Науці, техніці”.

Тема:Показникова функція.

Тема уроку:Показникова функція у природі, науці, техніці.

Тип уроку:урок закріплення і удосконалення нових знань, умінь і навичок.

Вид уроку: урок-семінар.

Навчальна мета:

• навчити учнів застосовувати набуті знання про показникову функцію, зокрема, розглянути приклади застосування показникової функції у банківській справі, фізиці, біології та медицині;

• показати дію закону діалектики – єдності і боротьби протилежностей, об’єднати різноманітні процеси в природі і техніці.

Розвиваюча:

• розвивати математичну культуру учнів, розширити і поглибити рамки навчальної програми шляхом міжпредметних зв’язків;

• привчити учнів користуватися додатковою літературою, робити висновки і узагальнення.

Виховна:

• виховувати інтерес до математики, наполегливість, самостійність, відповідальність та вимогливість до себе.

Методична мета:Рівнева диференціація на уроках математики.

Міжпредметні зв’язки:

• фізика - тема – „Закони руху в механіці”, „Будова і властивості твердих тіл”, „Реактивний рух”.

• біологія - тема – „Будова клітин прокаріот”.

Забезпечення уроку: таблиці оцінювання доповідачів.

Література:М. І. Шкіль Алгебра і початки аналізу, К., „Техніка”, 2000.

Девіз уроку:

„Недостатньо лише мати добрий розум. Головне – раціонально застосовувати його.”

Р. Декарт

Хідуроку

I. Перевірка присутності і готовності учнів до уроку – 2 хв.

II. Актуалізація опорних знань (усне опитування) – 8 хв.

Питання для опитування:

1. Яку функцію називають показниковою?

2. Яка область визначення та множина значень показникової функції?

3. Зобразити графік функції при а >1 і 0<a<1.

4. Що означає „експоненціальна” функція?

5. Назвіть число, яке ставши показником степеня, враз зрівняє всі числа.

6. Що спільного між графіками всіх показникових функцій?

III. Специфіка семінарського заняття, його мета – 2 хв.

На сьогоднішньому занятті будуть заслухані повідомлення, підготовлені учнями за матеріалами додаткової літератури.

Показникові функції зустріча­ються в найрізноманітніших галузях науки – фізиці, хімії, біології, економіці, інформатиці, медицині, лісівництві, картографії, будівництві.Математика — це всеосяжна наука, без знання якої неможливо ні пізнати оточую­чий нас світ, ні забезпечити науково-технічний прогрес.

IV. Застосування набутих знань у практичній діяльності – 28 хв.

1. Від складних відсотків до показникової функції (показникова функція в банку) – інформація учня - 4 хв.

2. Показникова функція та інформаційний бум (повідомлення учня) - 4 хв

3. Показникова функція в фізиці – 15 хв.

Виступ учнів по питаннях:

1. Чи може одна людина втримати корабель?

2. Падіння з парашутом.

3. Маса палива для ракети. Закон Ціолковського.

4. Показникова функція в біології та медицині (повідомлення учня) – 5 хв.

V. Підведення підсумків – 5 хв.

1. Висновки:

• аналіз діяльності учнів у процесі всього уроку;

• повідомлення та обґрунтування оцінок.

2. Домашнє завдання:

1. Знайти значення функції , якщоx= 2,x= -2,x= 0.

2. Знайти область визначення функції .

3. Побудувати графік функції .

Учитель. На сьогоднішньому занятті будуть заслухані повідомлення, підготовлені учнями за матеріалами додаткової літератури.

Запишіть у зошитах тему семінару: „Показни­кова функція в природі, науці, техніці”.

Показникові функції зустріча­ються в найрізноманітніших галузях науки – фізиці, хімії, біології, економіці, інформатиці, медицині, лісівництві, картографії, будівництві.

А почнемо ми з банків, точніше з їх попе­редників — лихварів. Запишіть: „Показникова функція в банку”.

