Литература / Дополнительная литература / Зайцев Д. А. Математические модели дискретных систем

Рассмотрим квадратные матрицы порядка n с целыми коэффициентами. По определению матрица U представима через матрицы U1,U2 ,...,Uq , если для

определенных r1 , r2 ,..., rt выполняется равенство U U ri . Общая проблема

i 1,t

представления состоит в требовании указать алгоритм, с помощью которого можно было бы определить для любой системы матриц U, U1 , U 2 , ..., Uq порядка n,

является ли U представимой через U1 , U 2 , ..., Uq . Общая проблема представления для матриц порядка n не имеет решения при n 3.

4.Десятая проблема Гильберта: задача о разрешимости диофантова уравнения.

Пусть задано диофантово уравнение с произвольными неизвестными и целыми рациональными числовыми коэффициентами. Указать способ, с помощью которого возможно после конечного количества операций установить, разрешимо ли это уравнение в целых рациональных числах.

5.Проблема эквивалентности сетей Петри.

Для двух произвольных заданных сетей Петри установить, совпадают ли их свободные языки.

Весьма интересными являются следствия из результатов, связанных с алгоритмической неразрешимостью, полученные Райсом: по двум произвольным программами на алгоритмическом языке нельзя выяснить, вычисляют они ту же самую функцию или нет. Или в еще более впечатляющей форме: по произвольной программе на алгоритмическом языке нельзя выяснить, вычисляет ли эта программа функцию, определенную хотя бы в одной точке.

Не следует слишком огорчаться, расширив свои знания представлениями об алгоритмически неразрешимых проблемах. Собственно факт алгоритмической неразрешимости не связан с полной беспомощностью человека. Неразрешимость определенной проблемы на интуитивном уровне означает лишь, что проблема имеет слишком общую формулировку. Для различных частных случаев проблемы могут существовать алгоритмы их решения. Итак, необходимо лишь сузить постановку задачи.

Контрольные вопросы

1.Из чего состоит конечный автомат?

2.Назовите способы представления конечного автомата.

3.Что изображают на диаграмме состояний конечного автомата?

40

4.Какова структура матрицы переходов конечного автомата?

5.Чем отличается автомат Мили от автомата Мура?

6.Сформулируйте основные действия по преобразованию автомата Мили в автомат Мура.

7.Сформулируйте основные действия по преобразованию автомата Мура в автомат Мили.

8.Укажите основные области применения конечных автоматов.

9.Укажите конечные автоматы в окружающих нас искусственных объектах.

10.В чем заключается целесообразность использования двух различных типов конечных автоматов?

11.Какие автоматы называют эквивалентными?

12.Охарактеризуйте основные шаги алгоритма минимизации конечного автомата?

13.Как определить, являются ли конечные автоматы эквивалентными?

14.Перечислите основные элементы сети Петри.

15.Назовите основные области применения сетей Петри.

16.Сформулируйте условие возбуждения перехода сети Петри.

17.В чем заключается срабатывание перехода сети Петри?

18.Опишите кратко процесс функционирования сети Петри.

19.Укажите способы наглядного представления динамики сети Петри.

20.Что представляет собой граф достижимых маркировок сети Петри?

21.Какие сети Петри называют ординарными?

22.Какие матрицы позволяют представить сеть Петри?

23.Что представляет собой уравнение состояний сети Петри?

24.Перечислите основные свойства сетей Петри.

25.Какие сети называют ограниченными и безопасными?

26.В чем заключается свойство консервативности сети Петри?

27.В чем заключается свойство живости сети Петри?

28.Какая маркировка сети Петри называется тупиковой?

29.Опишите взаимосвязь сетей Петри и конечных автоматов.

30.Охарактеризуйте структуру фундаментального уравнения сети Петри.

31.Что представляет собой инвариант позиций сети Петри?

32.Что представляет собой инвариант переходов сети Петри?

33.Охарактеризуйте свойства инвариантных сетей Петри.

34.В чем заключается редукция сетей Петри?

35.Укажите основные правила редукции сетей Петри.

36.Укажите особенности построения псевдомаркировок сети Петри.

37.Сформулируйте основные шаги алгоритма построения дерева покрывающих маркировок сети Петри.

41

38.Какие свойства сетей Петри позволяет установить дерево покрывающих маркировок?

