Список использованных источников

1 Поздняков, С. Н. Дискретная математика : учебник для вузов / С. Н. Поздняков, С. В. Рыбин. – М. : Академия, 2008. – 448с.

2 Шевелев, Ю. П. Дискретная математика : учеб. пособие для вузов / Ю. П. Шевелев. - СПб. : Лань, 2008. - 592с.

Задание 8 Логика предикатов.

Цель работы: Изучить предикаты и их применение в алгебре, булеву алгебру предикатов.

1. Теоретические сведения

1.1 Предикаты

Логика предикатов – новая логическая система, представляющая развитие логики высказываний. Исторически понятие о предикатах явилось следствием логического анализа высказываний, т. е. выяснения их логической структуры. Выяснения того, какой логикой может быть выражен смысл этих высказываний.

Рассмотрим пример: «х просто число». Это выражение не является высказыванием, но если в нем переменную х заменить на определенное число, то получим высказывание. Причем при замене х на число 3 получим истинное высказывание, тогда как при замене х на 8 получим ложное высказывание.

Таким образом, выражение: «х просто число» можно рассматривать как функцию P(x), зависящую от переменной х. Область определения P(x) – множество чисел, а область значения – высказывание.

Определение: Предикат – функция, значениями которой являются высказывания о n объектах, представляющих значения аргументов.

Чтобы задать n-местный предикат P(x₁,x₂,…,x_n), следует указать множества X₁,X₂,…,X_n – области изменения переменных x₁,x₂,…,x_n, причем чаще всего рассматривается случай, когда X₁=X₂=…=X_n.

С теоретико-множественной точки зрения предикат определяется заданием подмножества М в декартовом произведении X₁X₂…X_n.

Переменные x₁,x₂,…,x_n называются предметными переменными. Элементы множеств X₁,X₂,…,X_n называют предметами. Множество М – множество кортежей длины n < x₁,x₂,…,x_n > называется полем предиката P (x₁,x₂,…,x_n).

Будем обозначать предметные переменные малыми буквами конца латинского алфавита (иногда будем снабжать эти буквы индексами) x, y, z, …, x,₁x₂, …, x_n.

Предметы из множеств X₁,X₂,…,X_n – малыми буквами начала латинского алфавита a, b, c, …, a₁, a₂, a₃….

Предикаты – большими буквами латинского алфавита с приписанными предметными переменными или без них A(x,x), B, F(x,y), P(x₁, …,x_n).

Числа переменных будем указывать как верхний индекс у предиката: P^k(x₁, x₂, …, x_k) – k местный предикат, Q²(x,y) – двуместный предикат, P(x) – одноместный предикат.

Итак, k-местный предикат – P^k(x₁, x₂, …, x_k) есть функция, предметные переменные которой принимают значения: истина (1) или ложь (0), т.е.

P^k(x₁, x₂, …, x_k) : M_k  {1, 0}.

Например, если Х – множество действительных чисел, то x²>1 – одноместный предикат.

Если X, Y – множества действительных чисел, то xy=5 – двуместный предикат.

Предикат называется разрешимым, если существуют такие кортежи, компоненты которых обращают предикат в истинное высказывание.

Если предикат при подстановке любых конкретных элементов из соответствующих множеств обращается в истинное высказывание, он называется тождественно истинным.

Если предикат при подстановке любых конкретных элементов из соответствующих множеств обращается в ложное высказывание, он называется тождественно ложным.

К предикатам, определенным на одном и том же множестве, можно применять операции алгебры высказываний: конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, эквивалентность, отрицание и получать новые предикаты.

Например, если к предикатам «x=y» и «x<y» - обозначим их соответственно P(x,y) и Q(x,y) – применить операцию конъюнкции, то получим новый предикат P(x,y)  Q(x,y).