядимость.проблемаПримовыборажизучении.ет4.синтезабытьСложностьюсредиреализовабуимеетлевыхнихбоункций,многолеехемыункцийаоптимальногомнорешенийжествоммы.Поэтомурешенияормучтол.возникУж.любаяепоF-
	zp	= fp(x1 x2 . . . xn).
схему построить Требуется					видели,
ществустемуональныхВвидууравненийет,эеслементовпрлведеннойсистема.над				- су ункци решениекотораясответствующихпроблемыреализуетсинтезаизданнуюбазису
	бувышеданнымлевыхΣ(x1, x2 . . . , xn, z1				, z2, . . . zp)

Σ называетс ункционал наименьшеежтуL(Σ)Определение, ксистемуункцизнабуравенчениенальныхлевых77..чис56..лоуравненПуСхлужностиэлементовемастьэлементовименазываетсйсреди. . Соединя неквсехяотороемини.схиемìкальной, ореализующихличе,есво имеетдну

объектов,хединениемнальныхдуЛюбаяэаждыйлементэлеме.аксОднхая,емаîвыхтовкчтоизназываетс(риснед ункциональныхаждыйповс.дключеняк18,оея19)геометрическвхсоединени.длибоподключенэ вхментовявляетсаядулибоигура,являетскданныххкемойS состовхвыхя,дуîящаяиз,дучевидно,âõëèáî.îäîâ,ункциизкэтихвысо- 88

(−1) Cr

Перемножив.

ункциидящие

∞

Crn(−1)nzn,

ункция то

(1 − z)n =

n=0

вательности

z)r

-последодляункциейпроизводящейявляется

n −n

= (1 − z

получаем следующее равенство:(1 − z) (1 + z)

)

Используя6.

−

(0,

нечетно.

CkCn−k(

1)k =

(−1)nCrn,

åñëè n

четно,

r r

k=0

операциювышеввед¼нную

3◦

получим:,

∞

ãäå

(1 + z)m(1 + z)m =

Cmn zn

Cmn zn =

Cnzn,

n=0

стороны,другойС

Cn =

Cmk Cmn−k.

k=0

∞

жеПоскольку

(1 + z)m(1 + z)m = (1 + z)2m =

C2nmzn.

n=0

∞

n 1

−

приравняв коэ ициентыC C

(C ) ,

òî,

степенях при

k=0

получаем:окончательно

ìшитьприер,ожноИнпорассмотримполученииполученноегдалучитьдаетсуравнепося рмуисполедовательностьíияение,лульзоватьдлячленовтопроизвосвойстваисразлохдящейднойженияиспосх(C ) = C . оункцииднойледовательностирешенияпос.Еследовательностилистепеннойудаетс.Наприяреяд-

k=0

è	= fn−1 + fn−2	fn (n > 1) àêóþ, ÷òî f0 = f1 = 1
fn	= fn−1 + fn−2	ïðè n > 2. Она21 называется последовательностью

1 − z − z2


вычислениядляормулуНайдем.Фибоначчи		fn. Производящей унк-
ункция будет довательности пос этой цией алгебраически		fn. Производящей унк-
получим: преобразования,å	F (z) =		∞ fnzn. Выполняя

n=0

∞

F (z) = f0 + zf1 + (fn−1 + fn−2)zn =

n=2

∞∞

= f0 + zf1 + fn−1zn + fn−2zn =

n=2 n=2

∞∞

		X		X
Т.о. получаем, что= f0 + zf1 +			fnzn+1 +		fnzn+2.
		n=1		n=0
			∞		∞
Ò.ê.	F (z) = f0 + zf1 +		fnzn+1 + fnzn+2			(1.13)
		n=1			n=0
		X			X
	∞	∞			∞
	fnzn+1 = z	fnzn = zf0 + z			fnzn − zf0 =
	n=1	n=1		n=1
	X	X		X
	∞
и, поскольку,= z fnzn − zf0 = zF (z) − zf0 = z(F (z) − f0)
	n=0
	X
		∞
получаем:(1.13)изто		fnzn+2 = z2F (z),
		n=1
		X
	F (z) = f0 + f1z + z(F (z) − f0) + z2F (z) =
	Отсюда= 1 + z + z(F (z) − 1) + z2F (z) = 1 + zF (z) + z2F (z).
	F (z) − zF (z) − z2F (z) = 1. Поэтому
уравнениякорниНайдя		F (z) =	1		.
уравнениякорниНайдя		F (z) =	1 − z − z2		.