1-й учень. Ще за стародавніх часів було широ­ко поширене лихварство — віддавання грошей у позику під відсотки. Селянин у разі неврожаю, ремісник, майно якого знищила пожежа, розо­рений торгівець змушені були йти до лихваря, обіцяючи наступного року повернути суму знач­но більшу, ніж узята в позику. Наприклад, у Дав­ньому Вавилоні лихварі брали по 20 % лихви на рік. При цьому, якщо боржник не міг повернути борг наступного року, йому треба було платити відсотки не тільки з позиченого капіталу, а й з відсотків, що виросли за рік. Тому через 2 роки слід було заплатити не 40 %, а 44 % лихви, адже 1,2² = 1,44. За 5 років сума боргу збільшувалася в 1,2⁵ разів, тобто майже в 2,5 рази, а за 10 – років більш ніж у 6 разів. Зрозуміло, що більшість борж­ників були не в змозі повернути борг і, давно вип­лативши основну суму боргу, були змушені все життя працювати на те, щоб виплатити все зро­стаючі відсотки. Нарешті зубожілі боржники ста­вали рабами хижого лихваря.

У XIV—XV ст. у Західній Європі почали з'явля­тися банки (від фр. banque — лава, контора) — ус­танови, які давали гроші в позику князям та куп­цям, фінансували за великі відсотки далекі манд­рівки та завойовницькі походи. Щоб полегшити розрахунки складних відсотків, склали таблиці, за якими відразу можна було дізнатися, яку суму тре­ба виплатити через п років, якщо була взята сума а під p% річних. Легко підрахувати, що сума, яку треба заплатити, виражається формулою:

Якщо р — стале, то S є функцією від п. Такі таблиці давали значення показникової функції при різних значеннях основи і натураль­них значенняхп.

Останнє обмеження було не дуже зручним: іноді гроші бралися в борг не на ціле число років, а, наприклад, на 2 чи 6 місяців. Так виникла ідея степеня з дробовим показником. Ця ідея нале­жала ще Архімеду, але вона не була зрозумілою його сучасникам. І лише через 1,5 тисячоліття почали розглядати піднесення чисел до степеня з дробовим показником.

Степінь з ірраціональним показником розгля­нув Ісаак Ньютон в XVII ст. Після цього Йоганн Бернуллі розглянув степінь зі змінним дійсним показником, тобто ввів показникову функцію.

Учитель: А зараз заслухаємо повідомлення учня про показникову функцію та інформаційний бум. Запишіть: „Показникова функція та інформаційний бум”.

2-й учень. Нині багато говорять про інформа­ційний бум. Стверджують, що кількість інформації подвоюється кожні десять років. Зобразимо цей процес у вигляді графіка деякої функції.

Візьмемо обсяг інформації в де­який початковий рік за 1. Удвічі більший відрізок поставимо над оди­ничною оцінкою, вважаючи, що оцін­ка відповідає першому десятку років. Удвічі більший відрізок відповідає другому десятку років, ще вдвічі більший — третьому і т.д. Обрані нами значення аргументу є елемен­тами арифметичної прогресії: 1, 2, З, ... . У той самий час значення функції зростають за законом геомет­ричної професії: 2, 4, 8, ... . Подиви­мося, який був обсяг інформації до року, прийнятого за початковий. По осі абсцис уліво від початку коорди­нат відкладатимемо значення функції в порядку зменшення — у 2 рази мен­ше з кожним кроком. Сполучимо всі побудовані точки плавною лінією. Перед нами графік показникової функції. Головна особливість графі­ка цієї функції — її крутизна. Показ­никова функція зустрічається в описі процесів, у яких швидкість зміни ве­личини пропорційна до самої величи­ни.

Учитель. А тепер звернемося до літератури.

3-й учень. У романі Жуля Верна „Матіас Шандор” виведено образ силача Матіфу, який здійс­нив багато подвигів. Ось один із них.

