TOA_studentam / Лекции / 2

2.4. Понятие о методе анализа размерностей.

Критерии подобия и общий вид уравнений подобия можно по­лучить и при отсутствии математического заданного процесса, зная лишь все параметры, влияющие на определяемую величину.

Например, из опыта известно, что средний по поверхности коэффициент теплоотдачи от пластины длиной l при турбулентном те­чении теплоносителя вдоль нее зависит от следующих параметров:

= f1	( l	λ	cp	ρ	u	ν )
	м

Для отыскания критериев подобия необходимо, как и в теории подобия, привести уравнение к безразмерному виду. Введем новые характерные для данного процесса единицы измерения. Расстояние будем измерять не в метрах, а в безразмерных долях от длины пла­стины. Для этого каждую величину, входящую в уравнение, поделим на l в той же степени, какую имеет метр в единице измерения данной величины:

= f2	( l/l	λ∙l	cp	ρ∙l3	u/l	ν/l2 )
	-

Число параметров в правой части уравнения уменьшилось, так l/l = 1, т.е. мы избавились от того параметра, который приняли за единицу измерения. Если теперь ввести еще три новых единицы из­мерения: для времени l²/ν, для массы pl³ и наконец для отношения тепловой мощности к перепаду температур λ∙l, то в правой части рассматриваемой зависимости останется всего два параметра:

или

Дальнейшее уменьшение числа параметров за счет введения но­вых единиц невозможно, поскольку все оставшиеся параметры безразмерны.

Согласно основной теореме метода анализа размерностей (π – теорема): Зависимость между N размерными величинами, опреде­ляющими данный процесс, может быть представлена в виде зави­симости составленной из N -K безразмерных величин, где К - число первичных переменных с независимыми размерностями, которые не могут быть получены друг из друга.

Например, в нашем уравнении общее число переменных 7 из них 4 – первичных (их мы принимали за единицы измерения), соот­ветственно безразмерных критериев, в уравнении N – К = 7 - 4 = 3

Таким образом, методом анализа размерностей мы получили то же самое уравнение подобия, что и с помощью теории подобия.

Среднеарифметический и среднелогарифмический темпера­турные напоры. При решении задач можно вычислить среднеинтегральный тем­пературный напор:

однако в общем случае вычисление среднеинтегрального напора практически представляет серьезные трудности (особенно при экспериментальном определений средних коэффициентов теплоотдачи).

Поэтому часто используют среднеарифметический:

или среднелогарифмический:

температурные напоры (здесь Δt₁ и Δt₂ соответственно местный температурный напор в начале и в конце участка усреднения).

Экспериментальный метод получения критериальных урав­нений теплоотдачи. Перед началом экспериментальных исследований устанавлива­ют с помощью рассмотренных методов все определяющие безраз­мерные числа, от которых зависит определяемое число Nu. Напри­мер, при вынужденном течении жидкости вдоль пластины было по­лучено Nu=f(Re,Рr). Затем строится экспериментальная модель, в которой предусмотрено измерение всех параметров, входящих в оп­ределяемые и определяющие безразмерные числа. В том числе изме­ряют и величины, необходимые для расчета коэффициента теплоот­дачи по формуле:

Тепловой поток Q можно определить измерением мощности электронагревателя, с помощью которого обогревается пластина.

На модели проводится серия экспериментов, причем обычно в одной серии, условия однозначности изменяют так, чтобы изменя­лось только одно определяющее число, а остальные оставались постоянными. Так для изменения числа Re обычно варьируют скорость пото­ка u, которая не входит в другие критерии подобия. По результатам эксперимента строят графическую зависимость Nu от изменяемого безразмерного числа. Обычно это делают в логарифмических коор­динатах, в которых наиболее распространенная в эмпирических уравнениях степенная зависимость имеет вид прямой линии. Зави­симость между числами подобия обычно представляется в виде сте­пенных функций, например:

Логарифмируя это уравнение получим:

учитывая, что в этой серии опытов Pr = const, уравнение будет иметь вид:

Если экспериментальные данные в логарифмических координа­тах укладываются на прямую линию (смотрите рисунок), то показатель сте­пени n представляет собой тангенс угла наклона прямой к оси абс­цисс. Следовательно, значение n можно определить с помощью графического представления результатов:

П остоянная C определится из уравнения C = Nu / Reⁿ, которому удовлетворяет любая точка прямой. В случае если опытные точки располагаются на кривой линии, то эту кривую обычно заменяют ломанной и для каждого отрезка определяют значения показателя степени n.