= 0, получим разложение

1 − z − z2 = (122− az)(1 − bz),

д Обозначим ч рез S

элементовизункциональныхкласссистемойвсехсистемах

F ,

через S0 класс

техсех

èç

надэлементов

Fнаувхмокоторыхдах.Пуимеетссть я ровно

выходдин

лькимеютсяразветвления

ðåç÷

рассмотренаB íåê

ðàÿ

Обозначимункций.булевых

F , F , . . . , F

наоторыхку

дойция Sормужыметкласслебытьоличествомизклассаорму надвхдовкак некднимоторый.выхПоскB дом,ункциональныйлькуотораявсочевидно,якаябулеваэчтолементункажс-

изхемунекоторую

сопоставитьобразомединственнымжно

элементжит

S0.

некчтотеперь,Допустим

схема Σ содер

элемент можноFi,заменитьуоторогонана выхлементовдеесть j

этотТогдаразветвлений.

выходах разветвления отсутствуют (рис. 17)i.1

Следовательнобразом, если с стемаРИС. 17
вить некоторую ор улу èз классаB полна, то для схемы			Σ можно соста-
	S	булевыхсистемы
уравненийÒакимеорема 7.1. Дляìытого,доказаличтобытеоремудляB. произвольной.
элементов,
z1 = f1(x1, x2, . . . , xn);
достаточно,
z2 = f2(x1, x2, . . . , xn);
. . .
существ вала схемаzp = fp(x1, x2, . . . , xn).
	которчтобыаяресистемаализуетв		-ункбанекоторомбуэтулевыхсистему
цийурзисеавнений,ункциональныхнеобходимо и Σ(x1 x2 . . . , xn, z1, z2, . . . , zp)

f1, f2,87. . .

, fn.

уравненийсистемуполучиммыобразом,Таким

z1 = f1(x1, x2, . . . , xn),

z2 = f2(x1, x2, . . . , xn),

. . .

zj1−1 = fj1−1(x1, x2, . . . , xn),

zj1+1 = fj1+1(x1, x2, . . . , xn),

. . .

zjni −1 = fjni −1(x1, x2, . . . , xn),

zjni +1 = fjni −1(x1, x2, . . . , xn),

. . .

zp = fp(x1, x2, . . . , xn),

г). Пустьz

, x

, . . . , x

), . . . , f

, x

, . . . , x

)).

схема= f

p+1

ìû

Σ′′′(x1, x2, . . . , xn; z1, z2, . . . , zp, zp+1) получена из схе-

выхполученнымивыходадва

надамрасщеплениемпрсвоенысоответствиесоответственновыхданомеромбуквы

Σ(x1, x2, . . . , xn; z1, z2, . . . , zp)

нений

zp+1. Тогда этой схеме можно постав ть

-уравсистему

z1 = f1(x1, x2, . . . , xn),

z2 = f2(x1, x2, . . . , xn),

. . .

zj−1 = fj1 (x1, x2, . . . , xn),

zj = fj (x1, x2, . . . , xn),

zj+1 = fj+1(x1, x2, . . . , xn),

. . .

zp = fp(x1, x2, . . . , xn),

-аждоеункциосистемаункциейнамиуравнений,с.хемизаныхåíсопостассмотр86буавллевойизоторойвм,мокаждойетянекбыть

изнальныхкоторыхТакимэлементобразопределяетсzp+1 = fp(x1, x2, . . . , xn).

ãäå

√

Тогда

a =

1 +

, b =

1 −

z (òàêèõ, чтобы выполнялось

F (z) =

1 − az

1 − bz

дляПоскольку

положительных

ãäå

малыхC = a − b, D = −a − b.

0 < cz < 1) верно равенство

∞

получаем:то

−

n=0

F (z) = C(1 − az)−1 + D(1 − bz)−1 =

Отсюда=ïîC

∞

(az)n + D

∞ (bz)n =

∞

an+1 − bn+1 zn.

−

n=0

1◦

an+1

bn+1

1 + √

n+1

√

n+1

альнойлиза fn =

− b

= √5

−

−2

èð ïð êöè ун диннстро йùå примертримдяедемпроизво Этот.ассм

й 1,непрерывного1,1,.Экспоненциана ункци о вательности дискретногодящих ледо произв вязь ос уей имеретпс

−

. . .