39.Назовите преимущества использования сетей Петри для моделирования параллельных систем и процессов.

40.Сформулируйте интуитивное понятие алгоритма.

41.Назовите основные черты, присущие алгоритму.

42.Из каких элементов состоит машина Тюринга?

43.Кратко опишите процесс функционирования машины Тюринга.

44.В чем заключается тезис Чорча?

45.Сформулируйте проблему самоприменимости машины Тюринга.

46.Является ли проблема самоприменимости машины Тюринга алгоритмически разрешимой?

47.В чем заключается метод сведения для доказательства алгоритмической неразрешимости.

48.Какие алгоритмически неразрешимые проблемы Вам известные?

49.Назовите алгоритмически неразрешимые проблемы в теории сетей Петри.

50.В чем заключается взаимосвязь машины Тюринга и расширенных сетей Петри.

Задачи

1.Постройте конечный автомат для продажи шоколадок. В автомат можно опускать монеты достоинством 5, 10 и 25 копеек. Стоимость шоколадки - 25 копеек. Если опущенная сумма достаточна для приобретения шоколадки, то загорается лампочка и с помощью кнопок можно избрать одну из трех начинок: ромовую, клубничную или вишневую.

2.Преобразуйте автомат, построенный в задаче 1, к форме автомата Мура.

3.Выполните минимизацию автомата из задачи 2.

4.Постройте конечный автомат для распознавания двоичных чисел с фиксированной точкой. Выполните минимизацию автомата.

5.Постройте сеть Петри, которая моделирует протокол множественного доступа с контролем несущей.

6.Найдите инварианты сети, построенной в задаче 5.

7.Постройте дерево покрывающих маркировок сети, построенной в задаче 5.

8.Выполните редукцию сети, построенной в задаче 5.

9.Определите, является ли сеть, построенная в задаче 5, ограниченной, живой, консервативной.

10.Постройте сеть Петри, которая моделирует сеанс радиосвязи в полудуплексном режиме. Определите свойства сети.

42

11.Постройте машину Тюринга для суммирования чисел в двоичной системе исчисления.

12.Постройте машину Тюринга для подсчета нулей в двоичном числе.

Список рекомендованной литературы

1.Глушков В.М. Синтез цифровых автоматов. - М.: Физматгиз, 1962. - 476 с.

2.Шоломов Л.А. Основы теории дискретных логических и вычислительных устройств. - М.: Наука, 1980. - 400 с.

3.Питерсон Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем. - М.: Мир, 1984. - 264 с.

4.Котов В.Е. Сети Петри. - М.: Наука, 1984. - 160 с.

Список дополнительной литературы

1.Грунский И.С., Козловский В.А., Пономаренко Г.П. Представление конечных автоматов фрагментами поведения. - Киев: Наук. думка, 1990. - 232 с.

2.Слепцов А.И., Юрасов А.А. Автоматизация проектирования управляющих

3.Ачасова С.М., Бандман О.Л. Корректность параллельных вычислительных процессов. - Новосибирск: Наука, 1990. - 254 с.

4.Марков А.А., Нагорный Н.М. Теория алгорифмов. - Г.: Наука, 1984. - 432 с.

5.Успенский В.А., Семенов А.Л. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения. - М.: Наука, 1987.- 288 с.

6.Мурата Т. Сети Петри: Свойства, анализ, приложения // ТИИЭР. - т. 77, № 4,

1989. - с. 541-580.

7.Зайцев Д.А., Слепцов А.И. Уравнения состояний и эквивалентные преобразования временных сетей Петри // Кибернетика и системный анализ. - 1997, № 5. - с. 59-76.

8.Зайцев Д.А. Инварианты функциональных подсетей // Научные труды ОНАС им. А.С. Попова. - № 4, 2003. - с. 57-63.

9.Зайцев Д.А. Инварианты временных сетей Петри // Кибернетика и системный анализ. - № 2, 2004. - с. 92-106.

10.Зайцев Д.А., Шмелева Т.Р. Моделирование коммутируемой локальной сети раскрашенными сетями Петри // Зв’язок. - № 2 (46), 2004. - с. 56-60.

43

Учебное издание

Зайцев Дмитрий Анатолиевич Математические модели дискретных систем Учебное пособие

Ответственный редактор:

Редактор: И.В. Ращупкина

44