1.8 Операции над графами

2. Примеры способов задания графов

Задача 1. Изобразите графически:

1. Неориентированное и ориентированное ребра;

2. Неориентированный граф G(V,E), заданный множеством V={v₀, v₁, v₂, v₃, v₄, v₅} и соответствием: Е(v₀)={v₁, v₂}={v₀, v₂, v₄}; Е(v₁)={v₀, v₂, v₄}; Е(v₂)={v₀, v₁, v₅}; Е(v₃)={v₄}; Е(v₅)={v₂};

3. Плоский граф;

4. Полный неориентированный граф на трех, четырех и пяти вершинах;

5. Неполный ориентированный граф на пяти вершинах;

6. Петлю графа;

7. Неориентированный и ориентированный мультиграф.

Решение.

Неориентированное Ориентированное

ребро ребро

Плоский граф

Мультиграф Ориентированный

мультиграф

Задача 2. Докажите, что в полном графе с n вершинами ребер.

Решение. Каждой вершине в полном графе с n вершинами принадлежит n-1 ребро, но в произведении n(n-1) каждое ребро учтено дважды (так как одно ребро инцидентно двум вершинам). Следовательно, число ребер в полном графе с n вершинами равно .

Задача 3. Девять шахматистов проводят турнир в один круг (каждый из участников должен сыграть с остальными по одному разу). Покажите, что в любой момент найдутся два шахматиста, сыгравшие одинаковое число партий.

Решение. Переведем условие задачи на язык графов. Каждому шахматисту поставим в соответствие вершину графа, соединим ребрами попарно вершины, соответствующие шахматистам, уже сыгравшим между собой партию. Получим граф с девятью вершинами. Степени его вершин равняются числу партий, сыгранных соответствующими игроками. Покажем, что во всяком графе с девятью вершинами всегда найдутся хотя бы две вершины одинаковой степени.

Каждая вершина графа с девятью вершинами может иметь степень 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Предположим, что существует граф G, все вершины которого имеют разную степень, т.е. каждое из чисел последовательности 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 является степенью одной и только одной из его вершин. Но этого не может быть, так как если в графе есть вершина v_i степени 0, то в нем найдется вершина v_j со степенью 8. Эта вершина v_j должна быть соединена ребрами со всеми остальными вершинами графа, в том числе и с v_i, поэтому степень вершины v_i не может равняться 0. Таким образом, в графе с девятью вершинами не могут быть одновременно вершины степень 0 и 8. Следовательно, найдутся хотя бы две вершины, степени которых равны между собой. Таким образом, доказано, что в любой момент найдутся хотя бы два шахматиста, сыгравшие одинаковое число партий.

Задача 4. (Для самостоятельного решения.)

Девять человек проводят шахматный турнир в один круг. К некоторому моменту выясняется, что двое сыграли одинаковое число партий. Докажите, что тогда либо один участник еще не сыграл ни одной партии, либо один сыграл все партии.

Задача 5. Может ли так случиться, что в одной компании из шести человек каждый знаком с двумя и только с двумя другими?

Решение. Участников этой компании изобразим вершиной графа (рис. 5.1), а отношение знакомства между двумя участниками – ребром. Изобразим графы, которые могут соответствовать такой компании.

Рис. 5.1

Про граф G₁ говорят, что он связный, так как из каждой вершины по ребрам можно попасть в любую другую. Делаем вывод, что в этом случае каждый через своих знакомых может познакомиться со всеми остальными.

Про граф G₂ говорят, что он несвязный, так как состоит из двух простых циклов. Делаем вывод, что граф соответствует двум компаниям, участники одной из них могут быть не знакомы с участниками другой.

Задача 6. Из пункта А в пункт В выехали пять машин одной марки разного цвета: белая, черная, красная, синяя, зеленая. Черная едет впереди синей, зеленая – впереди белой, но позади синей, красная впереди черной. Какая машина едет первой и какая последней?

Решение. Решаем задачу, построив ориентированный граф для отношения f: «х едет сзади у». На плоскости отметим пять точек, соответствующих каждой машине, и обозначим их первой буквой цвета машины (рис. 5.2)

Рис. 5.2

Анализируя граф, получаем следующий порядок движения: красная, черная, синяя, зеленая, белая.

Задача 7. Пусть даны графы G₁(X,E) и G₂(Y,E), изображенные на рис. 5.3.

Установите, изоморфны ли данные графы.

Решение. Для доказательства того, что граф G₁ изоморфен графу G₂ необходимо и достаточно выполнение условия: найти такую подстановку, которая граф G₁ переводит в граф G₂.

Запишем элементы xX и yY с соответствующими им парами чисел, где первое число – число исходов из вершины, а второе – число заходов в

Рис. 5.3

вершину. Далее определим частичную подстановку, соединяя вершины x_i и y_i с одинаковыми числами (рис. 5.4).

Рис.5.4

В результате получим подстановку

.

Следовательно, графы G₁ и G₂ изоморфны.

Задача 8. Для неориентированного графа, изображенного на рис. 5.5, постройте матрицу смежности и матрицу инцидентности.

Рис.5.5

Решение. Матрица смежности

Матрица инцидентности

Задача 9. Задан граф G(V,E), где V={v₁, v₂, v₃, v₄, v₅}; ={v₁, v₃, v₅}; =; ={v₁, v₂, v₅}; ={v₁}; ={v₁, v₂, v₃, v₄, v₅}.

1. Задайте граф с помощью бинарного отношения, т.е. совокупности множества V и подмножества множества упорядоченных пар <v_i, v_j>  VV.

2. Изобразите орграф на рисунке.

3. Постройте матрицу смежности.

Решение.

1. V={v₁, v₂, v₃, v₄, v₅}.

Множество пар: {<v₁, v₁>; <v₁, v₃>; <v₁, v₅>; <v₃, v₁>; <v₃, v₂>; <v₃, v₅>; <v₄, v₁>; <v₅, v₂>; <v₅, v₃>; <v₅, v₄>; <v₅, v₅>}.

2. См. рис. 5.6

Рис. 5.6

3. 

Задача 10. Дано множество V={1,2,3,4,5}. На этом множестве задано отношение f: x>y. Постройте орграф данного отношения.

Решение. Для того чтобы построить орграф данного отношения f: x>y, изобразим все элементы множества V точками на плоскости и проведем стрелку от каждого большего числа к меньшему (рис. 5.7).

Рис. 5.7

Задача 11. Дана матрица

Постройте орграф, для которого данная матрица является матрицей смежности. Найдите матрицу инцидентности орграфа.

Решение. Для построения орграфа его вершине однозначно сопоставим точку на плоскости. Данная матрица смежности имеет четыре строки и четыре столбца, следовательно, в орграфе четыре вершины: 1, 2, 3, 4.

Проанализируем элементы матрицы:

а₁₁=0 – при вершине 1 нет петель;

а₁₂=2 – из вершины 1 выходят две стрелки к вершине 2;

а₁₃=0 – из 1 не выходит ни одной стрелки к вершине 3;

а₁₄=0 – из 1 не выходит ни одной стрелки к вершине 4;

а₂₁=0 – из 2 не выходит ни одной стрелки к вершине 1;

а₂₂=0 – при 1 нет петель;

а₂₃=1 – из 2 выходит одна стрелка к вершине 3;

а₂₄=0 – из 2 не выходит ни одной стрелки к вершине 4;

а₃₁=1 – из 3 выходит одна стрелка к вершине 1;

а₃₂=0 – из 3 не выходит ни одной стрелки к вершине 2;

а₃₃=0 – при 3 нет петель;

а₃₄=1 – из 3 выходит одна стрелка к вершине 4;

а₄₁=3 – из 4 выходит 3 стрелки к вершине 1;

а₄₂=1 – из 4 выходит одна стрелка к вершине 2;

а₄₃=0 – из 4 не выходит ни одной стрелки к вершине 3;

а₄₄=0 – при 4 нет петель.

Строим орграф (рис. 5.8).

Рис.5.8

Для построенного графа запишем матрицу инцидентности:

Здесь четыре строки по числу вершин и 9 столбцов по числу дуг.

Задача 12. Пусть заданы два графа G₁(V₁, E₁), G₂(V₂, E₂) (рис.5.9).

Рис. 5.9

Изобразите геометрически объединение графов G₁  G₂; пересечение графов G₁  G₂ и сумму по модулю два G₁  G₂.

Решение. Объединение графов G₁ и G₂: G₁  G₂ (рис. 5.10).

Пересечение графов G₁ и G₂: G₁  G₂ (рис. 5.11).

Сумма по модулю два графов G₁ и G₂: G₁  G₂ (рис. 5.12).

Рис.5.10 Рис.5.11

Рис.5.12

Задача 13. Найдите эйлеров цикл в эйлеровом графе (рис. 5.13).

Рис.5.13

Решение. После выбора вершины a и прохождении ребер 1 и 2 имеются три возможности выбора: ребра 3, 6 или 7. Выбираем ребро 3 или 6. Например, ребро 3. Далее обходим оставшиеся ребра и получаем эйлеров цикл 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Задача 14. Найдите цикл, содержащий все вершины додекаэдра, причем в точности по одному разу каждую.

Решение. Этот цикл: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 18, 14, 15, 16, 17, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 20. Этот цикл называется гамильтоновым циклом (рис. 5.14).

Рис. 5.14

Задача 15. (Для самостоятельного решения.)

Покажите, что в изображенном графе нет гамильтонова пути, но в графе, полученном из него удалением одной из вершин, имеется гамильтонов цикл (рис. 5.15).

Рис. 5.15

Задача 16. (Для самостоятельного решения.)

Даны графы G₁ и G₂ (рис. 5.16). Постройте матрицы смежности.

Рис. 5.16

Задача 17. Для графа заданного матрицей смежности

1. найти матрицу инцидентности

2. построить граф

3. задать граф бинарным отношением

4. определить является ли граф эйлеровым

5. можно ли получить эйлеров цикл удалив некоторые ребра

6. сделайте предположение, является ли граф гамильтоновым.

Примечание: т.к. граф является неориентированным, то в матрице должны быть 1, симметричные относительно главной диагонали, поэтому в некоторых вариантах необходимо проставить 1, симметричные уже заданным.

17.1.							17.2.							17.3.
	1	2	3	4	5	6		1	2	3	4	5	6		1	2	3	4	5	6
1		1	1	1		1	1		1		1		1	1		1	1			1
2	1		1			1	2			1		1		2			1	1	1
3	1	1		1	1	1	3				1		1	3					1	1
4	1		1			1	4					1		4					1
5			1			1	5						1	5						1
6	1	1	1	1	1		6							6
17.4.							17.5.							17.6.
	1	2	3	4	5	6		1	2	3	4	5	6		1	2	3	4	5	6
1		1	1			1	1		1		1	1		1		1	1		1
2			1		1		2			1		1		2	1		1	1	1
3				1		1	3				1	1	1	3	1	1			1	1
4					1		4					1	1	4		1			1	1
5						1	5						1	5	1	1	1	1		1
6							6							6			1	1	1
17.7.							17.8.							17.9.
	1	2	3	4	5	6		1	2	3	4	5	6		1	2	3	4	5	6
1		1		1		1	1		1	1	1	1		1		1		1	1
2			1	1	1	1	2					1		2	1		1		1	1
3				1	1	1	3				1	1	1	3		1		1
4						1	4					1	1	4	1		1			1
5						1	5						1	5	1	1				1
6							6							6		1		1	1
17.10							17.11							17.12
	1	2	3	4	5	6		1	2	3	4	5	6		1	2	3	4	5	6
1		1		1	1		1		1		1	1	1	1		1	1	1		1
2			1			1	2			1	1			2	1		1
3				1	1		3				1	1		3	1	1		1	1	1
4						1	4					1	1	4	1		1		1	1
5						1	5							5			1	1		1
6							6							6	1		1	1	1
17.13							17.14							17.15
	1	2	3	4	5	6		1	2	3	4	5	6		1	2	3	4	5	6
1		1	1		1	1	1		1	1	1			1		1		1	1	1
2			1	1		1	2			1	1		1	2	1		1	1	1
3				1	1		3				1	1	1	3		1		1	1	1
4						1	4					1	1	4	1	1	1		1
5						1	5						1	5	1	1	1	1
6							6							6	1		1

3. Задания для выполнения самостоятельной работы

Задачи 1 – 25. Даны графыи. Найдите,,,(),(),,+. Для графанайдите матрицы смежности, инцидентности, сильных компонент, маршрутов длины 2 и все маршруты длины 2, исходящие из вершины 1.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

4. Самостоятельные вопросы

11. Что называется графом? Ориентированным графом? Приведите примеры.

12. Что такое степень вершины?

13. Перечислите основные понятия, связанные с неориентированными графами.

14. Перечислите основные понятия, связанные с орграфами.

15. Перечислите способы задания графов.

16. В чем состоит аналитический способ задания графа?

17. В чем состоит геометрический способ задания графа?

18. В чем состоит матричный способ задания графа?

19. Какая матрица называется матрицей смежности графа?

20. Какая матрица называется матрицей инцидентности графа?

21. Что называется маршрутом, циклом и цепью графа?

22. Сформулируйте понятие связности графа. Какой граф называют связным?

23. Какие два графа называются изоморфными?

24. Сформулируйте алгоритм изоморфизма двух графов.

25. Перечислите операции над графами.

26. Дайте определение эйлерова графа.

27. Сформулируйте алгоритм построения эйлерова цикла.

28. Какой граф называют гамильтоновым?