является

∞

приПусть

ez = exp z =

n=0

для последовательностимыимеемn > 0

ункциюпроизводящуюэкспоненциальную

∞

dn:

Умножим ее почленно на z :

n=0

∞

zn+1

∞

−

23d

n=0

n−1 (n

1)!

n=1

n−1 n!

n=1

последовадляункциюпроизводящуюполучаеммобразТаким

циальнойтельности

,дящей,,произво

поледовательностиеренцированияпосиляäПослеункции

-экспонен

d0 2d1

3d2 . . .

получаем

dn (n > 0)

∞

zn−1

∞

zn−1

∞

−

ÿ являетс льности âàòå ункция ледо

îé оненциальн ñï ýê

производящей

ункциейПолученнаядляпосndn n!

dn (n

1)! =

n=0

dn+1 n! .

n=0

n=1

(n > 1).

zp+1 = fp+1(xn+1, xn+2, . . . , xn+m);

zp+2 = fp+2(xn+1, xn+2, . . . , xn+m);

(*)

. . .

)

схемеТогда

zp+q = fp+q (xn+1, xn+2, . . . , xn+m).

схединением

Σ′(x1, x2, . . . xn+m; z1, z2, . . . , zp+q), которая является объ-

(**):нений, которая Σ1

Σ2

урави

представляет,можнособойпостобъединениеавитьвсоответствиесистемуравненийсистему

z1 = f1′(x1, x2, . . . , xn, xn+1, xn+2, . . . , xn+m);

z2 = f2′(x1, x2, . . . , xn, xn+1, xn+2, . . . , xn+m);

. . .

zp = fp′(x1, x2, . . . , xn, xn+1, xn+2, . . . , xn+m);

zp+1 = fp′+1(x1, x2, . . . , xn, xn+1, xn+2, . . . , xn+m)

zp+2 = fp′+2(x1, x2, . . . , xn, xn+1, xn+2, . . . , xn+m)

. . .

ãäå

ункцииzp+q = fp′+q (x1, x2, . . . , xn, xn+1, xn+2, . . . , xn+m),

f1′, f2′, . . . , fp′

íå

зависят

существенно

переменныхот

xp+1, xp+2, . . . , xn+m

ункцииа,

fp′+1, fp′+2, . . . , fp′+q

переменныхотно

-существензависятне

x1, x2, . . . , xn

f1′ = f1, f2′ = f2, . . . , fp′ = fp,

в). Пусть схемаf ′

= f

p+1

f ′

= f

p+2

, . . . , f ′

= f

p+q

p+1

p+2

p+q

Σ′′

(x1, . . . , xn; z1, . . . , zj1−1, zj1+1, . . . , zjni+1 , . . . , zp)

полученасвоенаизхемы

выходам

Σ(x1, x2, . . . , xn; z1, z2, . . . , zp)

кприсоединенияпутем

ïðäó

zj1 , zj2 , . . . , zjn

эвходов

-выновомуполученномуи

буква

лементвычеркиванием

(*)изполучаетсякотораяуравнений,

Σ′′

системусопоставитьможно

zp+1.

схТогда

ñòðî

÷åê

строкидобавлением

j1, j2, . . . , jni

= f

0(f

, x

, . . . , x85), . . . , f

, x

, . . . , x

)).

p+1

jni

Появившись

ûðà2.

приприложениеоематематическразвлекательноеак

горешении

ломок,

математическуюотдельнуюввыделились

зисвловоциплину

комбинаторикиазвитием

началевтопологии

насВвека.ХХ

разделахвсехвопочтииспользуютсыграыемягравящее

рассмотриммыЗдесь

основныеькото

-аграсвязанные

.азательствадокбезатыпонятия,резульважныелеенаибонекоторыедадимдискретнойми

ематики.ма

Начальные2.1.

Определение 2.1. ра ом называетспонятияпара G = (V, E) множества

ных неупорядоченных двухэлементных2

выборок2 мноизэжлементовествовсехмновозможж-

è E

таких, что V 6=

è E [V ] (ãäå [V ]

VЭлементы). Такие многражыестваназываются неориентированными или неоргра ами.

называются ребрами. V

называются вершинами, элементы множества E

V = {1, 2, . . . 7}; E = {{1, 2}; {2, 3}; {3, 4};

ðåç

ак элемент множествадальнейшем,V

-обозначатьчерезбудем

{÷àåò5, 6}ãðà;{1, 7со}}.мноВыражествомениевершингра на

V îçíà-

Множество вершин6

à ãðà

V .

