14. 3. Критерий Михайлова

Критерий Михайлова основан на рассмотрении полинома L(p), при построении АФХ (годограф Михайлова).

(14.6)

U_L(ω) – действительная часть, полученная из членовL(p), содержащих чётные степени р;

V_L(ω) – мнимая часть из членовL(p) с нечётными степенями р.

Годограф Михайлова строят при подстановке ω в U_L(ω), V_L(ω) определяя точки на плоскости. при ω = 0, (jω) = an. При ω→∞, L(jω) неограниченно возрастает. Годограф начинается от действительной оси.

По критерию Михайлова система устойчива, если годограф L(jω) начинается на действительной положительной полуоси, огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно nквадрантов (n– порядок системы).

Запишем полином L(p), как функцию частоты. В уравнение (14.4) подставляем p = jω:

(14.7)

З

(14.8)

апишем уравнение (14.7) в виде (14.6):

П

(14.9)

(14.10)

остроим годограф, исходя из заданных значений ω, подставляя их в (14.9) и (14.10).

Годограф не охватывает начало координат и нарушает порядок обхода квадрантов, следовательно система неустойчива.

14. 4. Критерий Найквиста

Представляет собой графический способ определения устойчивости замкнутой системы по АФХ разомкнутой системы. Условие устойчивости замкнутой системы сводится к требованию, чтобы АФХ разомкнутой системы не охватывала точку (-1, j0).

В передаточную функцию разомкнутой системы (9.1) подставим p=jω:

(14.11)

Представим выражение (14.11) в виде W(jω)=U_p(ω) +jV_p(ω):

(14.12)

АФХ охватывает точку с координатой (-1,j0), значит система будет неустойчива в замкнутом состоянии, как и в предыдущих случаях. Все критерии дали схожий результат.

15. Д – разбиение в плоскости одного варьируемого параметра

Запишем характеристический полином L(p):

(15.1)

Д

(15.2)

ля построения области устойчивости, предположим, что система находится на границе устойчивости, т. е.L(jω)=0.

Запишем (15.2) в виде k_υ(jω) =U_kυ(ω) +jV_kυ(ω):

(15.3)

Система устойчива при k_υє(-1; 4,779).k_υгран= 4,779 - система находится на границе устойчивости. Система неустойчива приk_υ >4,779

16. Переходный процесс нескорректированной системы

_{Для построения переходного процесса нескорректированной системы возьмем коэффициент усиления разомкнутой системы из области устойчивости. Пусть К=3.}

_{По заданному управляющему воздействию (1(t))найдем h(t). Для этого запишем передаточную функцию замкнутой системы по управляющему воздействию:}

_{Перейдем к частоте через p=jω и выделим вещественную часть:}

Построим ВЧХ используя выражение U_фMc(ω) и аппроксимируем ломаной линией (разобьем ВЧХ на трапеции).

Составим таблицу для параметров трапеции.

№
1	0,22	48	15
2	0,02	56	48
3	0,16	64	56
4	1,16	92	64
5	0,22	101	92
6	0,13	111	101
7	0,1	128	111
8	0,04	150	128
9	0,005	240	150

Разложим передаточную функцию разомкнутой не скорректированной системы на множители:

Здесь:

Определим частоты сопряжения и отметим их на графике:

Отмечаем эти частоты на графике и начинаем построение ЛАЧХ следующим образом: первая асимптота при  = 1 должна проходить через точку L(1)=20log(K)=69,6 дБ. Проведем первую асимптоту с наклоном 0 дБ/дек до 1. Вторая асимптота пройдёт от 1 до 2 с наклоном 20 дБ/дек; третья  от 2 до 3 с наклоном 40 дБ/дек; четвёртая  от 3 до 4 с наклоном 60 дБ/дек; пятая  от 4 до бесконечности с наклоном 80 дБ/дек. То есть на каждой сопрягающей частоте кривая ЛАЧХ изламывается на 20, дБ/дек.

ЛФЧХ имеет вид:

Для заданной системы определим основные показатели качества регулирования: t_p = 0,5 с и σ = 25 % заданы изначально.

Запас устойчивости по амплитуде и фазе считаем по формулам:

для чего определяем по графику =f(M) показатель колебательности M=1,4.

Для исходной системы t_p = 3,9 с и σ = 50 % определяются по графику переходного процесса.

Находим запас устойчивости по фазе:

Запас устойчивости по амплитуде считаем по формулам для M=2,5

Полученные выражения сводим в таблицу:

	σ,%	M	tp	ΔXст		L1	L2
Задано	35	---	0,8	0,6	35	7,36	-3,92
В исходной системе	50	---	3,9	0	25	4,44	-2,92

Таким образом, из таблицы видно, что необходимый запас по фазе и модулю отсутствует. Показатели качества регулирования свидетельствуют о том, что система нуждается в коррекции (они не удовлетворяют заданным значениям в задании на проектирование).