2 Дифференциальные уравнения высших порядков

n

0 ,

(2.1)

F x, y, y ,..., y

где x – независимая переменная;

y – искомая функция переменной x ;

n

– её производные.

y ,..., y

n 1

При этом функция F может явно не зависеть от

, но

x, y, y ,..., y

y

n

n 1

.

(2.2)

f x, y, y ,..., y

Рассмотрим ДУ y

n

f x ,

0 ,

0 .

F x, y , y

F y, y , y

dx

1

1

1

y

x

3

C1 ,

y

C1 dx

C1x C2

,

2x

2

2x

2

2x

1

1

x2

y

C1x

C2 dx

ln

x

C1

C2 x C3

– общее решение ДУ.

2x

2

2

Подставляя

x 1,

y 2,

y 12 ,

y 23 в систему равенств

dx

1

y

C1,

x3

2x2

1

1

y

C1 dx

C1x

C2 ,

2x

2

2x

1

1

x

2

y

C1x C2 dx

ln

x

C1

C2 x C3 ,

2x

2

2

найдём значения

C1,C2 ,C3 . Имеем:

3

1 C ,

2

2

1

1

1

C1

C2 ,

2

2

2

1 ln1 C

1

C

2

C

.

2

1

2

3

Откуда C1 2,

C2 2,

C3 3. Искомое частное решение получаем

y

1

ln

x

x2

2x 3.

2

2

Решение

0 . Полагаем y

p , тогда

Имеем уравнение вида

F x, y , y

y

dp

y

в данное ДУ получаем урав-

dx . После подстановки значений

y ,

dp

2ctgxdx ,

dp

2

ctgxdx ,

p 1

p

1

ln

p 1

2ln

sin x

ln

C1

,

C1 0,

p 1 C sin2 x ,

p 1 C sin2 x .

1

1

Заменяя переменную p на

dy , получим

dy

dx

1 C1 sin2 x ,

т. е.

dy 1 C1 sin2

x dx .

dx

Интегрируя, найдём общее решение исходного уравнения в виде

y 1 C1 sin

2

x dx

C1

C1

C1

sin 2x C2 .

x 2

1 cos2x dx x 2

x

4

dp

dy

dp

y p y , откуда y dy

dx

dy

p .

Пример 3. Проинтегрировать уравнение

yy y 2 y2 y .

Решение

0 . Полагаем y

p ,

p p y ; то-

Имеем уравнение вида F y, y , y

гда y

dp y ,

т.

е. y

p dp

. Исходное уравнение теперь запишется в ви-

dy

dy

де yp

dp

p

2

y

2

p , т. е.

dp

p y

2

0 .

dy

p y

dy

Приравнивая первый множитель к нулю, получаем простейшее урав-

нение p 0 , т. е.

y 0. Его решение y C , C – произвольная постоянная.

Приравнивая второй множитель к нулю, получаем линейное ДУ отно-

сительно p y

y dp

p y2

0 ,

или

dp

1

p y ,

(2.3)

dy

dy

y

решение которого ищем в виде

p uv ,

где

u u y ,

v v y .

Тогда dp

v du

u dv .

Уравнение (2.3) записывается в виде

dy

dy

dy

du

dv

uv

du

dv

v

v

dy

u

dy

y

y ,

v

dy

u

y .

(2.4)

dy

y

Подбираем v так, чтобы

dv

v

0 .

Откуда

dv dy ,

v y .

dy

y

v y ,

u

v

y

Так как

то для нахождения

из (2.4) получаем уравнение

v du y

или

y du y ,

y

du

1

0 , откуда y 0;

du 1, или u y C ,

dy

dy

dy

1

dy

p y y C1 .

C1 – произвольная постоянная. Тогда

dy

Но

p y , следовательно,

y y y C1

, или

dx .

y y C1

dy

Интегрируя, получаем:

dx C2 ,

y

2 C y

1

C1

C1

dy

1

y

x C2 ,

ln

2

2

x

C2

C

2

C 2

2

C1

y

C1

C1

y

1

1

2

2

2

2

4

или

1

ln

y

x C2

– общий интеграл исходного ДУ.

y C1

C1

y C – особое решение данного уравнения, ибо не получается из об-

щего ни при каких значениях C1

и C2

(семейство решений y C содержит