Литература / Дополнительная литература / 24_В.В.Аниськов, И.В.Близнец - Дискретная математика. Курс лекций

1

.,Карпов.В.

Литература

-дискретилогикаМатематическаяВ.А.й

1977.шк.,Выш..:ощенскÌматематика.ная

Ó,ÁÌí.:å.

2

Â.À.

Лекции

логойматематическпо

3

А.В.,Мощенский

-ориносновыМатематическиеВ.А.

.1973

2002.У,БМн.:матики.

и.кибернетивопросыматематическиеМощенскийматематикаДискретная4

М.:Лупанова.О.Б.огоЯблонскС.В.редакциейобщейПод

.51979

Наука,М.:математику.дискретнуювдениеВвС.В.Яблонский

4

1972.Наука,М.:задачах.вгикилАлгебра.С.индикин

6

7

дискретнойпозадачСборникА.А.îСапоженк.П.,аврилов

1977.Наука,М.:.тематик

1984.Наука,М.:алгоритмов.теорииилогикеойматическ

8

-матемножеств,теориипоЗадачиЛ.Л.МаксимоваИ.А.,Лавров

БеларусьеспубликиобразованияобразованияУчреждениеМинистерство

госуомельский

университет

СкориныдарственныйФранцискимени

БЛИЗНЕЦВ.И.АНИСЬКОВ,В.В.

МАТЕМАТИКАЕТНАЯДИСК

ЛЕКЦИЙСКУ

студентовдля

êóðñ

020103311остиспециаль

Математика

деятельность)педагогическая-(научно

ББКУДК

.8)173ÿ1(075..17451922

674A

ецензенты:

наук;математических-зикодокторСеменчук,Н.В.

государственный

СкориныобразованияФранцискимениуниверситет

алгебрыедрака

учреждениягеометрии

омельский

екомендовано

учреждесоветомметодическим-научноизданию

í

ÿ

-Франимениуниверситетгосударственныйомельский

Скориныобразованияскèö

В.В.Аниськов

êóð

674A

1студентовдлялекцийкурсматематика:Дискретная

-(научноМатематика020103311специальностиса

Близнец;В.И.Аниськов,В.В./деятельность)педагогическая

ственныйгосудаомельскийБ,.обрво-Мин

. 108 университет 2006. . орины Ф.Ск им. У УО . орины Ф.Ск им.

.

курса1студентамначенпредналекцийКурс

атематического

Математик020103311специальностиультета

-(научно

-педагогиматематДискретнаядисциплинуизучающим,деятельность)ая

изучения.самостоятельногодляиспользованбытьМожет.аческ

519.1(075.8)ÓÄÊ

173ÿ22.174ÁÁÊ

В. В. Аниськов, И. В. Близ ец,

УО У им. Ф. Скорины

2006

Введение

Содержание

1

Элементы

.сочетания

1

ановкиерест

2

исключениявключенияомбинаторикиинцип

41.

....................ункциидящиеПроизво

2

3

соотношенияекуррентные

ûðà

1

понятияНачальные

2

Степень

вершины

3

...................циклыиПути

3

42.

.......циклыэйлеровыиыградвудольныеДеревья,

свойстваихиункцииБулевы

1

ункциибулевырныеЭлемент

2

ункцийбулевыхэлементарныхСвойства

3

...двойственностиПринцип

................

4

43.

ункцийбулевыхазложения

ункцийбулевыхормынормальныеДизъюнктивные

1

нормальныхдизъюнктивныхминимизацииПроблема

2

..............ункцийбулевых

Упрощение

-ормТупикорм.нормальных

3

....ормегеометрическойчидизъюнктивныхзастановкП

44.

âûå

.ормынормальные

5

îÑ

.....орманормальнаяизъюнктивнаядизъюнктивные

кращеннаяПолнот

бусистем

ункций

2

ункцийлевыхбуклассытыеВажнейшиезамкнутость

1

Полные

ункцийбулевыхстемы

35.

Êð

полнтерии

.......................òû

6

Функции1 ПонятиеK-знаункциичной логики

26.

еализации

êöèék-значной логики . . . . . . . . . . . . .

ные равносильности k.-зна. . чной.3. . логики. . .

-Основормулами.

7

. . . . . .элементов..ункциональных..изементовьных.ëý.åì..ñ..элементов..синтезаиз..ды.ункциональныхемс..емы.метоиз.преобразователисинтеза.мысункциональныхарныеòíûåятиеакизментовроблемаîíМетоэЭлементÏКДискреемы54321Сх

92078

6

Шеннонад

0

77.

.......................сумматораСинтез

310

Литература

108

ассмотрим хорошо известныйy =алгоритмy y . . . сложенияy .

