Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусско-Российский университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Самостоятельная работа / Метод указания к ОЛР_ММИПиУ_2014 (АСОИ)_практика.doc

Скачиваний:

213

Добавлен:

29.02.2016

Размер:

20.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 246 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

1.3. Другие связки

Новые высказывания могут быть образованы при помощи нескольких логических операций и составлять формулы, некоторые из которых рассматриваются как логические операции, осуществляемые при помощи других логических связок:

Название	Прочтение	Обозначение
Штрих Шеффера	Антиконъюнкция	\|
Стрелка Пирса	Антидизъюнкция
Сумма по модулю два	Антиэквивалентность

Штрих Шеффера, X | Y или антиконъюнкция, по определению

Таблица истинности штриха Шеффера.

X	Y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Стрелка Пирса, или антидизъюнкция, по определению

Таблица истинности стрелки Пирса.

X	Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Сумма по модулю два, или интиэквивалентность, по определению

Таблица истинности суммы по модулю два.

X	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Заметим, что таблицы истинности логических операций содержат 2ⁿ строк, где n – число простых высказываний.

1.4. Основные законы, определяющие свойства введенных логических операций

1) Идемпотентность дизъюнкции и конъюнкции:

2) Коммутативность дизъюнкции и конъюнкции:

3) Ассоциативность дизъюнкции и конъюнкции:

4) Дистрибутивность операций дизъюнкции и конъюнкции относительно друг друга:

5) Двойное отрицание:

6) Закон де Моргана:

7) Склеивание:

8) Поглощение:

9) Действие с логическими константами 0 и 1:

10)Закон исключения третьего:

11) Тождество:

12) Отрицание противоречия:

13) Контрапозиция:

14) Цепное заключение:

15) Противоположность:

16) Модус поненс (modus ponens):

Сформулированные законы легко проверить с помощью таблицы истинности.

Заметим, что при исследовании различных высказываний на эквивалентность (равносильность) логическую связку можно заменить обычным знаком равенства =.

Примеры для выполнения задания

Пример 1. Составьте таблицу истинности формулы:

Решение. Расставим скобки:

X	Y	Z
0	0	0	1	1	1	0	1	1	1	1

Пример 2. Докажите эквивалентность

Решение. Пусть φ₁=. Составим таблицу истинности:

X	Y	Z
0	0	0	0	0	0	0

Пусть φ₂=

X	Y	Z
0	0	0	0	0	0

Пример 3. Доказать равносильность, используя основные законы логических операций:

Решение.

1. Используя законы де Моргана получим:

2. Используя закон двойного отрицания , получаем:

3. Применяя дистрибутивный закон , получаем

4. Ассоциативность дизъюнкции: позволяет упростить последнее выражение:

Учитывая законы, включающие тождественно ложные высказывания, окончательно получаем:

Пример 4. Является ли формула тавтологией?

Решение. 1 способ – построение таблицы истинности.

A	B
F	F	T	F	T
F	T	T	T	T
T	F	F	T	F
T	T	T	T	T

Формула не является тавтологией, так как существует интерпретация , на которой она принимает ложное значение.

2 способ. Исследование формулы методом редукции.

Предположим, что существует набор, на котором формула принимает значение, равное F:

Тогда . Подставим найденное значение в первое равенство: Решим это уравнение относительно А: если , то . Следовательно, при формула принимает значение, равное F. Таким образом, она не является тавтологией.

Пример 5. Является ли формула тавтологией?

Решение. Исследование формулы методом редукции.

Предположим, что существует такая интерпретация, на которой формула принимает ложное значение. Тогда

Тогда:

Отсюда , что противоречит третьему равенству . Полученное противоречие показывает, что формула не может принимать ложных значений. Следовательно, формула является тавтологией.

