Анализ структурной устойчивости.

Исследование структурной устойчивости на ранних этапах проектирования позволяет обеспечить исследование системы и производить выбраковку структурно – неустойчивых систем на первых этапах проектирования.

ПФ разомкнутой системы:

W(p)=

Т.к. числитель ПФ разомкнутой системы не содержит форсирующих звеньев, то необходимым и достаточным условием структурной устойчивости является:

q + t < 2

n > 4r , где q – количество сомножителей вида p в знаменателе, характеризующих количество идеальных интегральных звеньев; t – количество неустойчивых звеньев вида (Tp – 1); r – число консервативных звеньев вида (); n – порядок полинома знаменателя.

Тогда для нашей системы имеем:

q = 1; t = 0; r = 0; n = 4 1 + 0 < 2 1 < 2

4 > 40 4 > 0

Отсюда видно, что система структурно устойчива. Структурно устойчивой называется такая система, в которой за счет изменения var параметров можно обеспечить устойчивый режим работы.

Расчет добротности системы.

Добротность системы рассчитывается по формуле:

, где _max – максимальная скорость слежения 1,0 град/с; _max – максимальная ошибка слежения 0,3 углмин.

Переведем _max в систему СИ : 0,3 углмин = 0,005 углс.

с^-1.

Расчет незаданного коэффициента усиления.

В данной системе это будет электронный усилитель.

K_v = K_и K_ЭУ K_Д K_ТГ

Отсюда видим , где K_Д – коэффициент передачи ДПТ по регулирующему воздействию 13 об/минВ = 0,22 об/Вс; K_ТГ – коэффициент тахогенератора 3 Вс/об; K_v – добротность системы; K_и – коэффициент передачи интегратора .

Предположим, что T_И = 1с, то тогда K_И = 1c^-1.

Подставим значения в формулу:

Анализ динамической устойчивости.

По критерию Рауса:

Рассмотрим L(p) – характеристический полином замкнутой системы.

При а₀ < 0 необходимым и достаточным условием САР является положительность всех коэффициентов первого столбца таблицы предложенной Раусом.

ri	1	2	3
- - r0 =a0/a1 r1 = a1/C31 r2 = C31/C41	a0 a1 C31= a2 – r0a3 C41= a3 – r1C32 C51 = a4	a2 a3 C34 = a4 0 0	a4 0 0 0 0

Заполним таблицу:

ri	1	2	3
- - 0,008 0,036	0,000064 0,00832 0,232 - 6,2 200	0,24 1 200 0 0	200 0 0 0 0

Т.к. С₄₁ < 0, то система в замкнутом состоянии неустойчива.

По критерию Гурвица:

Рассмотрим L(p) – характеристический полином замкнутой системы.

L(p) = a₀p⁴ + a₁p³ + a₂p² + a₃p + a₄.

Замкнутая система будет устойчива, если все частные определители матрицы коэффициентов будут положительны. Если хотя бы один определитель отрицателен, то система неустойчива.

Матрица Гурвица:

; ₁ = a₁=0,00832  0;

₄ = = -2,38  0.

Т.к. ₃ и ₄ отрицательны, то система в замкнутом состоянии не устойчива.

По критерию Михайлова:

Рассмотрим L(p) – характеристический полином замкнутой системы.

L(p) = a₀p⁴ + a₁p³ + a₂p² + a₃p + a₄.

L(j) = a₀⁴ - a₁j³ - a₂² + a₃j + a₄= ²(a₀²- a₂) + a₄- j(a₁²- a₃) = _L() – jV_L()

Оценка устойчивости производится по виду годографа Михайлова. Устойчивым системам соответствуют «правильные» годографы.

_L() = ²(a₀²- a₂) + a₄ и V_L() = (a₁²- a₃).

Подставляя дискретные значения , построим годограф Михайлова:

	0	5	10	12	15	18	20	22	25	28	30	32	35	38	40
	200	194	177	167	149	129	114	98	75	51	36	28,5	8,1	-3,5	-13
	0	-0,99	-1,68	2,4	13,1	30	47	67	105	155	195	322	418	352	454

Годограф Михайлова показан на рисунке, из него следует, что годограф Михайлова «неправильный». При изменении частоты от 0 до  годограф Михайлова должен поочередно проходить n – квадратов ( условие «правильного» годографа). Т.к. годограф «неправильный», то система в замкнутом состоянии неустойчива.

По критерию Найквиста:

Рассмотрим ПФ разомкнутой системы:

W(p)==

Подставим значение p = j и получим:

W(j)=

Система будет устойчивой в замкнутом состоянии при выполнении принципа аргумента f_W() = 0,т.е. АФХ разомкнутой системы не должна охватывать точку с координатами (-1,j0) при изменении частоты от 0 до .

U() =

V() =

АФХ разомкнутой системы показана на рис. Из АФХ видно, что принцип аргумента не выполняется f_W() = - 360 0. Отсюда следует что система в замкнутом состоянии неустойчива.

	()	V()
0 5 10 15 20 25 40 60 80	0 0,7 1,3 0,6 0,3 0,1 -1,5 -2 -3,8	0 -1,5 -3 -5,6 -6,5 -7,3 -9,2 -11,2 -13,6

Д- разбиение и построение области устойчивости нескоректированой САР.

В качестве параметра берем коэффициент усиления разомкнутой системы.

Характеристический полином замкнутой системы:

L(p) = 1+ W(p) = a₀p⁴ + a₁p³ + a₂p² + a₃p + a₄

Подставим значение p = j.

L(j) = a₀⁴ - a₁j³ - a₂² + a₃j + К

Решим уравнение относительно К:

К = - a₀⁴ + a₁j³ + a₂² - a₃j L(j) = 0

К = ²(-a₀²+ a₂) + j(a₁²- a₃) а₀ = 0,000064

К = _К() + jV_К() а₁ = 0,00832

_К() = ²(-a₀²+ a₂) а₂ = 0,24

V_К() = (a₁²- a₃) а₃ = 1

Найдем К_гр из условия V_К = 0:

(a₁²- a₃) = 0   = 0 и _2,3 =

_К() = (-a₀- a₂) = 27,92. К_гр  28

при   штриховка слева

при   -  штриховка справа.

Из построения области устойчивости нескоректированной САР следует, что система будет устойчива в замкнутом состоянии при 0 < К_гр< 28.

Если К_гр >28 – система теряет устойчивость; К = К_гр – система на границе колебательной устойчивости; К = 0 – система на границе апериодической устойчивости.

	()	V()
0 1 2 5 10 15 20 25 30	0 0,3 0,8 2 4 7 16 24 30	0 -0,5 -1,5 -2,5 -3,5 -4,3 -4 -1,5 1

Оглавление.

1. Введение……………………………………………………………стр. 1

2. Анализ исходных данных…………………………………..……стр. 2

3. Функциональная схема САР….…………………………………стр. 3

4. Анализ возмущающих воздействий…………………………….стр. 4

5. Принцип работы системы………………………………………..стр. 5

6. Классификация САР……………………………………..………..стр. 6

7. Позвенное аналитическое описание процессов в САР………...стр. 7

8. Структурная схема САР……………………………………………стр.11

9. Определение переходных функций системы……………………стр.12

10. Уравнение динамики замкнутой САР……………………………стр.13

11. Анализ структурной устойчивости……………………………….стр.15

12. Расчет добротности системы………………………………………стр.16

13. Расчет незаданного коэффициента усиления……………………стр.17

14. Анализ динамической устойчивости……………………………...стр.18

15. Д- разбиение и построение области устойчивости

нескоректированой САР………………………………………………..стр.21

16. Построение переходных процессов в нескоректированой САР.стр.23

17. Литература……………………………………………………………стр.29

Построение переходных процессов в нескоректированой САР.

Построение производится по методу Солодовникова В.В.

1). ПФ замкнутой системы по задающему воздействию:

Ф_y(p)==

Выбираем К = 15 ( из области устойчивости К< К_гр, К_гр = 28)

2). Подставим значение p = j в Ф_y(p):

Ф_y(j)=

3). Строим ВЧХ:

U() = а₀ = 0,000064

а₁ = 0,0083

а₂ = 0,24

а₃ = 1, а₄ = К = 15

	0	2	5	7	9	10	15	20	25	30	35
U()	1	1.1	1.4	1.8	-2.5	-1.6	-0.4	-0.2	-0.1	-0.01	0

4). Произведем аппроксимацию ВЧХ трапециидальными функциями, и определим параметры каждой трапеции, где r_0i – высота трапеции; _pi – частота равномерного пропускания частот; _пi – частота, характеризует диапазон пропускания частот;  = _пi/_pi – коэффициент наклона боковой стороны трапеции.

В результате аппроксимации ВЧХ мы получили 4 трапеции и следующие значения:

I r_0i = - 0.8 _пi = 3 _pi = 7  = 0.43

II r_0i = 4.3 _пi = 7 _pi = 9  = 0.77

III r_0i = - 1.5 _пi = 9 _pi = 11  = 0.82

IV r_0i = - 1 _пi = 11 _pi = 32  = 0.34

5). С учетом знаков полученных трапеций строим переходные процессы.