чисел

n

n−1

1

êîì":

= 0).

x è y "столби-

(q1

чтоОчевидно,

qn+1

qn . .

q1

+

xn . . .

x1

yn . . . y1

числаЗдесь

zn+1

zn . . .

z1

qn+1, qn . . . , q1

-перепредыдущихрезультатыразрядовобозначаютпредыдущихизносов

zi = xi + yi + qi(mod2),

тождествомвоспользоватьсяЕсли

qi+1

= (xi yi) (xi qi) (yi qi).

xi, yi,

qi

zi

qn+1

31)

xi + yi + qi

=

соединенияn-разрядныхблокпреобразованиечисел,

лучаетс

последовательногопутем

(xi yi) (xi

qi) (yi

qi

величинто легк получить двоичныхсему,реализующуюxi yi qi (xсоответствующееi yi qi),

преобразование

осуществляет

Bi

(ñì. ðèñ.

32). Â ýòîé õåìå zn+1 = qn+1 è áëîê B1

чим Обозна

величины

тольк

через. построенную(смпредст.хрисему. что

с нами искомая Тогда

åìà

Bi (1 < i 6 n).

äâóõ

Σn

которая

длясумматорсобойавляет

z1 = x1 + y1 =

(x1 y1),

x1 y1

чтоОчевидно,

q2 = x1 y1.

è

L(B1) = 4

Таким образом, получаемL(следующуюBi) = 9 (1 оценку:< i 6 n).

L(Σn) 6 9 · (n − 1)105+ 4 = 9n − 5 < 9n.

Элементы1.

сочетанияановкиомбинаторикиПерест1.1.

,

изстоящее

множествнекотороеданоПусть1.1.

точно, выборкойm > 1из). Такое подмножество называется â

болееили,

Например,

n элементов по m элементов.

равнымиэченством5,лементов6.ОпределениеЕсэлилементов,резуполученоразличающиесль1,àòå2,îíåê14тговор.ак2оторое.оготр¼хэВыборятвыборая,лементнаячтолишьмноназываетсжсделанвыборки,ествопорядквыборквыборомнеупорядоченнымборок,состоих.изсящиеледовансмнодинакизжестваèдниховымя,,счес1,ликт2,техоаютсполиче3,луж4,яе-

неупорядоченныминазываютсявыборкиТакие.

-обозначают

чае,борки,пообпНапример,Определезнаогяпоäчаютскулученониихясостоí[1ледованияыие, 4,ÿò1.3]ðå3=.çуВыборль.динакТт[4, 3àêèå,теназываетсового.аквыборкоговыбора,л1] èячестваназываютсупорядоченнымравныэлементовяупорядоченнымильк,есливдинактомдвесовылу-

эдыйлементНапример,Например,Определениеэлементможетвыбираетсбыть(1, 311., 5)выбран.54.6=.яВыборВыбортольксконазываетсоназываетсльо.динугораздноя.яраз(5, 3, 1) с безвозвр. возвращениемащения, ес,лиесликждыйкаж-

ñÿ [r1 r2 . . . , rt

].

ем. Определение(1, 1,1.63),.(3Упорядоченная,, 1, 1) [3, 3, 4, 4,выборк4, 5] авыборкииз с возвращени-

перестановкойназываетсяэлементов

n элементов по n

возможныхвсехЧисло

nок-элементного множества.

обозначаетсявозвращения

n-

ентного

безества

,

ращениââîç

˜

Определение 1.7. УпорядоченнаяP (n)

выборка изP (n).

иззмещениемтсяназываэлементов

n элементов по m

(

n элементов по

m элементов

0 6Числоm 6 nразлич).

изразмещений ых

ачаетсяíобозвозвращения

n

элементов по m

безэлементов

Anm.

Счит6ается, что если m > n,

Anm =

различныхКоличество

лькупоскдно.нетрулитьвычисункцийаких

классам:двумпервыматпринадлежнеоторыекункции,теэто

2n

2n−1

енизображнейНа30.

многопоассмотримлюсниктеперь схему,2 изображенную− 2 · (2 − 1)íà−ðèñ.1.

числами

Un. Здесь вых ды многополюсника

Un

−

1

занумерованы

ременныхствииконстантсразбиением0.Выходымномногопо,причемжествалюсниквсехсчитаетсбулевыхразбитыя,чтоn−1

1, 2, . . . , 22

-ункций,нанавыхтриоклассазависде1реализуящихсоответетспея

1)

x1, x2, . . . , xn.

содержит:многополюсникДанный

подсхему

áà2

Un−1

подсхемы:

кромедининвентор;указанной

)â

2(22n−1

1) конъюнкторов;

2n

−2n−1

Поэтому2 − 2(2мы получаем− 1) − 1окдизъюнкторовончательноследующую. оценку

L(Un) = L(Un−1) + 1 + 2 · (22n−1 − 1) + 22n − 2 · (22n−1 − 1) − 1 =

L(Un−1) + 2

2n

6 2 · 2

2n−1

+ 2

2n

2n

.

