начерт.геометрия / Лекции нг / лекция 5

ЛЕКЦИЯ 5

СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА

  5. 1.     Необходимость преобразований комплексного чертежа

  5.2.     Задачи на преобразование комплексного чертежа

  5.3.     Пути осуществления преобразования комплексного чертежа

5.1. Необходимость преобразований комплексного чертежа.

Трудоемкость и, как следствие, точность графического решения задач часто зависят не только от сложности задач, но и от того, какое положение занимают геометрические фигуры, входящие в условие задачи, по отношению к плоскостям проекций.

Проецируемая фигура может занимать по отношению к плоскостям проекций произвольное, или частное положение.

В первом случае, как правило, получаются проекции, неудобные для решения задач. Решение задачи значительно упрощается, когда мы имеем дело с частным расположением геометрических фигур относительно плоскостей проекций. Наиболее выгодным частным положением проецируемой фигуры при ортогональном проецировании следует считать:

1) положение, перпендикулярное к плоскости проекций – при решении позиционных задач;

2) положение, параллельное плоскости проекций – для решения метрических задач.

Таким образом, при решении той или иной задачи бывает целесообразно привести фигуру к частному положению.

Переход от общего положения геометрической фигуры к частному можно осуществлять изменением взаимного положения проецируемой фигуры и плоскости проекции. При ортогональном проецировании это может быть достигнуто двумя путями:

1) перемещением в пространстве проецируемой фигуры, по отношению к плоскости проекций.

2) выбором новой плоскости проекций, по отношению к проецируемой фигуре.

Первый путь лежит в основе плоскопараллельного перемещения; второй – составляет теоретическую базу способа замены плоскостей проекций.

  5.2.     Задачи на преобразование комплексного чертежа

Все метрические и позиционные задачи можно свести к одной из следующих четырех задач.

Задача №1. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы прямая общего положения АВ оказалась параллельной одной из плоскостей проекций т.е. прямой уровня (горизонталь или фронталь) новой системы.

Д

Рис. 5.1. Изображение преобразования прямой общего положения в прямую положения уровня: а) в пространстве; б) на комплексном чертеже

а)

б)

ля решения задачи необходимо заменить плоскость проекций П₁, или П₂ новой плоскостью проекций П₄, параллельной прямой АВ и перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций. Для того чтобы прямая АВ в новой системе плоскостей проекций стала, например, фронталью, нужно заменить фронтальную плоскость проекций П₂ новой плоскостью П₄ П₁ и параллельной прямой АВ. Рассмотрим подробно этапы построения на комплексном чертеже (рис. 5.1), необходимые для решения первой основной задачи на преобразование комплексного чертежа: 1) провести новую ось проекций х₁₄ параллельно А₁В₁ на произвольном расстоянии от нее; такое положение оси х₁₄ обусловливается тем, что П₄ параллельна АВ. В частном случае, если плоскость П₄ проведена непосредственно через прямую АВ, ось х₁₄ = А₁В₁; 2) выбрать на прямой две точки А(А₁А₂) и В(В₁В₂); 3) построить проекции точек А и В на плоскости П₄; 4) Рис. 5.1. Преобразование прямой общего положения в прямую уровня

прямая А₄В₄ является проекцией прямой АВ на плоскость П₄. Прямая AB в новой системе плоскостей проекций П₁/П₄ является фронталью,

Отрезок [АВ] прямой проецируется на плоскость П₄ в истинную величину, т.е. | А₄В₄ | = | АB |, - величина угла наклона прямой АВ к плоскости П₁.

3

Рис. 5.2

адача 2. Преобразовать линию общего положения АВ в проецирующую прямую. Решение.

Рис. 5.2

Для решения задачи заменяем плоскость П₂ исходной системы П₂/П₁ плоскостью П₄  А₁В₁, при этом плоскость П₄ будет перпендикулярна П₁ так как АВ  П₄ и образует с ней новую систему плоскостей проекций П₁/П₄. Построения на комплексном чертеже: 1) проводим новую ось проекций х₁₄  А₁В₁; 2) построим проекции точек А и В на плоскости П₄, взяв координаты точек из плоскости П₂. 3) Заменим плоскость П₁ на новую П₅, которая будет П₄ и А₄В₄. Для этого проводим новую ось проекций х_4,5. Так как расстояния точек А и В до плоскости П₄ одинаковы, то проекции их на плоскости П₅ совпадут, А₅ ≡ В₅. Прямая АВ (А₅В₅) в новой системе плоскостей проекций заняла проецирующее положение и является горизонтально проецирующей. Прямую общего положения преобразовать в проецирующую заменой только одной плоскости проекций нельзя, так как плоскость П₅ перпендикулярная прямой, не будет перпендикулярна ни одной из старых плоскостей проекций, и, следовательно, не образует ни с одной из них прямоугольной системы плоскостей проекций.

