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Белорусско-Российский университет

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[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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Дифференциальные уравнения.pdf

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3 Индивидуальные задания

Задание 1 Найти решения дифференциальных уравнений первого порядка.

а) 1 y2 dx xydy 0 ,

а)

1 y2 dx 1 x2 dy 0 ,

б) x2 y y 0 ,

б) y y2 1,

в)

xy y ln

в)

sin

г)

y 2 y e x ,

г)

xy y x2 cos x ,

1 0 .

y 0 0 .

д)

y cos x 2 sin 2x ,

а)

xdy ydx y2dx ,

а) sin x sin ydx cos x cos ydy 0 ,

б)

3x2

б) 1 ex yy ex ,

x3 y y

в)

x ,

в) x y dx x y dy 0 ,

г) xy y ln x ,

г) y

x y

д) xy 2 y 3x ,

y 0 0 .

д) y

2x 5

y 5,

2 4 .

а) 4xdx 3ydy 3x2 ydy 2xy2dx ,

а)

4 y2 dx ydy x2 ydy ,

б) x2 xy y ,

б) y 35x 2 y ,

в)

y sin2

x y ln y ,

в) x y ydx x2dy 0 ,

г) y x dx x y dy 0 ,

г) y 2xy xe x2 ,

д)

2xy

1 x

y 1 3.

д) y

y 1 1.

1 x2

а)

2xy2dx 0 ,

а)

y2 1

dx y

x2 1 dy

0 ,

1 y

б) yy

2 y x ,

б)

y 1

в) y

x ,

в)

x2 xy y2

г)

1 y

1 x

0 ,

x2 2xy

г) 1 x

2xy

1 x

д)

y y ctg x 2x sin x , y

0 .

д) y2 3x2 dy 2xydx 0 , y 0 1.

9а) x xy yy 1 x 0 ,

б) y x 2 1 y x 1 3 ,

в)

x y

г) 3x2 6xy2 dx 6x2 y 4 y3 dy 0 ,

y 0

д)

3 .

2 1 x2

10 а) 3 x2 y y dy 2 y2 dx 0 ,

б) y 1 ln y xy ,

в)

2 ,

г)

xy 1 x

y x

д)

1 2x

y 1,

y 1 1.

11а) 6xdx 6 ydy 2x2 ydy 3xy2dx ,

б) xy y y3 ,

в) x y dx xdy 0 , г) y 2xy e x2 ,

д)

sin x ,

12 а) x sin xdx cos2

ydy 0 ,

б)

e x ,

в) 1 x2 y xy2 x 0 ,

г)

y y ex sin x ,

д)

sin

y 1

2 .

13а) 2xdx ydy x2 ydy xy2dx ,

б) xy y 3 0 ,

в) x2 y2 y 2xy ,

г) 1 x2 y 2xy 1 x2 2 ,

д) y 2 y ln x ,

y e 1.

14 а)

0 ,

1 x2

б) 4 x2 y xy2 x 0 ,

в)

г)

y y cos x cos x ,

д)

2xy 2x

y 1 e .

15а) ex 8 dy yexdx 0 ,

б) y tg x y 1,

в) xy y 1 ln					y	0 ,
в) xy y 1 ln					x	0 ,
					x
г)	y		1 2x	y 1,
г)	y		x2	y 1,
д)	y ctg xdx dy ,					y 2 1.
16 а) x 1 y 2				1,
			3
б) x2 2xyy 1,
в) y 2xy 2x ,
г) 4x 3y y 2 y 3x 0 ,
д) xy 3y x2 ,						y 1 2 .
17 а) 5 y2 dx 4 x2 y y dy 0 ,
б) 1 ex y ex y ,
в) xy 2 y x 1,
г) xy			y arctg		y	x x ,

							2 1.
д)		sin x y cos x				0, y
д)	y	sin x y cos x				0, y
18 а) x 3 y2 dx y 2 x2 dy 0 ,
б) x xy yy 1 x 0 ,
в) y y e x ,
г)	x2 y2 dx xydy 0 ,
д) y y x 3x ,						y 1 1.

а)

1 x2 dy 2 y 1 xdx 0,

б) y y 1 ctg x ,

в)

xy y ln y x ,

г)

1 2x

y 1,

д)

sin

y 1 2 .

а)

xy 1 x

б)

xdx

ydy

0 ,

1 y

1 x

в) y

1 ln x ln y ,

г)

2x 1

д) y

x2 y2

dx xdy 0 , y 1 0 .

а)

dx xdy ,

б)

y sin x y ln y ,

в)

г)

y y cos x sin x cos x ,

д) y

y 1 1.

xy xy

а)

1 x

б) x 1 y 2 1,

в)

y sin x y 1 cos x ,

г) x y ydx x2dy 0 ,

д) ey y 1 1, y 0 0 .