Готувався спуск на воду корабля. І саме в цей момент до гавані влетіла яхта, яка неминуче врізалася б у корабель, якби з натовпу не вибіг чоловік, який з усієї сили вперся в землю ногами і вчепився в трос, що утримував корабель, щоб затримати спуск. Поблизу стояла гармата. Сміли­вець швидко накинув на неї трос і з нелюдським зусиллям утримував його 10 секунд, поки трос не лопнув. Але цих 10 секунд було досить, щоб яхта проскочила повз корабель — зіткнення не ста­лося. Звичайно, ви здогадалися, що сміливий незнайомець — це Матіфу.

Але чи потрібна нелюдська сила, щоб утрима­ти корабель?

Запис у зошиті: „Чи може людина втримати корабель?”

Згадаємо, як відбувається швартування кораб­ля. З нього кидають канат на берег. Людина, що стоїть на пристані, обмотує кілька разів канат навколо стовпа. Сила тертя між канатом і стов­пом і утримує судно.

Якщо F₀ — прикладена сила, F— сила, що ут­римує корабель, то маємо:

1 виток: F= F₀ • k;

2 витки: F= F₀ • к²,

3 витки: F= F₀ • k³,

..................................

x квитків: F= F₀ • k^x;

k залежить від матеріалу, з якого зроблено канат і стовп. Наприклад, коли канат—з конопель, а стовп залізний, то . Тобто, обернувши канат 3 рази, силою 22 Н можна утримувати 40 т.

Учитель. До речі, це явище ми використовуємо доволі часто, зав'язуючи шнурки на черевиках, вузли­ки на мотузку тощо. Оскільки вузол — це моту­зок, обвитий навколо іншого мотузка, то він тим міцніший, чим більше разів одна частина мотузка сплітається з другою.

Здавалося б, що спільного між вми­канням і вимиканням струму і падінням з пара­шутом. Але виявляється, що ці процеси відбува­ються за одним законом. Запишіть: „Падіння з парашутом”.

4-й учень. При падінні тіл у безповітряному просторі їх швидкість рівномірно збільшується. Інакше відбувається падіння в повітрі. Вважає­мо, що сила опору повітря пропорційна швидкості падіння, тобто (знак „мінус” пока­зує, що напрям сили опору повітря направлений вбік, протилежний напряму падіння). Через t секунд після початку падіння швидкість

, де m – маса парашутиста.

Коли t збільшується, то зменшується і прямує до 0, вираз у дужках прямує до 1, , тобто падіння стане рівномірним;

k залежить від густини повітря, площі поверхні тіла, що падає, тощо.

Наприклад, при падінні з парашутом цей кое­фіцієнт доволі великий, і тому швидкість призем­лення парашутиста порівняно мала — 5 м/с. Ясно, що швидкість падіння пушинки буде меншою, ніж швидкість падіння свинцевої кульки, що має ту саму масу, бо пушинка має більшу площу поверхні і тому більше значення k;. Саме тому пушинка так повільно опускається вниз і так легко підхоп­люється потоком повітря. Аристотель у своїх міркуваннях не враховував опору повітря і вважав, що важкі тіла у стільки разів падають швидше за легкі, у скільки разів вони важчі за них. Галілей експериментально заперечив це твердження, ки­даючи кулі з похилої Пізанської башти.

Учитель. Останнім часом у засобах масової інформації з'явилося багато повідомлень про цю башту і про проекти запобігання її падіння. Ду­маю, що всім буде цікаво дізнатися дещо про неї.

