TOA_studentam / Лекции / 2

2.3 Применение теории подобия при изучении процессов теплоотдачи.

Теория подобия – учение о подобных явлениях. Напомним, что подобие физических явлений возможно только в геометрически подобных системах. Для чего должно быть пропорциональны сходственные линейные размеры.

Условием подобия полей физических величин является пропорциональность значений этих величин в сходственных точках.

У подобных явлений подобны поля всех физических величин, характеризующих эти явления, т.е.

,

где  - значение любой физической величины (скорости, геометрии, вязкости, плотности, теплопроводности, температуры т.д.). Изучив одно явление на модели, и зная постоянные подобия, можно найти любые параметры во всех явлениях, подобных изученному, поскольку:

Сложность здесь в том, что постоянные подобия для различных физических величин не равны друг другу, и в то же время взаимообусловлены. При произвольном сочетании постоянных подобия явления не будут подобными. Для нахождения условий подобия математическое описание процесса приводят к безразмерному виду. В качестве примера рассмотрим процесс теплоотдачи при продольном омывании пластины длиной 1 стационарным потоком.

1. Ввиду стационарности течения жидкости все производные по времени в уравнениях сплошности, энергии, движения и теплоотдачи будут равны нулю.

2. Температуру t_ж и давление р_ж набегающего потока примем за начало отсчета, а избыточные значения этих параметров в любой точке будем обозначать  = t – t_ж и  = p – p_ж.

3. Задача двухмерная, причем ось y направлена вертикально вверх, поэтому проекция вектора g на нее будет равна –g, а на ось x нулю.

Полученные нами ранее дифференциальные уравнения примут вид:

уравнение сплошности

;

уравнение энергии

и, наконец, введем избыточную температуру  (тета):

Уравнение движения в проекциях на координатные оси (запишем лишь проекцию на ось у):

Уравнение теплоотдачи:

Граничные условия запишутся в виде:

на поверхности пластины при у = 0, 0 ≤ x ≤ l

для набегающего потока при x < 0

,

Начальные условия при решении стационарных задач не требуются, а геометрические и физические условия представляют собой параметры, задаваемые в качестве исходных данных: длину пластины l и величины, характеризующие теплофизические свойства теплоносителя - , , ν, a, , определяемые из справочников и принимаемые для простоты постоянными.

Введем масштабы для переменных величин, характерные для данной задачи. Для геометрических размеров и координат масштабом будет длина пластины l, для скоростей – скорость невозмущенного потока u_ж, для температур – избыточная температура стенки _с. Проще говоря, мы будем измерять линейные размеры в рассматриваемой задаче не в метрах, а в безразмерных долях от длины пластины, скорость в любой точке – в долях от скорости невозмущенного потока, а избыточную температуру – в долях от избыточной температуры стенки. Для перерасчета переменных от обычной системы единиц в новую безразмерную воспользуемся соотношениями:

, , ,

, , , .

Подставим в дифференциальные уравнения значения переменных, выраженные через безразмерные доли и соответствующие масштабы.

Уравнение сплошности:

Уравнение энергии:

Уравнение движения:

Уравнение теплоотдачи:

Поделим обе части уравнения на с таким расчетом, чтобы каждое слагаемое уравнения стало безразмерным:

.

Кроме безразмерных координат, скоростей температур в уравнения вошли еще пять безразмерных комплексов, объединивших десять размерных параметров:

, , , ,

Эти комплексы имеют вполне определенный физический смысл, и им присвоены имена ученых, внесших большой вклад в исследование процессов теплопереноса и гидродинамики.

Число Нуссельта Nu.

Безразмерный коэффициент теплоотдачи, выражающий отношение термического сопротивления теплопроводности слоя жидкости толщиной l к термическому сопротивлению теплоотдачи:

Число Рейнольдса Re.

Выражает отношение сил инерции (скоростного напора) к силам вязкого трения.

Число Прандтля Pr.

Состоит из величин, характеризующих теплофизические свойства вещества. Значения приводятся в справочниках.