Для того чтобы прямую общего положения преобразовать в проецирующую, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций. Вначале прямую следует преобразовать в линию уровня, а затем линию уровня преобразовать в проецирующую. На рис.5.2 показано преобразование прямой АВ общего положения в горизонтально проецирующую.

Задача №3. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость общего положения в новой системе плоскостей проекций стала проецирующей (рис. 5.3).

Р

Рис. 5.3. Преобразование плоскости общего положения в проецирующую

ешение. Для решения задачи необходимо заменить плоскость П₁ или П₂ исходной системы П₂/П₁ новой плоскостью П₄, перпендикулярной плоскости (АВС). Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Следовательно, если какую-либо прямую, принадлежащую плоскости , преобразовать в проецирующую, то плоскость в новой системе плоскостей проекций станет проецирующей. Проще всего для этой цели воспользоваться линией уровня.

На чертеже плоскость (АВС) преобразована во фронтально проецирующую (см. рис. 5.3) путем преобразования горизонтали h(h₁,h₂), принадлежащей плоскости , во фронтально- проецирующую прямую. Все построения, выполненные на комплексном чертеже, выполнены на основе материала данного параграфа. В новой системе плоскостей проекций П₁/П₄ плоскость является фронтально проецирующей ( 4), и поэтому ее проекция на П₄ вырождается в прямую линию ₄ (С₄, А₄, В₄). - величина угла наклона плоскости к плоскости П₁. Задача №4. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость общего положения стала параллельной одной из плоскостей проекций (плоскостью уровня) новой системы.

Рис. 5.4. Решение 4-й задачи на преобразование плоскости

Плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня заменой только одной плоскости проекций нельзя, так как плоскость П₄, параллельная ей, не будет перпендикулярна ни одной из старых плоскостей проекций и, следовательно, не образует ни с одной из них прямоугольной системы плоскостей проекций. Для того чтобы плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций. Вначале плоскость необходимо преобразовать в проецирующую, т. е. решить задачу 3, а затем проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня. На рис. 5.4 показано преобразование плоскости ∆(АВС) в горизонтальную плоскость уровня. Допустим, что заданная плоскость Г является фронтально проецирующей (рис. 5.5). Заменим плоскость П₁ новой плоскостью проекций П₄, параллельной

плоскости Г (∆АВС) и, перпендикулярной незаменяемой плоскости П₂. В новой системе плоскостей проекций П₂/П₄ плоскость Г (АВС) станет горизонтальной плоскостью уровня. Построения на комплексном чертеже:

1) проводим новую ось проекций х₂₄ параллельно А₂С₂ на произвольном от нее расстоянии; такое положение оси проекций х₂₄ обусловливается тем, что П₄ параллельна Г (АВС). Ось х₂₄ совпадает с прямой (А₂С₂), если плоскость П₄ совмещается с плоскостью Г (АВС);

2) построим проекции точек А, В и С на плоскость П₄;

Рис. 5.5. Решение четвертой задачи на преобразование комплексного чертежа

3) треугольник А₄В₄С₄ является проекцией треугольника АВС на плоскость П₄. Примечание. Так как плоскость треугольника АВС параллельна П_4, значит отображение этого треугольника на П₄ будет в натуральную величину.

В данном курсе лекций рассматривается только способ замены плоскостей проекций.

Вопросы для самоконтроля

1. Как нужно располагать дополнительные плоскости проекций, чтобы прямую общего положения преобразовать в: а) прямую уровня; б) проецирующую прямую.

2. Как нужно располагать дополнительные плоскости проекций, чтобы плоскость общего положения преобразовать в: а) проецирующую; б) плоскость уровня ?

3. Какие основные метрические задачи можно решать с помощью дополнительного проецирования ?

4. Какие метрические задачи относят к основным ?