МАТЕША

3

Содержание

1

Общие требования к оформлению контрольной работы

................... 4

1.1

Выбор варианта задания.....................................................................

4

1.2

Правила оформления контрольной работы......................................

4

2

Решение типового варианта..................................................................

4

3

Варианты контрольных заданий.........................................................

22

4

Вопросы по программе курса.............................................................

32

Список литературы.................................................................................

34

x 2 y 3z 14,

4 y z 5,

2x y 3z 9.

5

Решение

1 ,

y 2 ,

z 3 , где

1 По формулам Крамера

x

1

2

3

0

4

1

12 4 24 1 17;

2

1

3

14

2

3

1

5

4

1

168 15 18 108 30 14 17;

9

1

3

1

14

3

2

0

5

1

15 28 30 9 34;

2

9

3

3

1

2

14

36 20 112 5 51.

0

4

5

2

1

9

Находим решение системы: x

17 1,

y 34

2,

z

51

3.

17

17

17

2 Для нахождения решения СЛАУ с помощью обратной матрицы за-

пишем систему уравнений в матричной форме AX B , где

1

2 3

x

14

0

5

A

4 1 ;

X y ;

B

.

2

1

9

3

z

Решение СЛАУ в матричной форме имеет вид X A 1B , где

A 1 –

матрица, обратная матрице A. Найдем матрицу A 1 по формуле

1

A11

A21

A31

A 1

A A

A

,

A

12

22

32

A

A

A

13

23

33

1

2

3

17 , Aij – алгебраическое дополнение к эле-

где

A

0

4

1

2

1

3

менту a (i

j

,

A

1 i j M

.

1,3,

1,3)

ij

ij

ij

A11 ( 1)1 1

4

1

4 3 1 1 12 1 11;

1

3

A12 ( 1)1 2

0

1

0

3 1 2 2;

A13 ( 1)1 3

0

4

8;

2

3

2

1

A

( 1)2 1

2

3

9;

A

( 1)2 2

1

3

3;

21

1

3

22

2

3

A

( 1)2 3

1

2

5;

23

2

1

A

( 1)3 1

2

3

14;

A ( 1)3 2

1

3

1;

A

( 1)3 3

1

2

4.

31

4

1

32

0

1

33

0

4

1

11

9

14

Обратная матрица имеет вид: A 1

2

3

1

.

17

8

5

4

Находим решение системы:

1

11

9

14

14

1

154 45 126

X

2

3

1

5

28 15 9

17

5

9

17

112

25

8

4

36

1

17

1

x

34

2

y .

17

51

3

z

Итак, решение системы: x 1,

y 2,

z 3 .

1

2

3

14

A

0 4

1

5

B

.

2

1

3

9

1

2 3

14

1

2

3

14

3

0

4 1

5

0

4

1

5

2

1

3

9

2

0

5

3

3

19

1

14

0

29

1

14

0

29

14

0

4

1

5

0

4

1

5

4

0

17

0

34

: 17

0

1

0

2

7

1 0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

3

0

0

1

3

1

.

0

1

0

2

0

1

0

2

Задание 2

Даны четыре точки: A 1,3,4 , B 3,2, 4 , C 1,5, 1 ,

D 2,0,3 .

дикулярно плоскости ABC ;

7)

определить, образуют ли векторы

AB, AC,

AD базис;

8)

найти угол между прямой AD и плоскостью ABC ;

9)

составить уравнение плоскости , проходящей через точки A,C,

Решение

1 Канонические уравнения

прямой,

проходящей

через

точки

M1 x1, y1, z1 и M2 x2 , y2 , z2

, имеют вид:

x x1

y y1

z z1

.

x

2

x

y

2

y

z

2

z

1

1

1

Тогда

x 1

y 3

z 4

–

канонические уравнения

прямой AB;

4

s

1

8

4, 1, 8 – направляющий вектор прямой AB.

2 Так как искомая плоскость перпендикулярна прямой AB ,

то на-

8

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку M0 x0 , y0 , z0

перпендикулярно вектору n

A, B,C , имеет вид:

A x x0 B y y0 C z z0 0 .

Следовательно, искомое уравнение

4 x 2 y 8 z 3 0

или

4x y 8z 16 0.

3 Объем пирамиды ABCD вычислим по формуле

VABCD

1

AB, AC,

AD

,

6

где AB, AC, AD – смешанное произведение векторов

AB, AC, AD .

Координаты

вектора

MN, M x , y , z ,

N x , y

, z

2

находятся

по

формуле

1

1

1

2

2

, z2 z1 .

x1 , y2 y1

MN x2

В

нашем случае

2, 2, 5 ,

3, 3 1 .

AB

3 1, 2 3, 4 4 4, 1, 8 , AC

AD

4

1

8

AB, AC, AD

2

2

5

8 48 15 48 60 2 41.

3

3

1

Значит, VABCD

41.

6

4 Косинус угла между прямыми найдем по формуле

cos

m1m2 n1n2 p1 p2

,

m 2 n

2

p 2

m

2

n 2

p

2

1

1

1

2

2

2

s

m , n , p

,

где

направляющие

векторы

прямых,

s , s

2

s

1

1

1

1

1

m , n , p

.

2

2

2

2

В нашем случае s

4, 1, 8

, s

1, 5,4 . Тогда

AB

CD

1

2

cos

4 5 32

23

;

16 1 64

1 25 16

9

42

23

23

arccos

arccos

.

9

42

9

42

5 Уравнение плоскости, проходящей через три точки

M1 x1, y1, z1 ,

M2 x2 , y2 , z2

и M3 x3 , y3 , z3 , имеет вид:

9

x x1

y y1

z z1

x2 x1

y2 y1

z2 z1

0.

x3 x1

y3 y1

z3 z1

x 1

y 3

z 4

21 x 1 4

y 3 10

z 4 0,

Имеем:

4

1

8

0,

2

2

5

21x 4 y

10z 31 0 – общее уравнение плоскости ABC ;

n 21,4,10

– нормальный вектор плоскости.

6 Канонические

уравнения

прямой,

проходящей

через

точку

M0 x0 , y0 , z0 параллельно вектору

s m,n, p , имеют вид:

x x0

y y0

z z0

.

m

n

p

Нормальный вектор плоскости ABC является направляющим векто-

ром искомой прямой, т. е. s n