14. Оценка устойчивости

Выполним анализ динамической устойчивости исходной САУ по критериям Рауса, Гурвица, Михайлова, Найквиста.

1. Критерий устойчивости Рауса.

Рассмотрим характеристический полином замкнутой системы:

Выпишем коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы: Заполним таблицу Рауса:

Значения R	№ стр.	№ столбца
		1	2	3
	1	a0=8,0310-7	a2=6,910-3	a4=0,52
	2	a1=1,9310-4	a3=9,2810-2	a5=134
r0=4,1610-3	3	c13=6,5110-3	c23=5,014	c33=0
r1=0,03	4	c14=0,09	c24=134	c34=0
r2=0,03	5	c15=-8,86	c25=0	c35=0
	6	c16=134	c26=0	c36=0

Согласно критерию Рауса замкнутая система устойчива, если все коэффициенты 1-го столбца положительны. Так как с₁₅=-8.86<0, то система неустойчива в замкнутом состоянии.

2. Критерий устойчивости Гурвица.

Составим определитель Гурвица.

Подставляя значения коэффициентов характеристического полинома замкнутой системы, получим:

Необходимым и достаточным условием устойчивости будет положительность всех частичных определителей .

Так как , условие устойчивости не выполняется, значит система неустойчива в замкнутом состоянии.

3. Критерий устойчивости Михайлова.

Запишем характеристический полином системы как функцию от частоты, то есть полагая :

В соответствии с полученными выражениями построим годограф Михайлова (рис.8).

Полученный годограф не охватывает точку (0,0) и нарушается порядок обхода квадрантов, следовательно согласно критерию Михайлова система неустойчива в замкнутом состоянии..

Рис.8

Годограф Михайлова

4. Критерий устойчивости Найквиста.

Для анализа устойчивости по критерию Найквиста необходимо выполнить построение АФХ разомкнутой системы.

Рассмотрим ПФ разомкнутой системы:

Заменяя Р на j, частотную ПФ разомкнутой системы:

Подставляя численные значения и раскрывая скобки, получим:

где

В соответствии с полученными выражениями построим АФХ разомкнутой системы (рис.9).

Кривая АФХ разомкнутой системы охватывает точку (1, j0), следовательно по Найквисту замкнутая система будет неустойчива.

Выполнив анализ динамической устойчивости САР по критериям Рауса, Гурвица, Михайлова, Найквиста можно сделать вывод – исходная САР является неустойчивой в замкнутом состоянии.

Рис.9

АФХ разомкнутой системы

15. Построение области устойчивости нескорректированной сар.

Выполним Д-разбиение в плоскости одного варьируемого параметра (К_Р).

Запишем характеристический полином замкнутой системы:

Полагая P = j получим:

Будем считать, что система находится на границе устойчивости L(j) = 0, тогда:

Область устойчивости системы показана на рис.10.

По построенному графику определим значение К_Р, при котором система теряет устойчивость:

К_Ргран=4.9. Т.е. при К_Р> 4.9 система будет неустойчивой.

К_Ргран

Построим переходный процесс нескорректированной системы. Для этого выберем значение K_Pиз области устойчивости: К_Р=3.

Пересчитаем К_2ЭМУдля нового К_Р:

Заданный закон изменения задающего воздействия: u₀(t)=1(t).

Запишем передаточную функцию замкнутой системы по задающему воздействию:

Полагая P = j получим:

Построим ВЧХ U_Uо(), а затем аппроксимируем ее на трапеции (рис.11, рис.12).

Определим параметры каждой трапеции:

№ трапеции
I	20	6,25	6,9
II	-3,73	1,3	5
III	3,73	5,75	6,25
IV	55,92	6,9	7,85
V	-36,92	8,15	9,85
VI	-12,5	9,85	12
VII	-4,3	12	15
VIII	-2,2	15	19

Составляющие переходного процесса можно определить в соответствии с выражением:

Подставляя в данное выражение параметры полученных трапеций выполним на ЭВМ построение составляющих переходного процесса, просуммируем их и получим кривую переходного процесса нескорректированной САР (рис. 13).

По построенному переходному процессу определим показатели качества регулирования:

На графике отметим трубку шириной 2, где =(1..5%)h_СК(). Для данного переходного процесса h_СК()=20, 2  20.5=1. Определим время регулирования t_P.

t_P – время от момента подачи ступенчатого воздействия до момента входа h(t) в трубку шириной 2. Для рассматриваемого переходного процесса

Определим величину перерегулирования. Перерегулирование определяется в соответствии с выражением:

Для рассматриваемого переходного процесса перерегулирование:

Из полученных данных видно, что система не удовлетворяет заданным показателям качества и нуждается в коррекции.

Рис.13

Составляющие переходного процесса в нескорректированной системе

t_P

2

16. Синтез последовательного корректирующего устройства.

