Раздел 2. Гидростатика.

2.1. Напряженное состояние покоящейся жидкости.

Рассмотрим массу М жидкости, находящейся в состоянии по­коя (рис. 4) (в общем случае относительного покоя, когда жидкость находится в резервуаре, который движется с ускорением относительно Земли, и неподвижна по отношению к резервуару).

Рассечем объем, занимаемый жидкостью, произвольной плос­костью на две части, содержащие соответственно массы М₁ и М₂ и отбросим одну из частей объема, например правую. Чтобы сохра­нить равновесие оставшейся в левой части массы жидкости М₁, необходимо приложить к ней силу, эквивалентную действию от­брошенной массы М₂. Эта сила должна быть распределенной по площади рассечения S. Напряжение этой силы в произвольной точке А площади S определяется соотношением

(2.1)

Где Δ P – сила, действующая на площадку ΔS. При предельном переходе площадка ΔS стягивается в точку Α; ΔS – элементарная площадка на площади рассечения, содержащая произвольную точку Α.

Покажем, что сила ΔР и напряжение р направлены по внутрен­ней нормали к площадке ΔS. Действительно, если бы сила ΔР была направлена не по нормали к площадке ΔS, то эту силу можно было бы разложить на составляющие: нормальную и касательную к площадке ΔS. Из-за текучести жидкости касательная составляю­щая привела бы жидкость в движение, т. е. в этом случае равнове­сие жидкости было бы невозможно.

Так как жидкость не сопротивляется растягивающим усилиям, то сила ΔР может быть только сжимающей. Таким об­разом, по любой поверхности S, проведенной внутри покоящейся жидкости, всегда действует только распределенная сжимающая сила.

Нормальное напряжение поверхностных сил в покоящейся жидко­сти направлено всегда по внутренней нормали к площадке действия.

Через произвольную точку А покоящейся жидкости можно провести бесчисленное множество секущих поверхностей, по разному ориентированных в простран­стве. На любой из них можно выбрать площадку ΔS, содержащую точку А, и вычислить нормальное напряжение При этомр_А всегда направлено по внутренней нормали к пло­щадке ΔS, т. е. направление р зависит от того, на какой из секущих поверхностей выбрана площадка ΔS.

Как уже указывалось выше, в покоящейся жидкости возможен лишь один вид напряжений — напряжение сжатия, т. е. гидростатическое давление.

Необходимо иметь в виду следующие два свойства гидростатического давления в жидкости:

1. На внешней поверхности жидкости гидростатическое давление всегда направлено по нормали внутрь рассматриваемого объема жидкости. Это свойство непосредственно вытекает из определения давления, как напряжения нормальной сжимающей силы. Под внешней поверхностью жидкости следует понимать не только поверхности раздела ее с внешней средой, но и поверхности элементарных объемов, мысленно выделяемых нами из общего объема жидкости.

2. В любой точке внутри жидкости гидростатическое давление по всем направлениям одинаково, т. е. давление не зависит от угла наклона площадки, на которую оно действует в данной точке.

Для доказательства этого свойства выделим в неподвижной жидкости элементарный объем в форме прямоугольного тетраэдра с ребрами, параллельными координатным осям и соответственно равнымиdx, dy и dz (рис. 5).

Пусть вблизи выделенного объема на жидкость действует единичная массовая сила, составляющие которой равны .

Обозначим через р_х гидростатическое давление, действующее на грань, нормальную к оси ох, через р_у — давление на грань, нормальную к оси оу, и т.д. Гидростатическое давление, действующее на наклонную грань, обозначим через р_n , а площадь этой грани – через dS. Все эти давления направлены по нормалям к соответствующим площадкам.

Составим уравнение равновесия выделенного объема жидкости сначала в направлении оси ох.

Напряжение p в точках покоящихся жидкостей представляет собой необычный вектор, так как направление этого вектора зависит не только от координат рассматриваемых точек, но и от ориентации в пространстве площадок, на которые действует. Такие величины называют тензорами.

Проекция сил давления на ось ох равна

Масса тетраэдра равна произведению его объема на плотность, т. е.

следовательно, массовая сила, действующая на тетраэдр вдоль оси ох, равна

Уравнение равновесия тетраэдра запишется в следующем виде:

.

Разделим это уравнение на площадь , которая представляет собой проекцию наклонной граниdS на плоскость yOz и, следовательно, равна .

Будем иметь

.

При стремлении размеров тетраэдра к нулю последний член уравнения, содержащий множитель dх, будет также стремиться к нулю, а давления р_х и р_п будут оставаться величинами конеч­ными.

Следовательно, в пределе мы получим

, или .

Аналогично составляя уравнения равновесия вдоль осей Оу и Oz, после таких же рассуждений получим

, или

(2.2)

Так как размеры тетраэдра dx, dy и dz были взяты произвольно, то и наклон площадки dS произволен и, следовательно, в пределе при стягивании тетраэдра в точку давление в этой точке по всем направлениям будет одинаково.

Это положение можно еще очень легко доказать, основываясь на формулах сопротивления материалов для напряжений при сжатии по двум и трем взаимноперпендикулярным направлениям.

Для этого достаточно положить в указанных формулах касательное напряжение равным нулю и мы получим

.

Доказанное свойство гидростатического давления в неподвижной жидкости имеет место также при движении невязкой жидкости. При движении же вязкой жидкости возникают касательные напряжения, вследствие чего гидромеханическое давление в вязкой жидкости указанным свойством не обладает.