5-й учень. Пізанська башта — не окрема спо­руда, це дзвіниця собору Санта-Марія Маджоре в місті Піза — шедевра світової архітектури, ство­рення його почалося ще в 1063 році. Але не­скінченний потік туристів приваблює саме ця «падаюча вежа», її будівництво розпочали в 1174 році майстри з Інсбрука Вільгельм і Баннано. Побудувавши перший поверх висотою 11 метрів і 2 колонадних кільця, Баннано виявив, що дзвіниця відхилилася на 4 см від вертикалі. Май­стри припинили роботу і зникли з міста. Лише через 100 років знайшовся сміливець, який на­важився продовжити будівництво. Це був архі­тектор Джованні ді Симоні. Але й він, досягши п'ятого поверху, припинив роботу, бо на той час відхилення від вертикалі становило вже 22 см. Ще через 75 років узявся за роботу архітектор Томазо ді Андре. Він завершив будівництво, підняв­ши шостий поверх з похилого боку на 11 см і по­ставивши на восьмому поверсі бронзовий дзвін. І хоч висота башти планувалася 98 м, а остаточна висота була лише 56 м, подолавши 294 сходин­ки, туристи можуть оглядати всю навколишню місцевість і уявляти, що на цьому місці стояв сам Галілео Галілей і виконував свої досліди, про які ми зараз ведемо з вами мову.

Дослідники вважають, що причиною нахилу башти було використання першими майстрами насосів для відкачування води, які були встанов­лені в центрі круглої башти, і вода стікала в один бік — у напрямі річки Арно. Останнім часом ар­хітекторів турбує, що кут нахилу Пізанської баш­ти збільшився, тому існує ризик, що вона — не дай Боже! — може завалитися. У 1994 році вста­новили для підтримки спеціальні свинцеві про­тиваги, в 2001 році провели цілий комплекс профілактичних робіт з укріплення фундаменту, аби зберегти вежу від падіння. Декілька цікавих деталей: у середині 80-х років XX століття відхи­лення від вертикалі досягло 4,22 м, за останні десятиліття воно збільшується в середньому на 1,2 мм за рік. У 1982 році цей процес практично зупинився, але дзвіниця сама трохи повернулася навколо своєї осі на південний захід. Тому зараз непоодинокі виступи спеціалістів за те, щоб „башту залишити в спокої”, бо будь-яке втручан­ня несе для неї загрозу. „Нехай вона сама себе стабілізує”, — кажуть вони. Пізанська башта ва­жить понад 14 т, і якщо її нахил не буде переви­щувати 1 мм на рік, то вона впаде не раніше, ніж через два тисячоліття.

запишіть: 3акон Ціолковського.

6-й учень. Багато складних задач доводиться розв'язувати в теорії міжпланетних подорожей. Однією з них є задача про визначення кількості палива, необхідного для того, щоб надати ракеті швидкість υ₁, потрібну для досягнення Місяця, Венери, Марса або якоїсь іншої планети. Ця кількість залежить від маси m₀ самої ракети (без палива) і від швидкості υ_о, з якою продукти зго­ряння витікають із сопла ракетного двигуна.

К. Е. Ціолковський розглянув задачу про па­ливо, нехтуючи опором повітря і притяганням Землі.

Для ракети масою 1,5 т потрібно за цією фор­мулою 40т пального. Вихід знайшов С. Корольов, запропонувавши багатоступінчасті ракети.

До речі, вам цікаво буде знати, що всі названі четверо генеральних конструкторів ракетно-кос­мічної техніки (С. Корольов, М. Янгель, В. Че-лемей і В. Глушко) — українці, а К. Ціолковсь­кий — прямий нащадок Северина Наливайка; його батько, Едуард Ціолковськлй, що мав по­двійне прізвище Ціолковський-Наливайко, на­родився на Рівненщині, у селі Коростятин, мав родичів у Львові.

Учитель. Хотілося б згадати ще про одного видатного українського вченого і винахідника, якого по праву вважають піонером Космосу; за його проектом американці здійснили посадку на Місяць, а траєкторію польоту на Місяць назвали «трасою Кондратюка». Поруч із першою амери­канською ракетою на космодромі на мисі Канаверал споруджено пам'ятник Юрію Кондратюку.