Задания для самостоятельного решения

Задачи 1 – 15. Проверить эквивалентность формул А и В, используя основные аксиомы и теоремы булевой алгебры:

Задача 16. Докажите тождественную истинность формулы

Задача 17. Для каждого из следующих высказываний: 1) найдите символическую формулу; 2) постройте таблицу истинности. Воспользуйтесь буквенными обозначениями: Х для «Джо умен»; Y для «Джим глуп»; Z для «Джо получит приз».

a)Если Джо умен, а Джим глуп, то Джо получит приз.

b)Джо получит приз в том и только в том случае, если он умен или если Джим глуп.

c)Если Джим глуп, а Джо не удастся получить приз, то Джо не умен.

Задача 18. Таблица истинности высказывания, составленного из двух простых высказываний, состоит из четырех строк; а таблица истинности высказывания, составленного из трех простых высказываний, – из восьми строк. Сколько строк должна иметь таблица истинности высказывания, составленного из четырех простых высказываний? Сколько – из пяти? Сколько – из n? Укажите способ систематической записи таблиц истинности для произвольного n?

Указание. Для систематической записи таблиц истинности для произвольного п можно применить метод «последовательного половинного деления столбцов» – столбец первой переменной делят пополам и заполняют верхнюю половину нулями, а нижнюю половину – единицами, затем каждую половину второго столбца делят пополам и опять заполняют полученные половины нулями и единицами и т. д.

Задача 19. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными высказывания: и

Задача 20. Определить для каждого из следующих высказываний, будет ли оно логически истинным, противоречивым; ни тем, ни другим.

Задача 21. Покажите, что высказывание – логически истинно, а – нет.

Задача 22. Постройте таблицы истинности следующих составных высказываний:

а) Для каких пар имеет место отношение следствия или эквивалентности?

Задача 23. Постройте таблицы истинности следующих составных высказываний и расположите их в таком порядке, чтобы из каждого высказывания следовали все, стоящие после него:

Задача 24. Постройте составные высказывания, эквивалентные , используя только связки отрицания и конъюнкции.

Задача 25. Если X и Y логически истинны, а Z – логически ложно, то что можно сказать о высказывании ?

Задача 26. Докажите, что конъюнкция импликации и ее конверсия эквивалентны двойной импликации, т.е. .

Задача 27. Чему эквивалентна конъюнкция контрапозиции и ее конверсии?

Задача 28. Докажите, что отрицание высказывания: «X есть необходимое и достаточное условие для Y» эквивалентно высказыванию: «X есть необходимое и достаточное условие для Y».

Задача 29. Докажите, что контрапозиция эквивалентна первоначальной импликации.

Задача 30. Пусть X означает: «Я сдам этот экзамен»; a Y: «Я буду регулярно выполнять домашние задания». Запишите в символической форме следующие высказывания:

а) «Я сдам этот экзамен только в том случае, если буду регулярно выполнять домашние задания».

б) «Регулярное выполнение домашних заданий является необходимым условием для того, что я сдам этот экзамен».

в) «Сдача этого экзамена является достаточным условием того, что я регулярно выполнял домашние задания».

г) «Я сдам этот экзамен в том и только в том случае, если я буду регулярно выполнять домашние задания ».

д) «Регулярное выполнение домашних заданий есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы я сдал этот экзамен».

Выясните, какому из перечисленных высказываний соответствуют следующие символические формы:

Задача 31. Докажите равносильность с помощью формул алгебры высказываний.

Задача 32. Преобразуйте формулу к виду, не содержащему импликацию и эквивалентность.

Задача 33. Проверьте, будут ли эквивалентны следующие формулы:

Задача 34. Составьте таблицы истинности для высказываний:

и покажите, что любая таблица истинности может быть реализована посредством составного высказывания, в котором используется единственная связка: штрих Шеффера.

Задача 35. Постройте таблицы истинности для высказываний:

Какие другие составные высказывания имеют те же таблицы истинности? Покажите, что любая таблица истинности может быть реализована посредством составного высказывания, в котором используется единственная связка: стрелка Пирса.

Задача 36. Докажите эквивалентность формул: