Литература / Дополнительная литература / Зайцев Д. А. Математические модели дискретных систем

Заметим, что система содержит уравнение и неравенство; это соответствует недетерминированности поведения сети Петри. Построенную систему традиционно называют уравнением состояний сети Петри.

Введем фундаментальные характеристики поведения сети Петри. Для этого используем следующие вспомогательные обозначения: обозначим, что переход

Набор основных свойств сетей Петри сформировался как набор характеристик, присущих исследуемому объекту, полезных или нежелательных (которых следует избегать). Поэтому свойства можно условно разделить на положительные и отрицательные. Необходимость построения методов для определения, обладает ли сеть искомым свойством, формулируют в виде задач (проблем). Иногда справедливо обратное: в виде свойства формулируют определенную важную проблему исследования сетей. Различают поведенческие и структурные свойства сетей. Поведенческие свойства связаны с конкретной начальной маркировкой. Структурные свойства выполняются при любой начальной маркировке.

20

выполняется ли условие L(N1 ) L(N2 ) . Проблемы эквивалентности и включения могут быть также сформулированы для множества достижимых маркировок.

существует разрешенная последовательность срабатываний, которая содержит

этот переход: T * : 0 & t .

Живость: переход является живым, если он является потенциально живым в

тупиковая для всех переходов сети. Иногда рассматривают такое свойство как безтупиковость, что означает отсутствие в сети тупиков. Это свойство является более слабым, чем живость. Сеть хотя и может функционировать бесконечно, но при этом определенные переходы не может быть запущены. Поэтому безтупиковость часто рассматривают как отрицательное свойство.

Безопасность: безопасной называют 1-ограниченную сеть.

Консервативность: консервативной называют сеть, которая сохраняет взвешенную сумму фишек относительно определенного весового вектора w с натуральными компонентами: w w 0 const . Строго консервативной называют сеть, сумма фишек которой постоянная, т.е. консервативную сеть относительно единичного весового вектора.

21

Повторяемость: последовательность запуска переходов повторяемая, если

Стационарная повторяемость: последовательность запуска переходов стационарно повторяемая, если она повторяема и приводит сеть в исходную

маркировку: .

Устойчивость: сеть устойчива, если для двух любых разрешенных переходов запуск одного из них не приводит к запрету срабатывания другого:

Состояние приема: маркировку называют состоянием приема (базовым состоянием), если оно достижимо из любой достижимой в сети маркировки.

Укажем свойства сети N1 , изображенной на рис. 2.1:

маркировки (0,1,1,0) и (0,0,1,0) достижимые в сетке, а маркировка (0,1,1,1) недостижима;

сеть потенциально живая, так как каждый из переходов может быть запущен, по крайней мере, один раз; укажем соответствующие разрешенные последовательности запуска переходов: t1, t2 , t3, t1t4 ;

сеть не является живой, так как в ней достижима тупиковая маркировка (0,0,1,0);

сеть ограничена; укажем соответствующие минимальные ограничения - (1,1,2,1), из которых вытекает, что сеть не безопасная;

сеть не является консервативной, поскольку система w целых неотрицательных числах;

последовательность t2t4t5t6 является стационарно повторяемой;

сеть не является устойчивой; действительно, запуск перехода t1 в начальной маркировке делает невозможным срабатывание перехода t2 , разрешенного в этой маркировке; сеть необратимая, например, потому что начальная маркировка недостижима из

маркировки сети (0,0,1,0); поэтому сеть также не имеет состояния приема.

Следует отметить, что проблемы эквивалентности и включения алгоритмически неразрешимы для базовых сетей Петри. Доказана эквивалентность

22

проблем достижимости и живости, а также их экспоненциальная сложность по памяти.

В следующих подразделах представлены основные методы анализа свойств сетей Петри.

2.3 Структурный анализ сетей Петри

Уравнение состояний сети Петри, хотя и является полным формальным представлением динамики сети, содержит неравенства и является рекуррентным. Представим маркировку в произвольном такте k, полученную в результате

0 C

– фундаментальным уравнением сети Петри.

При построении фундаментального уравнения происходит потеря информации. Однако фундаментальное уравнение линейно, что является удобным для нахождения его решений. Разрешимость фундаментального уравнения в целых неотрицательных числах является необходимым условием достижимости маркировки: если маркировка достижима в сети, то фундаментальное уравнение

0

Инвариантом позиций сети, или p-инвариантом, будем называть неотрицательное целое решение x уравнения

xC 0 .

23

Инвариантом переходов сети, или t-инвариантом, будем называть неотрицательное целое решение y уравнения

Cy 0 .

Если существует соответствующий инвариант, все компоненты которого натуральные, то сеть называют p- или t- инвариантной.

Домножим фундаментальное уравнение сети слева на инвариант позиций x x 0 x C

и, вследствие определения инварианта, получим

Итак, взвешенная сумма маркеров p-инвариантной сети постоянна. Это свойство выполняется для любой начальной маркировки и, следовательно, является структурным.

Достаточно просто доказать, что p-инвариантная сеть ограничена; для этого

Основное свойство t-инварианта легко заметить, используя инвариант как вектор счета срабатываний:

0 .

24

Итак, t-инвариант представляет стационарно повторяемые последовательности срабатываний переходов.

t2

Рисунок 2.7 – сеть Петри N2

сумма маркеров равняется 9.

Редукция – это частный случай эквивалентных преобразований, которые уменьшают размер сети. Как критерий эквивалентности выступает набор свойств сети, т.е. две сети считаем эквивалентными, если они имеют одинаковый набор свойств. Как правило, рассматривают немаркированные сети, т.е. исследуются их

сохраняет живость, ограниченность и консервативность. Эти свойства важны для моделей многих реальных систем: транспортных систем, протоколов обмена

25

информацией, параллельных программ. Введем множество преобразований сетей

R2 – исключение избыточной позиции.

Позиция p P структурно избыточна в сети, если при всех достижимых маркировках недостаток маркеров в позиции p не может стать причиной того, что переход t pбудет невозбужден.

26

R3 – исключение избыточного перехода.

Переход t T структурно избыточный, если любя маркировка, которая его возбуждает, возбуждает также и некоторую последовательность срабатывания переходов, которая не содержит t, но приводит к тому же самому результату.

Введенные преобразования можно использовать как набор графических шаблонов или как универсальные правила, применяемые к различным фрагментам сети. Следует также указать, что графическим превращением соответствуют алгебраические преобразования уравнения состояний.

Исследуем свойства сети, изображенной на рис. 2.8, с помощью редукции:

2

Рисунок 2.8 - Схема параллельной программы

С помощью цепочки преобразований R1 ( p3 )R1 ( p2 )R3 (t2 )R1 ( p4 )R2 ( p5 )R1 ( p6 ) сеть приводится к виду

27

t1

p1

Полученная сеть живая, ограниченная, безопасная, т.е. все эти свойства присущи и исходной сети.

2.4 Граф покрывающих маркировок

Как было указано раньше, граф достижимых маркировок сети Петри в общем случае бесконечный. Поэтому для исследования поведенческих свойств сети необходимы специальные методы. Доказано, что изучаемое в текущем разделе

натурального числа и не изменяется при добавлении к нему произвольного

Если обработанную вершину, не отмечать как дублирующую, а направлять дугу в ранее построенную вершину, то получим граф покрывающих маркировок; возможно также построение вспомогательных (обратных) дуг при вставке в маркировку символа .

Рассмотрим сеть N3 , изображенную на рис. 2.9:

2

p1 2

p3

4

Рисунок 2.9 – Сеть Петри N3

Построим дерево покрывающих маркировок для сети N3 . При изображении дерева (рис. 2.10) выделим графически дублирующие и терминальные вершины.

(1,2,0)

Рисунок 2.10 – Дерево покрывающих маркировок сети N3

29