14. 4. Критерий Найквиста

Представляет собой графический способ определения устойчивости замкнутой системы по АФХ разомкнутой системы. Условие устойчивости замкнутой системы сводится к требованию, чтобы АФХ разомкнутой системы не охватывала точку (-1, j0).

В передаточную функцию разомкнутой системы (9.1) подставим p=jω:

(14.11)

Представим выражение (14.11) в виде W(jω)=U_p(ω) +jV_p(ω):

(14.12)

Построим АФХ разомкнутой системы.

АФХ охватывает точку с координатой (-1, j0), значит система будет неустойчива в замкнутом состоянии, как и в предыдущих случаях. Все критерии дали схожий результат.

15. Д – разбиение в плоскости одного варьируемого параметра

Запишем характеристический полином L(p):

(15.1)

Д

(15.2)

ля построения области устойчивости, предположим, что система находится на границе устойчивости, т. е.L(jω)=0.

= 0

Запишем (15.2) в виде k_υ(jω) =U_kυ(ω) +jV_kυ(ω):

(15.3)

(15.4)

(15.5)

По построенному графику можно судить о том, к какой области система устойчива. Система устойчива при k_υє(-1; 16,392).k_υгран= 16,392 - система находится на границе устойчивости. Система неустойчива приk_υ >16,392.

16. Переходной процесс в нескорректированной системе по методу Солодовникова в. В.

Пересчитаем коэффициент k_эуне данный в задании на расчёт в соответствии с разделом 13, при выбореk_υв области устойчивости. Примемk_υ= 5.

По заданию на расчёт задан закон изменения возмущающего воздействия, т. е. f(t) = 1(t). Запишем передаточную функцию САР по возмущающему воздействию, (9.5):

Произведём замену p=jωи, как в предыдущих разделах выделим из получившегося выражения реальную и мнимую часть:

Выделим действительную часть из выражения:

Построим ВЧХ используя выражение U_фMc(ω) и аппроксимируем ломаной линией (разобьем ВЧХ на трапеции). Составим таблицу для параметров трапеции.

Построим кривую переходного процесса САР, воспользовавшись параметрами трапеций и следующими выражениями:

t

Показатели качества регулирования:

1. Величина ступенчатого сигнала на входе h_f(∞) = 0,6;

2. Ширина трубки 2Δ: Δ = (1÷5)% h_f(∞)

3. Время регулирования или время завершения переходного процесса (время от момента подачи ступенчатого воздействия до момента входа в трубку): t_п= 0,85 с;

4. Перерегулирование (характеризует близость к границе колебательной устойчивости):

5. Показатель колебательности:

Показатели качества регулирования свидетельствуют о том, что система нуждается в коррекции (они не удовлетворяют заданным значениям в задании на проектирование).

17. Синтез последовательного корректирующего устройства.

Для обеспечения заданных показателей качества, введем в структуру САР последовательное корректирующее устройство (ПКУ). Данное устройство должно обеспечить в системе требуемое значение перерегулирования, длительности переходного процесса, а так же необходимый запас устойчивости по амплитуде и фазе.

Синтез корректирующего звена произведём методом логарифмических частотных характеристик.

17.1 Построение лачх исходной системы.

Запишем ПФ исходной системы:

Здесь:

Определим сопрягающие частоты:

Отложим частоты сопряжения на графике. Первая асимптота при = 1 должна проходить через точкуL(1)=20log(K_P)=56,89 дБ. Проведем первую асимптоту с наклоном 0^дБ/_дек до₁.Вторая ассимптота проидёт от ₁ до ₂ с наклоном20^дБ/_дек; третьяот₂до₃с наклоном40^дБ/_дек; четвёртаяот₃до₄ с наклоном60^дБ/_дек; пятаяот₄до₅ с наклоном80^дБ/_дек, шестая пройдёт от₅до бесконечностис наклоном100^дБ/_дек. То есть на каждой сопрягающей частоте кривая ЛАЧХ изламывается на20,^дБ/_дек.

17.2 Построение желаемой ЛАЧХ.

Определим параметры желаемой ЛАЧХ. Для данного значения показателя колебательности М=1.2 определяем перерегулирование по графику σ=20%. Затем определяем из графика коэффициент К и по получившейся формуле интервал положительности:

Теперь необходимо выбрать _ср, как _ср = (0,6  0,9)_p, но получившееся значение частоты среза не удовлетворяет условию времени регулирования, поэтому мы будем сдвигать частоту среза вправо до тех пор пока переходный процесс не будет заканчиваться за требуемое время. Выберем частоту среза равной 100, с^-1.

Используя заданный показатель колебательности, определим необходимый запас по фазе и положение прямыхG_maxиG_min

Используя вычисленные значения, производим построение.

На оси частот откладываем _cp, через данную точку проводим прямую под наклоном -20, ^дБ/_дек. Такой наклон L_ж(ω) в среднечастотной области позволяет получить заданные показатели устойчивости. При более большем наклоне будет сложнее обеспечить устойчивость системы.

Параллельно оси частот проводим прямые через точки G_max и G_min (на оси L()). Точки пересечения этих прямых с прямой, проведенной через _cp, проецируя их на ось частот получаем точки _Gmax и _Gmin, где G_max и G_min  необходимый запас устойчивости по амплитуде. На промежутке от _Gmax до _Gmin строим запретную область с  = 56,443.

Производим сопряжение прямой проходящей через _cp с исходной ЛАЧХ. В низкочастотной области сопряжение производим с разностью наклона 40, ^дБ/_дек, при этом необходимо чтобы запас по фазе на частоте _Gmax был больше . Если запас по фазе не выполняется, точку сопряжения смещают влево до тех пор, пока не будет выполняться запас по фазе. В высокочастотной области желаемую ЛАЧХ строим параллельно исходной. При этом так же надо следить за тем, чтобы выполнялся запас по фазе на частоте _Gmin. Если он не выполняется, частота сопряжения сдвигается вправо. Запасы устойчивости по фазе определяются из формул:

(_Gmax) = 180+(_Gmax) = 180– 2arctg(_Gmax/₁) +arctg(_Gmax/₂)=87.67°, что больше необходимого запаса по фазе,

(_Gmin) = 180+(_Gmin) = 180– 2arctg(_Gmin/₁) +arctg(_Gmin/₂) – – 3arctg(_Gmin/₃)=67.864°, что больше необходимого запаса по фазе;

где _{1 ,} _{2 ,} ₃– частоты сопряжения желаемой ЛАЧХ.

Построение желаемой ЛФЧХ осуществляется в соответствии с выражением:

() = – 2arctg(/₁) + arctg(/₂) – 3arctg(/₃).

Желаемая ЛФЧХ не должна попадать в запретную область.