G обозначается V (G), множество ребер

бозначается E(G). Число вершин гра а

G называется егоспециальнойпорядком

делятсВеяшинунабуконечныедемграоговорки, |G|,рассматриватьчиса,лобескреберонечныеконечные.В.ВзависимостиграkGk ы. еслиотнетпор

ûãðà

ÐÈÑ. 15

ÐÈÑ. 16

åáðî

как элемент множества E будем обозначать

Вершина2.2.Определение

åñëè

называется инцидентной ребру e,

концевымиv e.вершинамиДвевершиныОбинцидентныечноребро,которомудномуребруинцидентныназываютсвершиныяего

xíèìèyОпределение(являются егоинцидентна2к.онцев3 ûмивершинывершинами)будем обозначать через xy.

åñëè

xy E(G). ãðàÄâ ребра f

y ãðà à

G называются сосед-

f 6= g

еслисмежныминазываются

èì

áîèì

îäíà

агравершинывсеЕсли.

G попарно сîседние, то

.полнымназываетс25я

яваетс

попарноМножество

назывершинесмежных

.5.2лениеОпред

омаНеоргр

нийпересеч

-ñè

ствжнезависимымимнотеме

аждое (к

соответствующим

нетакой

ãðà F = {A1, A2 . . . , Am}

Ai не пустое), называе

извершинытствующего,котором

оседними тогда G = (F, E)

òñÿ являю

тольк

когдатогда,

сеченийМноУтверждляествождениесоотв 2.1. Каждыйс неоргрмействааAi ∩ Aявляетмножествj 6= . я неоргр.а ом пере-

боров

{0, 1}n представляет собой мно

навсевозможныхество

Определен

si {0, 1} для любого i = 1, . . . , n.

(s1

s2, . . . , sn)2, .6äå.

любогоизомор ребраíûìè,

орогоn-мернымсовпадаеткубомсо

ϕ :

V → V ′ такая, что длÿ

ê í è верш множество

(ìn >жествомназывается1)

, неоргра

ромднойОпределениесоседнимикомпонентеявляютс. 2.7.я ралюбы две вершиíы, различающиес,яировнокотовn -

эквивалентности,

{0, 1}

если сущ ствуетGбиекция= (V, E) è G′ = (V ′, E′) называютс

E всегда ϕ(x)ϕ(y)

E′. Åñëè ãðà û

G = (V, E) è

èçйрамищиесленыымиИзомяграклассыдн

G′ = (V ′

E′)

- овмеждунабытьянепересекотношениемизоморпредстаюав различияизмониграмогутявляетс чтоачаетжизомествделать,чтор.всехмно оз .ов разбиваетбуПонятно,градемдальнейшем . . .игуройПоэтомумыдвух.не

омор ны, то пишут G G′

называется подгра ом2.8гра. Еслиа V ′ V, E′

E, òî ãðà

G′

= (V ′, E′)

Определение 2.9. ДополнениемG = (V,ãðà.E) à

G = (V, E) называется гра

вершинмножественат.е,.построенный

множестваизребрамис

= (V, [V ]2 \ E)

[V ] \E

В данном случаеG


G G.			26

Этункциональныха)вышесистемаассмотрим.ЕслиоперацийуравненийпостроениеРИС. 13 элементовдля называетсогическихпроводимостиясетейпроводимостью. дляРИС. 14каждойданнойиз рассмотренсхемы из-

альной логическΣ ойтривсети),аëтоьнаяей соответствуема(т. . сетхема,однопостроеннаяуравнение на триви
	естьдимостьЕсли.провоб)				z1 = x1
è					ункция.тождественная
личныеторых		Σ1	è	Σ2
	-выхункциональныхдамчитьоторыхследующимэлементов,сопостобразомавленысетиразкоххвхемымодамжноизиобознаèнепеременные,пересекаютстоя
					Σ1(x1, x2, . . . , xn; z1, z2, . . . , zp);
ãäå		Σ2(xn+1, xn+2, . . . , xn+m; zp+1, zp+2, . . . , zp+q),
их выхиодовn m .		Пучисстьло		системы,аиуквхазаннымодовсоответственнохемамсоответствуютхеми				уравненийq число
их выхиодовn m .		Пучисстьло			Σ1	Σ2	p	уравненийq число
					z1 = f1(x1, x2, . . . , xn);
					z2 = f2(x1, x2, . . . , xn);
					. . .			( )
					zp = fp(x183, x2, . . . , xn);

(ðèñ. 13). Полученная таким образом

чается

-обознахема

писаны различныеÐÈÑ. 11буквы

ÐÈÑ. 12

ют отрицанию, конъюнкциисотоF èòäèçъюнкциитрехэлементов,ункциональных(рис.òîрыеигурысоответству-

15)

14),

Σ1 (ðèñ.

