Неперервність функції.

Означення. Функція називаєтьсянеперервною в точці , якщо виконуються наступні умови:

1. функція визначена в точці, тобто ;

2. існує границя функції в точці, тобто ;

3. границя співпадає зі значенням функції, тобто .

Наведемо декілька еквівалентних означень.

Означення. Функція називаєтьсянеперервною в точці , якщо признак границі і знак функції можна переставити місцями.

Означення. Функція називаєтьсянеперервною в точці , якщо нескінченно малим приростам аргументу відповідають нескінченно малі прирости функції, тобто.

Означення. Функція називаєтьсянеперервною в точці , якщо існують односторонні границі, вони співпадають між собою і дорівнюють значенню функції в точці, тобто

.

Базуючись на означенні та властивостях збіжних функцій, неважко впевнитись у справедливості наступного твердження.

Теорема. Якщо функції інеперервні в точці, то неперервними в цій точці будуть: алгебраїчна сума, добутокта часткапри умові.

Доведення.

Означення. Функція називаєтьсянеперервною на множині , якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини.

Наведені вище означення та властивості дозволяють стверджувати, що на своїх областях визначення неперервні складені, обернені і, взагалі, будь-які елементарні функції.

Класифікація точок розриву.

Означення. Функція називається розривною в точці , якщо порушується хоча б одна із трьох умов ( 1), 2) або 3) )неперервності в цій точці.

В залежності від того, яка із умов порушується, а яка виконується, здійснюється класифікація точок розриву.

Означення. Якщо виконується умова 2): і порушуються умова 3) або 1) і 3), тоназиваютьточкою усувного розриву («прокол»).

Відзначимо, що у цьому випадку можна доозначити або переозначити функцію в точці по неперервності.

Приклад. Розглянемо функції:

на проміжку ;

в околі точки .

Розв’язування.

Розглянемо тепер випадок, коли порушується умова 2) існування границі функції в точці.

Означення. Якщо в точці існують, але не співпадають односторонні границі:, тоназиваютьточкою розриву першого роду («стрибок»).

Приклад. Розглянемо функцію в околі точки.

Розв’язування.

Означення. Якщо в точці не існує хоча б одна із односторонніх границь:, тоназиваютьточкою розриву другого роду.

Приклад. Розглянемо функцію в околі точки.

Розв’язування.

Приклад. Дано функцію

Знайти значення параметра , при якому функція неперервна в точці. Дослідити отриману функцію на неперервність.

Розв’язування.

Властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку.

Теорема (про корінь фнкції). Якщо функція неперервна на сегментіі на його кінцях набуває значень різного знаку, тоді на інтервалііснує корінь функції, тобто.

Графічна ілюстрація:

Теорема (Вейерштрасса). Якщо функція неперервна на сегменті, то вона досягає на цьому сегменті своїх найбільшого та найменшого значень, тобто

.

Графічна ілюстрація:

Теорема (про проміжне значення). Якщо функція неперервна на сегменті, то вона набуває на цьому сегменті будь-якого значення між своїми найменшимта найбільшім, тобто

.

Графічна ілюстрація: