1. Оценка устойчивости по критерию Рауса

=

.

Запишим характеристический полином замкнутой системы:

L(p) = =

= 1,0810^-5p⁵ + 1,1110^-3p⁴ + 0,03p³ + 0,305p² + p + 160 =

= a₀ p⁵ + a₁ p⁴ + a₂ p³ + a₃ p² + a₄ p + a₅ .

Определяем коэффициенты:

а₀ = 1,0810^-5; а₁ = 1,1110^-3; а₂ = 0,03; а₃ = 0,305; а₄ = 1; а₅ = 160;

По найденным значениям составим таблицу Рауса.

Значение r	№ стр	Номер столбца
		1	2	3
---- -----	1	а0 = 1,0810-5	а2 = 0,03	а4 = 1
---- -----	2	а1 = 1,1110-3	а3 = 0,305	а5 = 160
r0 = a0/a1 = 0,00973	3	C13 = a2 – r0a3 = 0,027	C23 = a4 – r0a5 = – 0,55	C33 = 0
r1 = a1/C13 = 0,042	4	C14 = a3 – r1C23 = 0,328	C24 = a5 – r1C33 = 160	C34 = 0
r2 = C13 /C14 = 0,079	5	C15 = C23 – r2C24 = – 13,2	C25 = 0	C35 = 0
r3 = C14 /C15 = – 0,025	6	C16 = 0	C26 = 0	C36 = 0

Необходимым и достаточным условием устойчивости по критерию Рауса является положительность всех коэффициентов первого столбца :

а₀ > 0; а₁ >0; а₂ = 2,9410^-2; C₁₃ > 0; .. а_n > 0. В данной системе коэффициент C₁₅ является отрицательным, что свидетельствует о наличие правого корня в характеристическом полиноме замкнутой системы, т.е. система будет неустойчива.

2. Оценка устойчивости по критерию Гурвица

Используя коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы записанные выше, составим главный определитель:

из главного определителя выделяем частные:

Для данной системы кроме положительности всех определителей должны выполняться ещё два условия:

;

проверим их:

.

Итак, четвертый частный и главный определители отрицательны, а также не выполняется дополнительное условие. Из этого следует, что система неустойчива в замкнутом состоянии.

3. Оценка устойчивости по критерию Михайлова

Из записанного выше характеристического полинома замкнутой системы путем подстановки (р = j) получим характеристический комплекс:

L(j) = 1,0810^-5 j⁵ + 1,1110^-3 ⁴ – 0,03 j³ – 0,305 ² + j + 160 =

= U_L() + jV_L().

Отсюда: U_L() = 1,1110^-3⁴ – 0,305 ² + 160;

V_L() = 1,0810^-5 ⁵ – 0,03 ³ + .

Протабулировав эти две функции строим годограф Михайлова.

Годограф Михайлова а.В.

Система автоматического регулирования будет устойчивой в замкнутом состоянии, если при изменении  от 0 до  изменение фазы характеристического комплекса составит n.

В данном случае  _L() < n, годограф «неправильный», поскольку не огибает начало координат, а следовательно система будет неустойчива в замкнутом состоянии.

4. Оценка устойчивости по критерию Найквиста

Оценка устойчивости по критерию Найквиста производится по АФХ разомкнутой системы:

W(j) = A() e ^j() = U_L() + jV_L().

W(j) = = U_L() + jV_L().

U_L() = ;

V_L() =.

Протабулировав эти две функции строим АФХ разомкнутой системы.

АФХ разомкнутой системы

Для того, чтобы САР была устойчивой в замкнутом состоянии необходимо, чтобы АФХ разомкнутой системы не охватывала точку (–1; 0). Приведённая выше АФХ охватывает точку (–1; 0).

Астатическая система будет устойчива в замкнутом состоянии, если приращение фазы _W1() при изменении  от 0 до  с учетом дополняющей дуги бескончно большого радиуса, длина которой составляет r, будет удовлетворять условию _W1() = 0. Для указанной АФХ _W1() = 2, а следовательно система будет неустойчивой в замкнутом состоянии.

D - разбиение в плоскости одного варьируемого параметра

Запишем характеристический полином замкнутой системы:

L(p) = 1,0810^-5p⁵ + 1,1110^-3p⁴ + 0,03p³ + 0,305p² + p + 160 =

= a₀ p⁵ + a₁ p⁴ + a₂ p³ + a₃ p² + a₄ p + k .

Характеристический комплекс имеет вид:

L(j) = 1,0810^-5 j⁵ + 1,1110^-3 ⁴ – 0,03 j³ – 0,305 ² + j + k .

Предъявим к последнему выражению условие нахождения системы на границе колебательной устойчивости в соответствии с критерием Михайлова:

1,0810^-5 j⁵ + 1,1110^-3 ⁴ – 0,03 j³ – 0,305 ² + j + k = 0;

k = – 1,0810^-5 j⁵ – 1,1110^-3 ⁴ + 0,03 j³ + 0,305 ² – j = U_k() + jV_k().

U_k() = – 1,1110^-3 ⁴ + 0,305 ² ;

V_k() = – 1,0810^-5 ⁵ + 0,03 ³ – .

Протабулировав эти две функции строим линию, разбивающую комплексную плоскость на области устойчивых и неустойчивых значений варьируемого параметра (коэффициента усиления).

Из построенного D-разбиения видно, что при k = 9 система будет находиться на границе колебательной устойчивости. При больших коэффициентах усиления система будет неустойчивой, поэтому для достижения требуемых показателей качества необходимо корректирование САР.