Лекция 3 взаимное расположение геометрических элементов. Основные позиционные задачи

3.1. Определение позиционных задач

3.2. Метод конкурирующих точек

3.3. Прямая и точка

3.4. Взаимное положение прямых

5. . Прямая и точка в плоскости

6. . Взаимное положение прямой и плоскости

7. . Пересечение плоскостей

8. . Пересечение прямой плоскостью

3.1. Определение позиционных задач

Позиционными задачами называются такие задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических фигур относительно друг друга.

3.2. Метод конкурирующих точек

Метод конкурирующих точек используется в начертательной геометрии для определения взаимной видимости двух геометрических фигур.

Конкурирующими точками на- зываются такие точки пространства, у которых совпадают какие-либо две одноименные проекции.

На рис. 3.1 показаны конкури- рующие точки А и В (совпадают горизонтальные проекции А₁≡В₁) и C и D (совпадают фронтальные про- екции С₂≡D₂).

Метод конкурирующих точек заключается в определении взаим- ной видимости точек по их несов- падающим проекциям.

Рис. 3.1. Конкурирующие точки

Точка В находится выше точки А относительно плоскости π₁ (Z_B>Z_A), поэтому на плоскости π₁ видна точка В, которая закрывает точку А (считается, что наблюдатель смотрит на плоскости проекций из бесконечности и направление луча зрения параллельно проецирующему лучу S).

На плоскости π₂ видна точка D, т. К. она находится ближе к наблюдателю (дальше от плоскости π₂, Y_D>Y_C) и закрывает невидимую точку С.

Методом конкурирующих точек пользуются при определении видимости пересекающихся геометрических фигур.

3.3. Прямая и точка

Из инвариантного свойства 3 следует, что проекции точки К (К₁, К₂ и К₃) принадлежащие прямой а, должны принадлежать соответствующим проекциям этой прямой т. е. Если хотя бы одна проекция точки не принадлежит соответствующей проекции прямой, то эта точка не принадлежит прямой.

Из инвариантного свойства 4 следует, что проекции точки К (К₁, К₂ и К₃), принадлежащие прямой АВ (А₁В₁, А₂В_2, А₃В₃), делят соответствующие проекции отрезка в том же отношении, в каком точка К делит отрезок АВ (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Изображение принадлежности точек А, В, К прямой а

Точки А и В, принадлежащие прямой а, и точки C, D и E, которые лежат вне этой прямой показаны на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Пример рассмотрения принадлежности точек прямой

3.4. Взаимное положение прямых

Две прямые в пространстве могут пересекаться, скрещиваться и могут быть параллельны.

1. Пересекающиеся прямые

Пересекающимися прямыми называются такие которые имеют одну общую точку.

Из инвариантного свойства 5 следует, что проекция точки пересечения проекций прямых а и b есть точка пересечения этих прямых (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Пересекающиеся прямые