авитов ал из

xi , xi2 , . . . , xin è zj1 , zj2 . . . , zjn соответственно

Если множествоΣ(xi1 , xi2 , . . . , xin ; zj1 , zj2

. . . , zjn .

äà,

Σ2

ункций,

изункциональныхэлеметовальных.емы

ункционированиеясхемамиизявляютстеперь16)..элементовПуОпределимсть(рис

ментов.

зпостемамножестваэлементуКаждому

ýëå

Σ(x1, x2, . . . , xn; z1 z2 . . . , zp)

эиторуюлементовзаконыбулевудляможнобуункциюлевыхсопост.авитьТог системуиспоуказаннойльзууравненийяF правилаавимхемебуизвлевыхпостросоотвункциональныхåтствиеункций:яормунек -

z1 = f1(x1, x2, . . . , xn); z2 = f2(x1, x2, . . . , xn);

. . .

zp = fp(x182, x2, . . . , xn);

вершиныСтепень2.2.

гра Пуесть G = (V, E).

Множество вершин, соседнихназываетсвершиной v â

ОпределениеG обознач м2через.10. СтепеньюE(v).

вершины

.ò

вершинеинцидентныхчисзолированнойвершин,.

я число |E(v)|,

ñÿ

. Об значается степень вершины.Вершинаv

степени 0 называет-

åñ èëè,

ðå÷ü èäåò îлько о вершинах одного граv граа,тоачерезчерезG

dG(v)

Число2.11.ниеОпредел

d(v).

аграпеньюåстнимальной

δ := min{d(v) | v V } называетсчениями-

ся максимальной степенью гра.G

Чиса.лоОбычноΔ:= maxупотребляются{d(v) | v Vобознаназывает}

δ(G)ОпределеΔ(G).

агравершинывсеЕсли2.12.ие

епеньс

G имеют динаковую

åòсяОпределениекубическимk, òî îí.называетс2.13. Чисялоk-регулярным.

3-регулярный гра называ-

аграстепенью

d(G) =

d(v)

среднейназывается

v V

Очевидно, что.G

утверУтверПоскждониелькуждение. ребро2.2соединяет. δ(G) 6 däâå(G)вершины,6 Δ(G).

следующееочевидното

íî.

всегдаеграгра.внекоторыйтепениñчтожим,нечетнойоíë

-÷åò

ТДокеоремаазательство2.1.Число. Предпо|вершиE| = 2 v V

d(v) =

2d(G)|V |

всехимеетвершин,нечетноекоторуючисло вершинмыобознанечетнойчили степени. Тогда сумма степенейG(V, E)

число Следовательно,

d(v),

числом. нечетным будет

v V

ìужутверТетеобытьждениюемаравнодоказана.кли. ÷ествуd(vвершинне27являетс.Ноэтоянатуральнымпротиворечитипредыдущепоэтомуне) -

2 v V

i, j

{0, . . . , k}

Ïóòè2.3.

циклы

6= xj

òîãî,

6= j

Определение 2.14. Путем из вершины x0 в вершину xk â ãðà å

G( называется набор

x0, x1

. . . xk,

ãäå

xi V

(i = 0, k)

xj−1xj

j =Ïóòü)1, k .äë×èсныло ре

. длиной его пучимназывается ер

задавать k

обозна

через

вершину ршиныназывае в из Путь .

будем

е т.вершин,ледовательностьюпос

Путь2.15.Определение

pk = x0x1x2 . . . xk−1xk.

åñ

p = x0x1 . . . xk−1xk x0

,цикломся

èç

÷òî

что следуетвсегда

.берреголоачисгряЛюбой.2.называетс2циклаТеоремаДлиной

недлины

íåå

путьржитåñîä

линывершинамиδ(G)

öèêë

δ(G) + .