(приприводит

6 2 · 2

лементовункцийэбулевыхсумматораункциональныхембоизльшинствоСинтезсх.что7.7скуюважноОбщаяТеоремаутеориявыводокдуазанаточкисинтезатом,.

→дельнызабуункцию)левых(метоценность)∞ хмимеетдами,клас.уункцийнеобхкцийслоамсоторыежные..димобуПоэтомулевыхминимальныезренияпозвоиметьнарункций,ляютсинтезаметоядустроитьдыпоуниверсальнымипредстемысинтеза,лнее.Этохучитывающиеавляетемы,ознаприспособленныереализующиевесьмачаетмето,чтосвойствадамиузкийпрактичелюбуюсинтекласскот-

Одной

элементов,ункциональныхизхем

подля

ункций,булевыхклассаотдельного

многополюсник,применяемых

ализующий

счиссистемедвоичнойявляетсзаданныхчисел,двухсложение

.строениял

счисления:системедвоичнойвзаданныхчисла,дваданыПусть

x = xnxn−1 . . . x1

103

щихассмотримпеременныхn

x1, x2, . . . , xn−1

этомприипостроенуже

разложение

L(Un−1) 6 2 · 221 .

f (x1, x2, . . . , xn−1) =

(xn f (x1, x2, . . . , xn−1, 1)) (

f (x1, x2, . . . , xn−1, 0)) =

x

выше,икакгде,

(xn f ′) (

n f ′′),

x

è

f ′ = f (x1, x2, . . , xn−1, 1)

унхвсМножество

f

′′ = f (x , x , .

îò. , xпеременных, 0).

зависящихций,

n−1

1

2

класса.яающихнепересектрина1бьем

x1, x2, . . . , xn ðàçî-

.2

f ′ âíîf ′′îäíà0.изЭтотункцийкласс содержит толькждественнодну ункцию f

0.

классе со≡ ≡

ункции

равна 0. В≡ýòîì

держатся

f ′

èëè f ′′

f

âèäà

ãäå

f = xn f ′,

èëè

f ′ 6≡0

ãäå

f =

n f ′′,

x

f ′′

0.

равно будет ункций Чисвычестьлоаких

6≡

булевыхвсехло

îò

2 (22n−1

−

1). Действительно, чис-

посклученноелькуточислькло дна·

2n−1

умножить1, люжноиíó

n−1

равнчисла ждественноункция.Изэтого 2,ункцияпосциялькуто

переменных равно 2

конъюнкциювляет

переменной

f ′ ñ

-ñò

овых динактрицаниематьееункциинемогуткоторыхсодерэтихункции,онъюнкцийт.е.Все.мноостальныеества3.эилементовпоэтому

xn,

f ′′

è

f ′ 6≡0

=возвращени0. Число мразличныхобозначаетсразмещенийя

из элементовповторениямиэлементовn m

ñ

1.8.Определение

˜m

извыборка

An

ядоченная.Неупор

изсочетаниемназываетсяэлементов

n ý

ïî m

без повторенийазличают сочетобознааниячаетсповторениямибезповторенийn

(число различныхm

сочетаний.

ссочетанийразличных

Cnm)

сочетобознааниячаетсявляетс

(число

утверждениеикиломледующеесуммы:правомбинатояобъектЕслиДляназываетскторая

Hnm). аксиомой, к -

жет быть выбранA может быть выбран m способами, а объект B ìî

осуществлен

nспособами,омбинаториквыбор"или A

èëè B"может быть

ваетсЕслия правиломобъектдно mó +верпждениеоизведения:кn .

-назыиаксиомойсчитаетсяе

таких выборов объA можеткт быть выбран m способамиспособами,длякаждого из

B может быть выбран n

выборто

AB Тв еоремаэтом порядк1.1. åÈìожетеютместобытьследующиеосуществленравенства:mn

.

1) Anm =

n!

;

(n − m)!

2) P (n) = n!;

3) Cm

=

n!

;

!(n

n

− m)!

m

mm

4) Hn

= Cn+m−1;

˜

n

;

5) P (n) = n

˜m

m

множестводаноПусть

6)Доказательство.A = n .

n

1)(n 2) . . . (n m + 1) =

акимТ.способами

n(n

A

èç n элементов (|A| =

=ìåíò)n

-элепервыймножестваэтоголюбогобытьвыбранразмещениявыборкиПриполученииможет.

тоспособамиледующийповторения,

лемент выбираетсспособамияиз.n

безПоскпроизведения,лькувыбор

åñòü

(n − 1)

тоэлементов,

лучаем,(n −÷òî1)

правилоиспользуятомуиз,ýразмещение.Повс¼

-ïî

выбрано

n элементов по m

бытьможетэлементов

n!

