Практическая работа №6

Решение задач игрового моделирования

Цель работы:

1) Ознакомление с теорией игрового моделирования;

2) Изучение критериев принятия решений в условиях неопределённости;

3) Получение навыков решения матричных игр путем сведения их к задача линейного программирования.

1.Общие сведения

Принятие решений в условиях неопределенности

Нередко при решении экономических задач возникает необходимость выбора оптимального решения в условиях неопределенности и риска. Особенностью таких условий является неясность исходов, последствий выбора решений одной стороной под влиянием случайных факторов и неизвестность поведения противоположной стороны. Такие ситуации называются играми с природой (иногда статистическими играми). Они решаются с помощью методов теории статистических решений. Термин «природа» характеризует некоторую объективную действительность, которая выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные ходы партнер по игре. Природа безразлична к выигрышу.

Сторона, принимающая решение (игрок А или статистик), имеет т стратегий: А_1, А₂, …, А_m. Природа может реализовать n возможных состояний: П₁ П₂, …, П_n. Поскольку природа не является заинтересованной стороной, исход любого сочетания поведения сторон можно оценить с помощью выигрышей игрока А для каждой пары стратегий А_i, и П_j. Все показатели игры записываются в виде платежной матрицы.

Часто построение платежной матрицы является наиболее трудоемким этапом подготовки принятия решения.

При анализе игры с природой вводится также показатель, позволяющий оценить, насколько то или иное состояние природы влияет на исход ситуации. Этот показатель называется риском.

Риском статистика, когда он пользуется чистой стратегией А_i; при состоянии П_j природы, называется разность между максимальным выигрышем , который он мог бы получить, достоверно зная, что природой будет реализовано именно состояние П_j, и тем выигрышем , который он получит, используя стратегию А_i, не зная, какое из состояний П_j природа действительно реализует. То есть элементы матрицы рисков определяются по формуле.

Решение статистической игры может находиться либо в смешанных стратегиях, либо в чистых стратегиях.

Учитывая специфику статистических игр, при поиске оптимальных решений обращаются к различным критериям, дающим некоторую логическую схему принятия решения. Поскольку критерии формулируются на основе здравого смысла, интуиции и практической целесообразности, то они помогают оценить принимаемое решение с различных позиций, что позволяет избежать грубых ошибок в хозяйственной деятельности.

Применяется две группы критериев — использующих и не использующих априорные вероятности состояний природы. К первой группе относятся критерии Байеса и Лапласа. В качестве оптимальной покритерию Байеса принимается чистая стратегия А;, при которой максимизируется средний выигрыш статистика

то есть обеспечивается

Если статистику представляются в равной мере правдоподобными все состояния П_j природы, то

и оптимальной по критерию Лапласа считается чистая стратегия А_i, обеспечивающая

Ко второй группе критериев, применяемых при неизвестных априорных вероятностях состояний природы, относятся критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица. Оптимальной по критерию Вальда считается чистая стратегия А_i, при которой наименьший выигрыш статистика будет максимальным, то есть ему обеспечивается

.

Для смешанных стратегий критерий Вальда формулируется так: оптимальной считается та смешанная стратегия, при которой минимальный средний выигрыш статистика , будет максимальным, то есть стратегия p*, найденная из условия

.

Оптимальной по критерию Сэвиджа считается та чистая стратегия А_i при которой минимизируется величина r_i максимального риска, то есть обеспечивается .

Для смешанных стратегий критерий Сэвиджа формулируется так: оптимальной считается та смешанная стратегия, при которой максимальный средний риск статистика минимизируется, то есть стратегияр*, найденная из условия

Оптимальной по критерию Гурвица считается чистая стратегия A_i , найденная из условия

,

где г принадлежит интервалу (0; 1) и выбирается из субъективных соображений.

При г = 1 критерий Гурвица превращается в критерий крайнего пессимизма Вальда, а при г = 0 — в критерий крайнего оптимизма.

Надо отметить, что анализ практических ситуаций следует проводить по нескольким критериям, что позволит глубже вникнуть в суть явления и выбрать обоснованное решение.

Решение матричных игр сведением к задаче линейного программирования

Пусть игра задана платежной матрицей.

			…
			…
			…
	…	…	…	…
			…

Оптимальные смешанные стратегии иигроков А и В могут быть найдены в результате решения пары двойственных задач линейного программрования.

Для игрока А:

В результате решения задачи находятся оптимальный вектор и, а затем.

Для игрока В:

Решая задачу , находят оптимальный вектор и, а затем.