TOA_studentam / Лекции / 1

1.4 Передача теплоты через цилиндрическую стенку.

Граничные условия первого рода.

Рассмотрим стационарный процесс теплопроводности в цилиндрической стенке (трубе) с внутренним диаметром d₁ и наружным диаметром d₂. На поверхности стенки заданы постоянные температуры t₁ и t₂. В заданном интервале температур коэффициент теплопроводности материала стенки λ является постоянной величиной. Необходимо найти распределение температур в цилиндрической стенке и тепловой поток через неё. Для этого случая дифференциальное уравнение теплопроводности удобно записать в цилиндрической системе координат (ось z совмещена с осью трубы):

При заданных условиях температура изменяется только в радиальном направлении, поэтому

,

кроме этого, так как температуры на наружной и внутренней поверхностях трубы неизменны, изотермические поверхности являются цилиндрами, имеющими с трубой общую ось. Тогда температура не должна изменяться также вдоль φ, т.е.

С учётом этого дифференциальное уравнение теплопроводности упростится:

Граничные условия:

при r=r₁ t=t₁

при r=r₂ t=t₂

Решив уравнение с учётом граничных условий, получим уравнение температурного поля в цилиндрической стенке. Стандартный метод для решения такого дифура заключается во введении новой переменной

тогда справедливо:

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

Интегрируя, получаем:

Перейдём к первоначальным переменным:

После интегрирования получим:

Постоянные интегрирования можно определить, используя граничные условия:

при

при

Решение уравнений относительно постоянных интегрирования даёт:

Подставим их в полученное уравнение температурного поля:

Полученное выражение представляет собой уравнение логарифмической кривой. То обстоятельство, что распределение температуры в цилиндрической стенке является криволинейным, объясняется следующим образом.

Для плоской стенки плотность теплового потока q остаётся постоянной для всех изотермических поверхностей. По этой причине градиент температуры сохраняет для всех изотермических поверхностей постоянное значение. Для цилиндрической поверхности плотность теплового потока будет зависеть от радиуса, т.к. от радиуса зависит площадь изотермической поверхности. В результате градиент температуры будет переменным.

Для нахождения количества теплоты, проходящего через цилиндрическую поверхность площадью F в единицу времени, можно воспользоваться уравнением Фурье:

Тепловой поток может быть отнесён либо к единице длины трубы, либо к единице внутренней или внешней поверхности. При этом расчётные формулы для плотности теплового потока принимают вид:

- тепловой поток через единицу внутренней поверхности,

- тепловой поток через единицу наружной поверхности,

- тепловой поток через единицу длины трубы.

Тепловой поток, отнесённый к единице длины трубы, называется линейной плотностью теплового потока. Плотности теплового потока q₁ и q₂ неодинаковы, причём всегда q₁ > q₂. Легко установить связь между этими тепловыми потоками:

В случае, когда λ=f(t), линейную плотность теплового потока можно вычислить аналогично, используя среднеинтегральное значение коэффициента теплопроводности:

Граничные условия третьего рода (теплопередача)

Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку с постоянным коэффициентом теплопроводности. Заданы постоянные температуры подвижных сред и постоянные значения коэффициентов теплоотдачи. Необходимо найти q_l и t. Будем полагать, что длина трубы велика по сравнению с толщиной стенки. Тогда потерями теплоты с торцов трубы можно пренебречь, и при стационарном режиме тепловой поток будет постоянным. Следовательно, можно записать:

Преобразуем эти уравнения и получим температурный напор:

Обозначим выражение в скобках:

Эта величина называется линейным коэффициентом теплопередачи и измеряется в Вт/(мК). Она характеризует интенсивность передачи теплоты от одной среды к другой через разделяющую их стенку. Значение k_l численно равно количеству теплоты, которое проходит через стенку длиной 1 м в единицу времени от одной среду к другой при разности температур 1 К.

Величина R=1/k_l называется линейным термическим сопротивлением теплопередачи.

Таким образом, удельный тепловой поток можно вычислить по формуле:

Критический диаметр цилиндрической стенки.

Рассмотрим влияние изменения наружного диаметра на термическое сопротивление однородной цилиндрической стенки. Итак, имеем:

При постоянных значениях α₁, α₂, λ, d₁ полное термическое сопротивление теплопередачи трубы будет зависеть от внешнего диаметра. Изменения каждой из составляющих полного сопротивления показаны на рисунке. R_l1=const, R_lc (стенки) будет возрастать с увеличением d₂. R_l2 будет уменьшаться. Очевидно, что полное сопротивление будет определяться характером изменения составляющих.

Чтобы выяснить, как будет изменяться R₁ при изменении толщины цилиндрической стенки, исследуем R₁ как функцию d₂. Возьмём производную от R₁ по d₂ и приравняем её к нулю:

Значение d₂, вычисленное из этих выражений соответствует экстремальной точке кривой R_l. Вторая производная показывает, что в этой точке имеет место минимум. Таким образом, при значении диаметра

термическое сопротивление теплопередачи будет минимальным. Значение внешнего диаметра трубы, соответствующее минимальному полному сопротивлению теплопередачи называется критическим диаметром.

При d₂<d_кр с увеличением d₂ полное термическое сопротивление теплопередачи снижается (см. рисунок), так как увеличение площади наружной поверхности оказывает на термическое сопротивление большее влияние, чем увеличение толщины стенки.

При d₂>d_кр с увеличением d₂ полное термическое сопротивление теплопередачи возрастёт, что указывает на доминирующее влияние толщины стенки.

Изложенные соображения необходимо учитывать при выборе тепловой изоляции для покрытия различных трубопроводов.

Рассмотрим критический диаметр изоляции, наложенной на трубу. Термическое сопротивление теплопередачи для такой трубы:

Из уравнения

следует, что q₁ при увеличении внешнего диаметра изоляции d₃ будет сначала возрастать и при d₃=d_кр будет иметь максимум. При дальнейшем увеличении внешнего диаметра изоляции q₁ будет снижаться. Выбрав какой-либо изоляционный материал нужно рассчитать критический диаметр для заданных λ_из и α₂. Если окажется, что значение d_кр больше наружного диаметра трубы d₂, то применение выбранного материала в качестве тепловой изоляции нецелесообразно. В области d₂<d₃<d_криз при увеличении толщины изоляции будет наблюдаться увеличение теплопотерь. Это наглядно иллюстрируется рисунком. Только при d₃=d_{3 эф} тепловые потери вновь станут такими же, какими они были для неизолированного трубопровода. Следовательно, некоторый слой тепловой изоляции не будет оправдывать своего назначения.

Значит, для эффективной работы тепловой изоляции необходимо, чтобы d_{кр из}<d₂.

Пример. Трубу диаметром 20 мм необходимо покрыть теплоизоляцией – асбестом λ=0,1 Вт/(мК), коэффициент теплоотдачи во внешнюю среду α₂=5 Вт/(м²К). Целесообразно ли в данном случае использовать асбест в качестве материала для тепловой изоляции?

Критический диаметр изоляции . Так как d₂<d_{кр из}, то асбест в данном случае применять нецелесообразно.