.сравенстволедуетнепосредственно1)авенстводоказано2)

т.к.1),равенстваиз

образом

−

−

−

(n

−

m)!

P (n) =

= Ann =

n!

= n!

7

(n − n)!

Из.авенствоемповторенийажбезДок

àíèÿ,

-сочетавитьсостльноеможно2),произвосогласно

íèå

3)этого. Пусочетсть [r1

r2, . . . , rm]

.динаковые.Предпоперестановкиложим,вторенияîпПухотаниястьбыбездведваизпобы,различныелучитьэлементовоизних.алосьперестдаизвонамокльныеуазановокдîãТчтпр

m!

m

[r1, r2, . . . , rm] [a1, a2, . . . , am]

÷òî

произведениямы

пришли

заключениюбы про иворечию с ем,{r1, r2, . . . , rm} = {a1, a2, . . . , am}

аниясоотношение.том,Поэтомучтомонашежносочетсправедливо

именитьедположениеправилоневерноïð

ìû

[r1, r2, . . . , rm]

[a1, a2

, . . . , amïðèõ] .различЗнаодимчитк-

Anm = P (m)Cnm.

Отсюда

m

Anm

Теперь, используя 1) и 2) получим:C =

.

n

P (m)

m

Anm

n!

отображение

Докажем равенствоC 4)=. Ïîñòðîèì= биективноå.

n

P (m)

m!(n − m)!

→браноX

X = {1, 2, . . . n}. Пусть

f : A →

гденекпроизвоотороесочетльномуаниеправилуиз,

-выами

÷àëà,

m

ожестваíмизповторениямисэлементов

g являетсанияинъекцией. Пусть

X.

его Запишем

образом: ледующим

[i1, i2, . . . , im],

ãäå i1 6 i2

6

. . . 6

im

множество теперь

построимС.авим6

отображение

˜

X = {1, 2, . . . , n, n + 1 . . . , n + m − 1} è

˜

правилу:по

g : X → X

ñíà

отобчто

жение

Убедимсяg([i1

i2, . . . , im]) = [i1, i2

+ 1, . . . , im + m − 1].

сочетзличныхðàâàíîäтно:быхотясуществуетдатогТ

ñ

вторениями.п

[i1, . . . , im] 6= [j1, . . , jm]

x2, . . . , xm]

X

ãî,

присюръективнымачествепрообраза

[x1

ik + k −1 6= jk + k −1

k

(1

6 k 6 m)

àêîå, ÷òî ik 6= jk . Íî

поэтому и

[i1, i2 + 1, . . . , im + m −1] 6= [j1 j2 +

Следовательно,

Аравно8.

àê êàê f биекция,

ðàâí

X

X

+ 1, . . . , jm + m − 1]. Îáð

пусть [i1, i2

+ 1, . . . , im

+ m − 1] 6= [j1, j2 +

+÷òî1, . . . , jm + m −1]. Тогда существует хявляетсотбыодно k

(1 6 k 6 m) такое,

ik + k − 1 6= jk + k − 1.

Но тогда ik

6= jk

и поэтому [i1 . . . , im] 6=

6= [j1, . . . , jm]

åíèèg

множества из

˜ ,

Поэтомудлян

отображение Знаэлементчит, произвольный.

взять Если инъекцией. я

g

íàéä¼òñÿ

множестве X

ìåíò å ë

мно.жествах элементов

.

Ç

читоно,отображявляетсениеябиекциейявляетс.

чисжлои

[x1, x2

− 1, . . . , xm − m + 1]

g

è

˜

7.11.Определение

элеменункциональныхиз

люсниктîв,гоимеющиймножестваnуниверсальноговхункций,довsМногопоесвыхли довдлялюсникназываетсаждого я универсальным для дан-

двыхнайдется

i (1 6 i 6 s) в многопо

τ (i)

чтотакой,

ункцияреализуетсянем

ромПрим

множествадлямногополюсника

fi(x1, x2, . . . , xn).

. . . , Ks

K1, K2, . . .

любогопостроенная

22.ðèñ.íà

Дляема,.х.4я7ремаявляетсеТ

люсникîногоп

n можно

универсальныйпостроить

енныхì

Un

для множества всех булевых ункций от n ïåðå-

x1, x2, . . . , xn è ïðè ýòîì

Доказательство. ПостроимÐÈÑ.29многополюсник

этогожсобоменный.многопоОснованиемнарислюсни.29,индукцииаоторыйполучаемреализумосжледующуюететслужить

Un

-ункциюоценку:многопоот1индуктивнымпеременнойлюсник,изобра.Дляспо

Совершиммногопотеперьлюсникиндуктивный

21

Предположим,· 2 .

-универсальчто

íûé

L(U1)переход.= 3 < 2

Un−1

зависяункций,булевыхвсехмнож101ествадля