еОпределениегра

2.16. асстоянием ρG(x, y) между

x y

называ

ся длина кратчайшего пути из x

â y. Åñëè ïóòè èç x

изпрдвумямеждурассто.яниеНаибоальшее

âîyльныминесуществувершинамиет,òо2.пишутгра. ρG(x, y) := ∞

значается

аградиаметромназывается

G, è îáî-

яниемаксимальноеОпределениеназываетсрасстояdiam (Gадиу). 2яние.сом18. доВершинаобозналюбойч называетсвершиныследующаяминимальноцентральной. это, есрасстолиее-

аведлива Спр2.3.Утверждение

rad (G). ормула:

Определение 2.19.rad (GМаршрутом) 6 dim(G) 6длины2rad (G).

тьпоследовательночередующаясяпустаян

k â ãðà å

G называется

âáåðваетсð

v0e0v1e1 . . . ek−1vk

ивершин

ïóòü.ÿ

замкнутымаких,что

k ei = {vivi+1}

ñ Å

= vk

-естьонтоциклыразличны,томаршрутэйлеровыиымаршрутеðàггвершиныстойльныеНепудовсе.ли.дву20Ес2.Деревья,2.4.

любые две его вершины связаны путем в G называется связным, если
сом.ОпределениеСвязный лес называетс2.21. ра деревом, не содер.Вершиныжащий.циклов,степениназываетсяG			ëå
.Следующие2.3.листьямиТеоремазываютс	утверждения эквивалентны1	- анаградлядереве
T :	28

объединениянепересекающиеснепересекающихсясетидданыЕсли.б)										Σ2, имеющие соот-
ветственно	n1	è	n2	иноваявхдов		p1	p2	Σ1
ê								выходов,оторой		атежнольмоямрезувсетобразом,этимсетей
яоперациюприменитьоторойполучаетс					ñåòü
сетей						Σ′, вхдовдами			дывхвсеявляются
имеетΣ1	Σ2,		Такимсетей.этихвыходыдамивых								ñåòü Σ′
n1 + n2		входов			p1 + p2 âûõî			.10)(ðèñ.

даогТ

можно

операцию

в). Если дана некот рая логическаяÐÈÑ. 10ñåòü

Таким

àÿ

вкроме

õ äîâ j

, j

, . . . , j .

и элемента

логическΣ n вхдовдамисетиприсоединениявыхдамиp

выхоторойды являютсвходами,F ni

причем p >применитьсредиni

âûõ

Σ выбраны

j , j

результате, . . . , j .

получается которой

ñåòü àÿ

Σ′′, âõ äàìè

сетидывхя

сетидывых

Σ,

а выходами выхобразом,дэлемента F

âñå

ñåòü

ñåòè Σ.

сетьая

логическ

Таким образом,

Σ имеет n âõ äîâ è

ã)Σ.′′Есимеетлиданавхнекn äîтораяиp логическвыхаясетьодовni + 1

. 11) (ðèñ.

−

выход некоторый выделен ети этой в и

n вхжнодамиприменитьвыхдамиp

ретьацию расщепления выходаявляютс,резульлогическтате.оторойТогдамополучитсяj

-аяопе

õîäûΣ′′′, входами которой

я все вх ды сетивозникших,авыхдамиΣ

âû

с номером1, 2, . . . , i − 1, i + 1, . . . p è åùå äâà âûõ äà,

давыхиз

p + 13.выхПуостьд(рисзаданы.12).ал авиты некоторых переменных

.ñåòü. . , xi . . .} è Z

X = {x1, x2, . . .

= {z1, z2, . . . , zi, . . .} и пусть дана некоторая логическая

элементΣ, êîторв называя имåеттсяnлогическвхдоваяp вых81сеть,доввхо.дамСхемойи выхиздамункциональныхоторой при-

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Дополнительная литература

#
29.02.2016659.25 Кб3824_В.В.Аниськов, И.В.Близнец - Дискретная математика. Курс лекций.pdf
#
29.02.2016477.26 Кб3325_В.В.Аниськов, И.В.Близнец - Дискретная математика. Практиченское пособие.pdf
#
29.02.2016916.71 Кб115Зайцев Д. А. Математические модели дискретных систем.pdf
#
29.02.2016588.22 Кб71Кулик Алгебра кортежей.pdf
#
29.02.20166.12 Mб808Шевелев Ю.П. Дискретная математика Томск Ч.1 2003 118 с..pdf
#
29.02.20165.7 Mб679Шевелев Ю.П. Дискретная математика Томск Ч.2 2003 130 с..pdf