7-учень. Біографія Юрія Васильовича Кон­дратюка повна трагізму, боротьби і таємниць. Справжнє прізвище вченого — Шаргей. Олек­сандр Гнатович Шаргей народився 21 червня 1897 року. Батьки — земський лікар з Полтави Гнат Бенедиктович і Людмила Львівна Шліпенбах, що веде свою гілку від баронського роду зі Швеції, — померли дуже рано. Дитинство майбутнього вче­ного пройшло в сім'ї родичів батька в Полтаві, де він закінчив гімназію, потім навчався в Петер­бурзькому політехнічному інституті. 1917 року його мобілізували в армію і в чині прапорщика відправили на Кавказький фронт. Там Олексан­дра застала революція. Він повертається до Пол­тави, але рідних не застає. Шаргея мобілізують у білу армію, але він тікає з поїзда. Деякий час пра­цював на станції Бобринськ ремонтником колії, згодом перебирається до Києва, але в серпні 1919 року Київ захопили денікінці і під страхом розстрілу його знову мобілізовують. І знову — втеча з білої армії. Він переховується, працює ро­бітником, пізніше механіком млина і цукрозаво­ду в Малій Висці на Кіровоградщині, але не при­пиняє досліджень у галузі космонавтики, пише книгу „Завоювання міжпланетних просторів”.

У ті роки ніхто навіть не міг подумати, що цей обірваний, одягнений в лахміття чоловік — геній, піонер космічної ери. І тільки рідні й близькі, розуміючи всю складність революційного часу, думали над тим, як працівнику млина і кочегар­ки цукрового заводу відкрити шлях у науку. Вихід був один — змінити біографію.

І коли його мачуха, Олена Петрівна, яка меш­кала з дочкою в Києві, на вулиці Саксаганського, дізналася, що в сусідів помер знайомий сту­дент Георгій Васильович Кондратюк, родом з Волині, вона документи покійного передала в Малу Виску. Після довгих роздумів Олександр Гнатович стає на військовий облік як Юрій Ва­сильович Кондратюк, 1900 року народження, син вчителя гімназії з Волині. І з цим прізвищем він входить в історію. У 1925 році рукопис «Про міжпланетні подорожі» автор відправляє до Мос­кви в Головнауку, а в 1929 році виходить книга Ю.В. Кондратюка „Завоювання міжпланетних просторів”.

Він переїжджає до Москви, де працює в галузі промислової вітроенергетики, створює проект вітрової електростанції для Криму на горі Ай-Петрі потужністю 12000 КВт, подібної до якої нема в світі донині. Коли в 1937 році застрелився Серго Орджонікідзе, під егідою якого був цей проект, його закрили. Тоді Кондратюк створює проекти малопотужних вітрових електростанцій. У Підмосков'ї відбулися випробування однієї з них, але все перекреслила війна.

6 липня 1941 року Юрій Кондратюк добро­вольцем йде в дивізію народного ополчення ря­довим роти зв'язку стрілецького полку. Ця диві­зія одразу потрапляє на фронт. Довгий час вва­жалося, що Кондратюк пропав безвісти у першо­му ж бою 3 жовтня 1941 року, але потім дослід­ники на основі свідчень очевидців виявили, що він зник наприкінці лютого 1942 року на Орловщині. Ця загадкова загибель породила масу версій. За деякими з них жовтий портфель з ру­кописами, з якими вчений не розлучався, пі­дібрали німці на полі бою. Його передали німець­кому ракетнику Вернеру фон Брауну, творцю ра­кет „Фау”.

Більше того, писали, що Ю. Кондратюк пра­цював у фон Брауна. Однак ні радянська спец-комісія, ні західні дослідники після війни у ви­лученій документації німецької ракетної техні­ки ніяких доказів цих версій не знайшли. Ще є версія, що після війни Кондратюк виїхав у США. Принаймні в Конгресі США, в бібліотеці, збері­гаються його рукописи. Як вони туди потрапи­ли, невідомо. Але той самий Вернер фон Браун був, до речі, одним з керівників американської космічної агенції НАСА....