Число Грасгофа Gr.

Характеризует отношение подъемной силы, возникающей вследствие теплового расширения жидкости, к силам вязкости.

Число Эйлера Eu.

Характеризует отношение перепада давлений к скоростному напору.

Безразмерные переменные X, Y, Θ, U_x, U_y, Nu, Re, Pr, Gr, Eu, связанные системой дифференциальных уравнений теплоотдачи, можно разделить на три группы:

1. Независимые переменные – безразмерные координаты X, Y.

2. Определяющие безразмерные числа Re, Gr, Pr. Они целиком состоят из величин, заданных условиями однозначности, т.е. известны еще до решения задачи.

3. Определение величины U_x, U_y, Nu, Eu, Θ. Это неизвестные, которые могут быть найдены в результате решения уравнений теплоотдачи. Число их должно быть равно числу уравнений.

Подобие условий однозначности предполагает одинаковое математическое описание начальных и граничных условий и геометрическое подобие рассматриваемых систем. Например, теплоотдачи от пластины с постоянной температурой, обтекаемой продольным потоком, не будет подобна теплоотдаче от пластины при движении потока под углом к пластине – нарушается геометрическое подобие.

Абсолютные значения размеров, скоростей, температур и величин, характеризующих теплофизические свойства теплоносителя в подобных явлениях, могут быть различны при условии, что комбинации их дают одинаковые определяющие их безразмерные числа (Re' = Re", Pr' = Pr", Gr' = Gr").

В сходственных точках с одинаковыми безразмерными координатами (X' = X", Y' = Y") равенство одноименных определяющих чисел приведет к равенству функционально связанных с ними определяемых величин (Nu' = Nu", Eu' = Eu", Θ' = Θ", U' = U").

Рассчитав постоянные подобия для любого интересующего нас параметра, можно по результатам исследований на модели найти значения этого параметра в целом классе подобных явлений, что резко увеличивает ценность экспериментальных явлений и позволяет моделировать крупномасштабные процессы.

Результаты экспериментальных исследований обобщают в виде уравнений в безразмерной форме. Эти уравнения связывают определяемое безразмерное число Nu (в него входит искомый коэффициент теплоотдачи α) с безразмерными координатами и определяющими безразмерными числами (критериями подобия). Вид уравнений подобия определяют, исходя из математического описания процесса в безразмерной форме.

Для рассмотренного случая теплоотдачи при обтекании пластины Nu = f₁(X, Re, Pr, Gr). Фактически это общий вид решения полученных нами безразмерных дифференциальных уравнений.

Задача эксперимента – определить конкретный вид функциональной зависимости. Безразмерные зависимости обладают рядом существенных преимуществ перед обычными размерными зависимостями, хотя в них входят одни и те же параметры. Прежде всего, количество безразмерных комплексов всегда меньше числа входящих в них размерных параметров, поэтому объем экспериментальных исследований резко уменьшается. Так в последнем уравнении всего пять безразмерных величин, объединяющих десять параметров (α, l, , x, u, v, a, g, _c, ). В ряде практических случаев число безразмерных величин будет еще меньше.

Для расчета теплового потока Q от всей поверхности F пользуются средним по поверхности коэффициентом теплоотдачи:

В отличие от местного (локального) коэффициента теплоотдачи, который может быть различным для различных участков поверхности, средний коэффициент теплоотдачи не зависит от координат. Следовательно, и значение числа зависит всего лишь от трех определяющих чисел Nu = f₂(Re, Pr, Gr).

При вынужденном течение можно пренебречь влиянием естественной конвекции, т.е. и тогда получаем уравнение:

При естественном (безнапорном) движении число Nu будет также зависеть только от двух определяющих чисел:

,

поскольку скорость естественного движения теплоносителя вдоль поверхности из условий однозначности неизвестна, то и число Re перейдет в разряд определяемых величин.

Подставив значения определяющих безразмерных чисел в соответствующую формулу и рассчитав по ней число Nu, можно сразу определить коэффициент теплоотдачи .