Список использованных источников

1 Галушкина, Ю. И. Конспект лекций по дискретной математике / Ю. И. Галушкина, А. Н. Марьямов. – М. : Айрис-Пресс, 2007. – 176 с. : ил.

Задание 2 Кортежи и операции над ними.

Цель работы: Изучить отличия кортежей от множеств, методику исследования операций над кортежами.

1. Теоретические сведения

Пусть даны множества Х₁, Х₂, …, Х_n. Кортежем длины n, составленным из элементов этих множеств, называется конечная последовательность α = <x₁, x₂,…, x_n>, где для всех k, 1≤ k ≤ n, имеем x_k X_k.

Элемент x_k называется k-й координатой или k-й компонентой кортежа α.

Два кортежа равны в том и только в том случае, когда они имеют одинаковую длину, причем их координаты, стоящие на местах с одинаковыми номерами, равны, то есть кортежи α = <x₁, x₂,…, x_m> и β = <y₁, …, y_n> равны только в том случае, когда m=n, причем x_k=y_k для всех 1≤ k ≤n.

Кортежи длины два называют упорядоченными парами, длины три – упорядоченными тройками, ..., длины п – упорядоченными n-ками. Для краткости речи слово «упорядоченные» часто опускают.

Кортеж, не содержащий ни одной координаты, т. е. кортеж длины 0, называется пустым.

Основные отличия понятий кортежа и множества следующие:

а) в множестве порядок элементов не играет роли, а кортежи, отличающиеся порядком элементов, различны, даже в случае, когда они имеют одинаковый состав;

б) в множестве все элементы различны, а в кортеже координаты могут повторяться.

В дальнейшем, чтобы различать множества и кортежи, будем элементы множества заключать в фигурные скобки, а координаты кортежа – в угловые.

Пусть А₁, А₂, …, А_n – некоторые множества. Их декартовым произведением называют множество, состоящее из кортежей вида <a₁, a₂,…, a_n>, где a_{1 1}; a₂ A₂; …; a_n A_n. Декартово произведение обозначается так:

.

Произведение

Сокращенно обозначается как Аⁿ и называется декартовой n-й степенью множества А.

2. Примеры для выполнения задания

Задача 1. Из множеств {a, b, c} и {1, 2} составить кортежи.

Решение. Из данных множеств можно составить 6 кортежей длины 2. <a, 1>; <a, 2>; <b, 1>; <b, 2>; <c, 1>; <c, 2>.

Задача 2. Сравните кортежи:

Задача 3. Сравните кортежи:

Задача 4. Сравните кортежи:

Задача 5. Сравните кортежи:

<|−3|, |−5|, 8> и <3, 5, |−8|>;

Задача 6. Пусть А={1, 2}. Выписать все элементы декартова произведения .

Задача 7. Найдите правую и левую область отношения R={<1, 5>;<1, 6>;<1, 7>}.

Решение. D_пр={5, 6, 7}; D_лев={1}.

3. Индивидуальные задания для самостоятельной работы

Задача 1. Сравните кортежи <|−3|, |−5|, −8> и <3, 5, |−8|>.

Задача 2. Сравните кортежи <cos(π), cos(π/2), cos(0)>, <1, −1, 0>.

Задача 3. Сравните кортежи <2, 2, 5> и <2, 2, 5, 5>.

Задача 4. Сравните кортежи <cos(π), cos(π/2), cos(0)>, <−1, 0, 1>

Задача 5. Сравните кортежи <4, |−3|, 5> и <3, 4, 5>;

Задача 6. Задать бинарное отношение на множестве натуральных чисел N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

R = "быть не больше ".

Задача 7. Задать бинарное отношение на множестве натуральных чисел N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

R = "быть делителем".

Задача 8. Задать бинарное отношение на множестве натуральных чисел N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

R = "быть равным".

Задача 9. Задать бинарное отношение на системе множеств 2^М, М = {1, 2, 3}

R = "пересекаться с" (иметь непустое пересечение).

Задача 10. Равны ли следующие кортежи:

<a, {a, b, c}, b, c> и <a, {a, b, c}, {b, c}>?

Задача 11. Равны ли следующие кортежи:

<a, {a, b, c}, b, c> и < a, {a, b, c}, b, c >?

Задача 12. Равны ли следующие кортежи:

<a, {a, b, c}, b, c> и < a, {a, b, c}, c, b>?

Задача 13. Равны ли следующие кортежи:

<a, {a, b, c}, b, c> и < a, {a, b, c}, a, b, c> ?

Задача 14. Пусть A={1, 2, 3}, B={x, y}.

Выписать все элементы декартова произведения .

Задача 15. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составьте все двузначные числа. Как связано получившееся множество с декартовым произведением , где А={1, 2, 3, 4, 5}?

Задача 16. Рассмотрим два множества A={a, b, c, d, e, f, g, h} и B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Составьте множество пар . Что это множество представляет?

Задача 17. Если А={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, запишите бинарное отношение

, x делит y, и x≤3}.

Задача 18. Если А = {2, 3, 5, 7, 9, 11, 12}, В= {−5, −4, −3, −2, −1, 3, 4, 8} запишите бинарное отношение

R = {<x,y>: xA, yB, х делится на 3, |y|4}.

Задача 19. Если А = {2, 3, 5, 7, 9, 11, 12}, В= {−5, −4, −3, −2, −1, 3, 4, 8} запишите бинарное отношение

R = {<x,y>: xA, yB, х делится на 3, |y|x}.

Задача 20. Если А = {2, 3, 5, 7, 9, 11, 12}, В= {−5, −4, −3, −2, −1, 3, 4, 8} запишите бинарное отношение

R = {<x,y>: xA, yB, х делится на 2, |y|x}.

Задача 21. Если А = {2, 3, 5, 7, 9, 11, 12}, В= {−5, −4, −3, −2, −1, 3, 4, 8} запишите бинарное отношение

R = {<x,y>: xA, yB, х делится на 3, |y| делится на 2}.

Задача 22. Записать бинарное отношение на множестве людей (рис. 1)

R = "быть сыном".

Рисунок 1.

Задача 23. Записать бинарное отношение на множестве людей (рис. 1)

R = "быть братом".

Задача 24. Записать бинарное отношение на множестве элементов структуры (рис. 1)

R = "быть непосредственно связанным с".

Задача 25. Записать бинарное отношение на множестве элементов структуры (рис. 1)

R = "быть начальником".