Для обеспечения заданных показателей качества, введем в структуру САР последовательное корректирующее устройство (ПКУ). Данное устройство должно обеспечить в системе требуемое значение перерегулирования, длительности переходного процесса, а так же необходимый запас устойчивости по амплитуде и фазе.

Синтез корректирующего звена произведем методом логарифмических частотных характеристик. Описываемые ниже построения отображены на рис.14.

1. Построение ЛАХЧ исходной системы.

Запишем ПФ разомкнутой системы:

Здесь:

Определим сопрягающие частоты:

Отложим частоты сопряжения на графике. Первая асимптота при = 1 должна проходить через точкуL(1)=20log(K_P)=42.47 дБ. Проведем первую асимптоту с наклоном 0^дБ/_дек до₁.Вторая ассимптота проидёт от ₁ до ₂ с наклоном20^дБ/_дек; третьяот₂до₃с наклоном40^дБ/_дек; четвёртаяот₃до₄ с наклоном60^дБ/_дек; пятаяот₄до₅ с наклоном80^дБ/_дек, шестая пройдёт от₅до бесконечностис наклоном100^дБ/_дек. То есть на каждой сопрягающей частоте кривая ЛАЧХ изламывается на20,^дБ/_дек.

2. Построение желаемой ЛАЧХ.

Определим параметры желаемой ЛАЧХ. По графику определим Umax=1.17, Umin=1 – 1.17=-0.17. По зависимости tp=f(Umax) определим коэффициент К=3.1. Определим частоту среза желаемой ЛАЧХ:

_с=К^./ tp= 3.1^./ 0.3=32.5 с^-1

Для определения требуемых запасов устойчивости по фазе и амплитуде воспользуемся графиками l=f() и =f(). Для =25% необходимый запас по фазе =55, необходимый запас по амплитуде l=20дБ.

Используя вычисленные значения, производим построение.

На оси частот откладываем _c, через данную точку проводим среднечастотную асимптоту под наклоном -20, ^дБ/_дек. Такой наклон ЛАЧХ в среднечастотной области позволяет получить заданные показатели устойчивости.

Параллельно оси частот проводим прямые через точки L₁=20дБ и L₂=-20дБ на оси L() (L₁ и L₂ - необходимый запас устойчивости по амплитуде). Проецируя на ось частот точки пересечения этих прямых со среднечастотной асимптотой, получаем частоты _L1 и  _L2. На промежутке от _L1 до  _L2 строим запретную область с  = 55.

Производим сопряжение среднечастотной асимптоты с исходной ЛАЧХ. В низкочастотной области сопряжение производим с разностью наклона 40 ^дБ/_дек, при этом необходимо чтобы запас по фазе на частоте _L1 был больше . ₁=0.74 с^-1 – частота сопряжения низкочастотной асимптоты с исходной ЛАЧХ. ₂=2.22 с^-1 – частота сопряжения низкочастотной асимптоты со среднечастотной. Определим запас по фазе на частоте _L1:

(_L1)=180+(_L1)=180 – 2arctg(_L1/₁) + arctg(_L1/₂)=8043>55 - т.о. запас по фазе в низкочастотной области выполняется.

В высокочастотной области желаемую ЛАЧХ строим параллельно исходной. При этом так же надо следить за тем, чтобы выполнялся запас по фазе на частоте _L2. ₃=2000 с^-1 – частота сопряжения среднечастотной асимптоты с высокочастотной. Определим запас по фазе на частоте _L2:

(_L2) = 180 + (_L2) = 180 – 2arctg(_L2/₁) + arctg(_L2/₂) – – 4arctg(_L2/₃)=5615>55 - т.о. запас по фазе в высокочастотной области выполняется.

Построение желаемой ЛФЧХ осуществляется в соответствии с выражением:

() = – 2arctg(/₁) + arctg(/₂) – 4arctg(/₃).

Желаемая ЛФЧХ не должна попадать в запретную область (на рис . запретная область обведена синим прямоугольником)

3. Построение ЛАЧХ ПКУ.

ЛАЧХ ПКУ получаем, вычитая графически из желаемой ЛАЧХ ординаты ЛАЧХ исходной нескорректированной системы:

L_КУ() = L_Ж() – L().

По полученной L_КУ() запишем W_КУ(Р).

Из формулы видим, что порядок полинома числителя m = 6, порядок полинома знаменателя n = 6, т.е. m = n, следовательно КУ физически реализуемо.

Определим ПФ скорректированной системы.

ПФ разомкнутой системы:

Определим ПФ разомкнутой системы по возмущению:

Определим ПФ замкнутой системы по задающему воздействию:

Определим ПФ замкнутой системы по возмущающему воздействию:

Определим ПФ замкнутой системы по ошибке от задающего воздействия:

Определим ПФ замкнутой системы по ошибке от возмущающего воздействия:

17. Синтез принципиальной схемы последовательного корректирующего звена и расчёт его параметров.

Запишем ПФ синтезируемого звена:

Разобьем ПФ ПКУ на отдельные звенья для их последующей физической реализации:

Здесь k_ку3­  k_ку6  коэффициенты усиления электронного усилителя, в нашем случае все эти коэффициенты должны быть равны 1.

W_КУ1(Р) и W_КУ2(Р) реализуем на пассивных элементах. Для этого воспользуемся структурой, показанной на рис. 15.

Передаточная функция данного звена имеет вид:

Данное звено обеспечивает наклон ЛАЧХ –20дБ. W_КУ1(Р) должно обеспечивать наклон L_КУ() -40 дБ и поэтому должно содержать два подобных последовательно соединенных звена. W_КУ2(Р) должно обеспечивать наклон L_КУ() -20 дБ и поэтому должно содержать одно подобное звено.

Подбирая параметры элементов для W_КУ1(Р) получим:

R₁=0.6 МОм, R₂=0.3 МОм, С=1.5мкФ.

T₁=( 0.6+0.3) ^.10 ^{6 .}1.5^.10 ^–6=1.35 c

T₂=0.3 ^.10 ^{6 .}1.5^.10 ^–6=0.45 c

Подбирая параметры элементов для W_КУ2(Р) получим:

R₁=33 КОм, R₂=27 КОм, С=7.5мкФ.

T₁=( 33 +27) ^.10 ^{3 .}7.5^.10 ^–6=0.45 c

T₂=27 ^.10 ^{3 .}7.5^.10 ^–6=0.203 c

Далее требуется поднимать L_КУ(), т.е. изламывать её вверх. Для этого используем цепь, состоящую из активных звеньев, реализованных на операционных усилителях с коэффициентом усиления равным единице. Принципиальная схема подобного звена показана на рис.16.

Передаточная функция данного звена имеет вид:

где K=R₂/R₁=1 – коэффициент усиления операционного усилителя.

R₁= R₂=R; T₁=C₁^.R; T₂=C₂^.R.

Поскольку данное звено инвертирует сигнал, то КУ должно содержать чётное число таких звеньев.

Подбирая параметры элементов для W_КУ3(Р) получим:

R=9.1 КОм, С₁=18.5мкФ, С₂=55мкФ.

T₁= 9.1 ^.10 ^{3 .}18.5^.10 ^–6=0.17 c

T₂=27 ^.10 ^{3 .}7.5 ^.10^–6=0.0005 c

Подбирая параметры элементов дляW_КУ4(Р) получим:

R=3.5 КОм, С₁=20мкФ, С₂=140пкФ.

T₁= 3.5^.10 ^{3 .} 20^.10^–6=0.07 c

T₂=3.5 ^.10 ^{3 .} 140 ^.10^–9=0.0005 c

Подбирая параметры элементов для W_КУ5(Р) получим:

R=3.3 КОм, С₁=20мкФ, С₂=1.5мкФ.

T₁= 3.3 ^.10 ^{3 .}20 ^.10 ^–6=0.066 c

T₂=27 ^.10 ^{3 .}1.5^.10 ^–6=0.0005 c

Подбирая параметры элементов для W_КУ6(Р) получим:

R=50 КОм, С₁=0.1мкФ, С₂=10пкФ.

T₁= 50 ^.10 ^{3 .}0.1 ^.10 ^–6=0.005 c

T₂=50 ^.10 ^{3 .}10^.10 ^–9=0.0005 c

После определения номиналов всех звеньев, запишем передаточную функцию всего КУ:

Полученная ПФ совпадает с исходной ПФ корректирующего устройства. Произведем проверку правильности выбора структуры КУ. Для этого построим ЛАЧХ всех звеньев в отдельности, а затем просуммируем их (рис.17). Полученная кривая сравнивается с ЛАЧХ ПКУ, полученной при синтезе корректирующего устройства методом ЛАЧХ. Из рисунков видим, что данные ЛАЧХ совпадают, из чего можно сделать вывод, что структура ПКУ выбрана и рассчитана верно.

Принципиальная схема ПКУ реализованного на рассмотренных звеньях представлена на рис.18.

Рис.17

18. Построение переходных процессов по методу Солодовникова В.В. в скорректированной системе с учетом заданного закона изменения задающего воздействия.

После осуществления коррекции системы, необходимо проверить, удовлетворяет ли она заданным показателям качества регулирования. Для этого выполним построение переходного процесса. Заданный закон изменения задающего воздействия u₀(t)=1(t). Определим h_ск(t).

Запишем передаточную функцию замкнутой скорректированной системы по задающему воздействию:

Заменяя Р на j и подставляя численные значения, получим:

U_UоСК()=Re(Ф _UоСК()).

Построим при помощи ЭВМ ВЧХ скорректированной системы U_UоСК(), а затем аппроксимируем ее на трапеции (рис.18, рис.19).

По аппроксимированной ВЧХ скорректированной системы определим параметры каждой трапеции:

№
I	-0,654	0	2.5
II	20.9	15	60
III	3.5	60	80
IV	2.5	80	125
V	1.5	125	440
VI	-1.5	440	1000