2.3 Теоретические основы метода конечных элементов.

Одним из основных методов расчета прочностных и динамических характеристик судовых конструкций является метод конечных элементов (МКЭ). В значительной мере это объясняется наличием машинных программ, обладающих высокой степенью автоматизации трудоемких операций составления и решения систем алгебраических уравнений, автоматизации сеточного представления области, минимумом требований к исходной информации.

МКЭ дает возможность достаточно полно учесть геометрические формы и реальные условия работы конструкций, распределение в пространстве и изменение во времени внешних нагрузок, граничные условия, температурные факторы, а также физические свойства используемых в конструкциях различных материалов.

Рис.2.3.1. Типы конечных элементов, используемых для разбиения двумерных областей.

Основная идея метода конечных элементов состоит в том, что рассчитываемая конструкция (одномерная или многомерная) разделяется на ряд простейших по форме частей – элементов. Размеры элементов малы по сравнению с размерами всей конструкции, но имеют конечные значения. Отсюда и название метода, подчеркивающее его отличие от методов теории упругости, где при составлении уравнений равновесия тело делится на бесконечно малые элементы, из-за чего поведение тела описывается системой дифференциальных уравнений, тогда как МКЭ – системой линейных алгебраических уравнений.

Процедура метода состоит из следующих основных операций.

2.3.1. Дискретизация конструкции.

Разбиение конструкции (области), на конечные элементы не имеет теоретического обоснования. Использование слишком мелких элементов, хотя, как правило, и повышает точность, приводит к увеличению общей трудоемкости расчета. Поэтому лишь в тех частях конструкции, в которых можно ожидать резкого изменения параметров, следует использовать мелкую разбивку на элементы.

Выбор типа, формы элемента и числа его узловых точек зависит от характера задачи, от той точности решения, которую требуется обеспечить. Например, при расчёте стержневых конструкций область разбивается на одномерные конечные стержневые элементы, взаимосвязанные в узловых точках. При расчёте двумерных тел (пластины, оболочки) область, занятая телом, разбивается на треугольные или четырёхугольные элементы (рис.2.3.1). Если рассматривается трёхмерная область (тело), то обычно она идеализируется с помощью элементарных тетраэдров, прямоугольных параллелепипедов либо неправильных шестигранников.

2.3.2. Выбор основных неизвестных и основные разновидности мкэ.

Система взаимосвязанных в узловых точках конечных элементов статически неопределима. Для раскрытия статической неопределимости используем метод конечных элементов в форме перемещений. В этом варианте за основные неизвестные принимаются перемещения узловых точек (линейные и угловые). Для определения этих неизвестных составляется необходимое число уравнений равновесия узловых точек. Узловые усилия взаимодействия между смежными конечными элементами, которые войдут в эти уравнения, выражаются с помощью специально построенных матриц через неизвестные узловые перемещения. В результате получим систему уравнений для определения основных неизвестных – узловых перемещений.

Рис.2.3.2.1 Типы элементов, используемых для разбиения объёмных тел.

В варианте метода сил за основные неизвестные принимаются узловые усилия взаимодействия между элементами в узловых точ­ках. Для их определения составляются уравнения совместности перемещений в узловых точках. Компоненты узловых перемещений затем выражаются через узловые усилия. В результате получаем систему алгебраических или дифференциальных уравнений (для задач нестационарной динамики) для определения основных не­известных — узловых усилий.

Как правило, порядок системы уравнений в методе сил оказы­вается выше, чем в методе перемещений. В этом кроется одна из основных причин того, что сегодня при расчете сооружений преи­мущественно используется МКЭ в варианте метода перемещений. Этому варианту МКЭ ниже будет уделено основное внимание.

Однако следует заметить, что в последние годы начинает завое­вывать популярность и смешанный метод, в котором часть неизвест­ных является перемещениями, а другая часть — узловыми уси­лиями взаимодействия между смежными конечными элементами.