1. Элементы дифференциальной геометрии
1.1. Векторные функции скалярного аргумента
Векторназывается векторной функцией скалярного аргумента, если каждому значению скаляра из области допустимых значений соответствует определенное значение вектора:
Вектор
называется бесконечно малым, если его модуль стремится к нулю.
Производной векторной функции по ее скалярномуаргументуназывается предел отношения приращения вектора к соответствующему приращению аргумента, когда это приращение стремится к нулю:
Некоторые правила дифференцирования векторной функции по скалярному аргументу:
Докажем справедливость последнего правила.
Пусть
Если скалярному аргументу
дать приращение
то векторные функции
получат приращения
соответственно. При этом
откуда
Поделим обе части этого равенства на
и перейдем к пределу при
откуда и следует, что доказываемое правило справедливо.
Применительно к векторной функции скалярного аргумента рассматриваются также дифференциал
и интегралы, в частности определенный интеграл
Если векторную функцию скалярного аргумента рассматривать в декартовой системе координат, то
1.2. Понятие кривой
Кривую опишем при помощирадиус-вектора
соединяющего произвольный фиксированный центр и точку, принадлежащую кривой.
Кривая задается на промежутке
некоторой числовой оси.
Кривая называется регулярной, если во всех точках заданного промежутка
непрерывно дифференцируема и
Пусть
‑точки, принадлежащиерегулярнойкривой и соответствующие параметрам
Прямая
называется направленной секущей кривой в точке
Направленной касательной к кривойвточке
называется предел направленных секущих в этой точкепри
Теорема: в каждойточке регулярной кривой существует направленная касательная, определяемая направляющим вектором
Доказательство.
Вектор
лежит на направленной секущей, проходящей через точки
которым соответствуют радиус-векторы
Производная
Отсюда следует, что в точке
существует направленная касательная к кривой, которая определяется в пространстве вектором
Теорема доказана.
Длиной регулярной кривой называется предел длины ломаной, вписанной в кривую, при стремлении к нулю длины наибольшего сегмента ломаной.
Теорема: всякая регулярная кривая имеет определенную длину. Более того, если регулярная кривая задана векторной функцией
тодлинакривой
Доказательство.
Впишем в кривую ломаную. Длина этой ломаной
где
При этом
Согласно теореме Лагранжа имеем
где
Отсюда
Перейдя к пределу, получим:
Теорема доказана.
Следствие из теоремы:
Введем такой скалярный аргумент радиус-вектора
точкирегулярнойкривой, как длина дуги
отсчитываемая от некоторого центра, взятого на кривой.
Данный аргументназывается естественным.
Теорема: имеет место соотношение:
Доказательство.
Имеем:
Учитывая, что
получаем
Теорема доказана.
1.3. Кривизна кривой
На регулярной кривой возьмем две точки, радиус-векторы которых обозначим
Единичные векторынаправленных касательных к траектории в указанныхточках обозначим
соответственно.Угол
между векторами
называется углом смежности траектории в точке, задаваемой радиус-вектором
Число
называется кривизной. Кривизна прямойравна 0.
Радиусом кривизны называется величина, обратная кривизне:
Радиус кривизны окружности во всех ее точках равен радиусу окружности.
Теорема: в каждой своей точке регулярная кривая характеризуется кривизной и для всех значений естественногопараметрасправедлива т. н. первая формула Френе, т. е.
где
‑ это единичный вектор, называемый главной нормалью, причем
и
направлен в сторону вогнутости плоской кривой.
Доказательство.
Сначала докажем, что векторы
ортогональны:
Отсюда следует, что орт вектора
обозначаемый
есть вектор, перпендикулярный вектору
Далее докажем, что
При этом
Вектор
является предельным положением вектора
Если кривая плоская, то вектор
направлен в сторону вогнутости этой кривой, следовательно, и вектор
также направлен в сторону вогнутости этой кривой.
Теорема доказана.
Следствие из теоремы:
Плоскость, проходящая через векторы
называется соприкасающейся.Соприкасающаяся плоскость является предельным положением плоскости, проходящей через векторы
приложенные в точке, задаваемой радиус-вектором
Во всех точках плоскойрегулярнойкривойопределенаодна и та же соприкасающаяся плоскость, совпадающая с плоскостью самой кривой.
Теорема: для регулярной кривой справедлива формула:
Доказательство.
Имеем:
Поскольку векторы
ортогональны и
то
Но
Следовательно
Теорема доказана.
В случае, если рассматривается плоская регулярная кривая
в плоскости
то
В случае,если
т. е.
то
Если уравнение плоской регулярной кривой задано в полярных координатах, то