а) y tg x y a ,

б)

1 2x

в)

xy x

dy ydx 0 ,

г) x x 1 y y x 1 2 ,

д)

y ctg x y 2 ,

y 0 2 .

24 а) 2x 2xy2 dx 2 x2 dy 0 ,

1 x2

б) yy 1 y2 1,

в) xy xe

y 0 ,

г) xy y x 1 0,

д) y

1 4 .

25 а) e2 x 5 dy ye2 xdx 0 ,

б)

xdx

ydy

0 ,

1 y

1 x

в)

x ,

г)

y cos x y sin x 1,

д) y

ln x

y 1 1.

26а) 2 ydx dy ,

б) y x2 y x2 ,

в) x3 y y x2 y2 , г) xy 3y x2 ,

д)	y	x		y	,	y 1 0 .
		y		x

27 а) dy xy xy3 dx 0 ,

б) y 2 x y 2 y ,

в)	2xy 6 y x2 0 ,
г)	xdy ydx	x2 y2 dx ,
д) y 2 y x2 ,		y 0 0,25 .
28 а) xy y y2 ,
б) y 1 x2 dy 1 y2 dx 0,
	3y
в)	y x x ,
г)	x 2 y dx 2x y dy 0 ,

д) y	y 1	,	y 1 0 .
	x

29 а)	y 2 y 1 ctg x 0 ,		30 а) 1 x2 y 2x xy2 ,
б) 2x2 ydy 1 x2 dx ,			б) ydy x xy2 dx 0 ,
в)	y cos x y sin x sin 2x ,		в) xdy ydx ydy ,
г)	x2 y2 y x	x2 y2 xy y2 ,	г) y ay eln x ,
д)	1 ex yy ex ,	y 0 1.	д) x2 3y2 dy xydx 0 ,
			y 0 1.

Задание 2 Найти общие решения уравнений высших порядков и там, где указано, выделить решение, удовлетворяющее начальным условиям:

1а) y 7cos5x 2x2 ,

б) 2xy 1 x2 y ,

в) y y tg2 x ,

г) y 6 y 9 y 10sin x ,

д) y 6 y 13y xex , y 0 1, y 0 2 .

2а) y 10e 2 x 3x , б) x 3 y y 0 , в) y y 1 ex 1 ,

г) y 6 y 9 y 8ex ,

д) y y 5sin 2x ,

y 0 2 , y 0 1.

3а) yIV cos3x 5x ,

б) 1 x2 y 2xy 0 ,

в) y 4 y 4 y e 2 x ln x ,

г)	y y 5sin x ,
д)	y 2 y 4 y x 2 e3x ,
	y 0 1,	y 0 0 .

4а) y e x 2x , б) 2 yy 1 y 2 ,

в) y y tg x ,

г)	y 2 y 2 y 6e2 x ,
д)	y 4 y 5sin 2x ,
	y 0 1, y 0 1.

5а) yIV 10sin 2x x ,

б) xy 2 y 0 ,

в) y 2 y 2 x2 1 x3 ,

г) y 2 y 2 y ex sin x ,

д) y 3y 3y y x 5 ex , y 0 y 0 y 0 1.

6а) y 3x2 5x 1, б) xy y x 1,

в) y 4 y sin12x ,

г) yIV 81y 2cos3x ,

д) y 3y y 3y 4 8x ex , y 0 y 0 y 0 2 .

7а) yIV 2sin 3x x ,

б) x4 y x3 y 4 ,

в) y y 6 y 20x 3 e2 x ,

					ex
г)	y	2 y	y x2 ,

д) y 6 y 9 y 2x2 ,
	y 0 5,			y 0 0 .

8а) y 5x2 6x 2 , б) xy y x2 ,

в) y 6 y 13y e 3x cos8x ,

			e2 x
г) y	4 y	5y cos x		,

д) y 2 y 5y xe2 x ,

y 0 y 0 5.

9а) xy 2 ,

б) xy y x2ex ,

в) y y cos1 x ,

г) y 7 y 12 y x , д) y 9 y 6e3x ,

y 0 y 0 5.

10а) y e2 x 3x ,

б) 1 x2 y xy 2 ,

в) y 6 y 5y 25x2 2 ,

г) y y cos1 x , д) y 9 y 5sin 3x ,

y 0 y 0 4 .

11а) y x sin x ,

б) 1 sin x y y cos x ,

в) y 4 y cos12x ,

г) y y y y 5ex ,

д) y 6 y 5y 25x2 2 , y 0 y 0 3.

12а) y x cos x , б) y tg5x 5y ,

в) y 4 y 3y 4xex ,

			1
г)	y	y cos3 x ,

д)	y 5y 6 y 12cos2x ,
	y 0 1,			y 0 10 .

13а) yIV 2x cos3x ,

б) yy y 2 1 0 ,

в) y 6 y 9 y x 1 e3x ,

г) y y sin1 x ,

д) y 4 y 2cos2x ,

y 0 1, y 0 1.

14а) yIV cos2x sin x ,

б) 1 x2 y 2xy 0,

в) y 4 y 4ctg 2x ,

г) y 2 y y 16ex ,

д) y 9 y 15sin 2x , y 0 y 0 1.

15а) y 6sin 6x ,

б) y sin x 1 y cos x ,

					ex
	в)	y	2 y	y x ,

	г)	y y 4 y 4 y x2 3 ,
	д)	y y 2sin x ,
		y 0 0 ,			y 0 2 .
16	а)	y 3 2x 2 ,
	б) xy y x2ex ,
	в) y 4 y 13y e2 x cos3x ,
	г)	y y ctg x ,
	д)	y y y y 5ex ,
		y 0 y 0 y 0 1.
17	а)	y 3x2		2x 1,
	б) 1 x2 y 1 0 ,
					1
	в)	y	4 y sin2 x ,

	г)	y 3y 2 y y x 2 ex ,
	д)	y 12 y 36 y 5sin x ,
		y 0 1,			y 0 1.

18а) y arcsin x ,

б) xy y x sin xy 0 ,

в) 2 y 5y 5x2 2x 1,

г)	y 4 y	1	,
		sin2 x
д)	y 3y 2 y 2sin x ,
	y 0 3,	y 0 4 .

19а) yIV x2 2x 5,

б) x 3 y y 0 ,

			e x
в) y	2 y	y x		,

г) y 2 y y xex ,
д) y 9 y 5cos3x ,
y 0 0 ,			y 0 1.

20а) yIV e3x x ,

б) 1 x2 y 2xy x3 ,

				e2 x
в)	y	5y	6 y x2		,

г) y 5y 6 y 3e2 x ,
д)	y y 10sin x ,
	y 0 0 ,			y 0 7 .

21а) y sin12 x ,

б) x3 y x2 y 1 0 ,

в) y 2 y y x2ex 1 ,

г) y 7 y 6 y sin x ,

д) y 6 y 9 y 2x2 3, y 0 0 , y 0 2 .

22а) y x x 1 ,

б) y 2x y 2 0,

в) y 3y 2 y 2ex cos 2x ,

г)	y y		1	,
		1 ex
д)	y 2 y 2 y 2x ,
	y 0 3,		y 0 1.

23а) y exx ,

б) xy y x2e3x ,

				ln x
в) y	4 y	4 y e2 x			,

г) y 4 y 5y 1,
д) y 3y 2 y 3e2 x ,
y 0 0 ,			y 0 11.

24а) y x ln x ,

б) x2 y y 2 ,

					1
в)	y	3y	2 y ex 1 ,

г) 2 y 5y ex ,					17

д)	y	2 y	5y		2 cos 2x ,

	y 0 1,			y 0	0 .

25а) y 5x e 2 x , б) 1 y 2 2 yy ,

в) y 4 y 4 y 2sin 2x ,


г)	y	2 y	y		ex	,
					4 x2

д)	y 2 y 10 y x2 x 1,
	y 0 2 ,			y 0 0 .

26а) y sin 2x ,

б) y y x , x

в) y y cos13 x ,

г) 4 y y x3 1,

			4
д) 4 y	16 y	15y e3x		,

y 0	0 ,	y 0 5,5.

27а) y x cos2x , б) y 2 yy 0 ,

в) y	2 y	y	ex
			4 x2 ,

г) 2 y 5y 29cos x ,

д) y 3y 2 y 2x2 1, y 0 5, y 0 0 .

28а) y x cos x ,

б) yy y 2 ,

в) y 3y 2 y ex 3 4x ,

					ex
г)	y	4 y	5y cos x			,

д)	2 y 5y cos2 x ,
	y 0 1,			y 0 0 .

29а) y ln x ,

б) y tg x y 1,

					e3x
в)	y	6 y	9 y x x			,

г) y y 2 y 6x2 ,
д)	y 5y 6 y 13sin 3x ,
	y 0 1,			y 0 1.

30а) y sin2 x ,

б) 1 x2 y y 2 1 0 ,


в) y y			2ex
				,
		ex 1
	1
г) y	y e		,

д) y 2 y 10 y 10x2 18x 6 , y 0 1, y 0 3,2 .

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