Дехто з дослідників вважає, що Юрій Кондра­тюк і Вернер фон Браун — одна особа.

Постать Кондратюка продовжує бути загадко­вою. Він залишив по собі незабутній слід, але від нього на планеті Земля немає бодай могильного горбика...

Його прізвищем названа траса, рухаючись якою ракета з людиною вперше побувала на Місяці, кратер на зворотній стороні Місяця (навіть і тут він у вічній темряві) і вулиця на око­лиці Києва.

Учитель. Запишіть: „Показникова функція в біології”.

8-й учень. Розглянемо, як зростає популяція бактерій у відповідності з простим життєвим цик­лом. При цьому час між моментом поділу мате­ринської клітини (народження нової) і момен­том, коли вона сама ділиться, називається пері­одом поділу, або часом генерації.

Нехай число бактерій у культурі становить А₀. За час однієї генерації всі ці А₀ бактерій поділять­ся навпіл і утвориться 2А₀ бактерій. Через дві ге­нерації їх стане 2 • 2А₀, через три — 2 • 2 • 2А₀ і т.д. Через р генерацій А = 2^Р • А₀.

Нехай час однієї генерації Т, тоді , деt час з початку розподілу.

.

Бачимо, що популяція росте за показниковим законом, або, як кажуть, експоненціально (лат. exponense — той, хто показує).

Саме здатність бактерій до швидкого розмно­ження забезпечує їх кількісну перевагу серед живих форм. Якби не було природних причин, що заважали б вибухам кількості бактерій, сумар­на маса яких становила б декілька десятків тисяч тонн, а за дві доби показникового зростання маса однієї бактерії перевищила б у декілька разів масу Земної кулі. Наша планета, проте, не перетвори­лася на суцільну масу мікробів. І це не тільки тому, що бактерії вичерпують поживні речови­ни, які підтримують їх зростання, а й тому, що при зростанні вони виділяють велику кількість продуктів, токсичних для них самих.

З відкриттям англійським мікробіологом Флемінгом пеніциліну і народженням нової промис­ловості знати кількість грибків, утворених у про­цесі розвитку, стало важливо і можливо при ви­користанні виведеної раніше формули.

Учитель. Розглянемо деякі приклади по­казникового зростання і спадання в медицині. Запишіть: „Показникова функція в медицині”.

9-учень. Коли людина лякається, в кров виділяється адреналін, який потім руйнується, причому швидкість руйнування пропорційна кількості цієї речовини, що ще залишилася в крові.

При діагностиці хвороб нирок часто визнача­ють здатність нирок виводити з крові радіоак­тивні ізотопи, причому їх кількість спадає за по­казниковим законом.

Швидкість зміни кількості ліків у організмі пропорційна їх кількості.

Якщо А(t) — кількість ліків у тілі через час t, R₀ -швидкість надходження ліків до організму (ста­ла — відома величина), k — коефіцієнт пропор­ційності (стала, що характеризує швидкість виведення ліків з організму), то

При відновленні концентрації гемоглобіну в крові донора або пораненого за показниковим законом спадає різниця між нор­мальним вмістом гемоглобіну і наявною кількістю цієї речовини. Як і при радіоактивно­му розпаді, лікарі розглядають період, за який розпадається або відновлюється половина речо­вини. Для адреналіну — частки секунди, для ізо­топів — хвилини, для гемоглобіну — дні.

Звичайно, показниковий закон виконується дуже приблизно в біологічних системах, бо ми маємо тут справу з дуже складними системами.

Висновки:

На сьогоднішньому семінарі ви ще раз пере­коналися, що математика — це всеосяжна наука, без знання якої неможливо ні пізнати оточую­чий нас світ, ні забезпечити науково-технічний прогрес.Як казав великий Ейнштейн : „Природа – це реалізація найпростіших математичних ідей”.