Для определения показателя при числе Рг выполняют эксперимент при различных значениях числа Рr и получают семейство пря­мых в зависимости от параметра Рr. Эти опытные данные представ­ляют на графике в виде зависимости:

Из последнего графика определяют показатель степени m при критерии Pr, а затем по уравнению c=Nu/(ReⁿPr^m) определяют значе­ние коэффициента с.

В процессах теплообмена температура жидкости изменяется, и встает вопрос о том, при какой температуре выбирать теплофизические свойства жидкости, входящие в безразмерные числа. Эта тем­пература называется определяющей. При обработке эксперимен­тальных данных за определяющую можно принять любую из температур, характерных для исследуемой системы (температуру набегающего потока, среднюю температуру и т.д.).

Экспериментальные и теоретические исследования показывают, что нет такой универсальной температуры, в результате выбора ко­торой автоматически учитывалась бы зависимость теплоотдачи в связи с изменением физических параметров. Поэтому в качестве оп­ределяющей температуры принимают такую, которая в технических расчетах бывает задана или может быть легко вычислена.

Выбор определяющего размера – размера принятого за единицу измерения, в безразмерных числах получаемой эмпирической форму­лы, также в определенной степени произволен, но стараются брать тот размер, который оказывает наибольшее влияние на исследуемый процесс. При теплоотдаче от пластины – это длина в направлении течения потока, при теплоотдаче от трубы – это диаметр теплоотдающей поверхности.

При расчетах коэффициента теплоотдачи определяющую тем­пературу и линейный размер необходимо выбирать точно так же, как это сделано при экспериментальном получении формулы. Неучет этого обстоятельства может привести к значительным ошибкам. Поэтому в о писании формулы обязательно указывается, какие параметры принимать за опре­деляющие.

Теплоотдача при естественной конвекции. Рассмотрим свободное гравитационное течение для наиболее простых форм поверхности твердого тела (вертикальная пластина, горизонтальная труба). Предполагается, что объем жидкости настолько велик, что его свободное движение, возникающее у других тел, расположенных в объеме не сказывается на рассматриваемом течении. Свободное течение может быть как ламинарным, так и тур­булентным.

Для расчета коэффициента теплоотдачи в условиях естествен­ной конвекции в большом объеме теплоносителя обычно использу­ются критериальные уравнения вида:

Значение коэф­фициента b и показателя степени n в зависимости от величины произведения Gr∙Pr приводится в литературе:

Gr∙Pr	b	n
10-3 ÷ 102	1,18	1/8
5∙102 ÷ 2∙107	0,54	1/4
> 2∙107	0,135	1/3

Bсe параметры теплоносителя, входящие в критерии подобия, следует брать из справочника для данного теплоносителя при средней температуре между температурами поверхности и теплоносителя вдали от нее:

По данному критериальному уравнению можно рассчитывать теплоотдачу от поверхностей практически любой формы: вертикаль­ных и горизонтальных труб, шаров, вертикальных пластин. Для горизонтальных труб и шаров определяющий линейный размер, вхо­дящий в критерии Nu и Gr – это диаметр d, а для вертикальных труб и пластин – высота h.

Более того, если значение коэффициента b увеличить на 30% по сравнению с табличным, то формулой можно пользоваться и для расчета α от горизонтальной плиты, обращенной греющей стороной вверх. Если греющая сторона обращена вниз, то значение b надо уменьшить на 30% от табличного. В обоих случаях определяющим является наименьший размер плиты (но не толщина!).

Довольно часто приходится рассчитывать теплообмен естест­венной конвекцией в узких каналах. Типичный пример перенос теп­ла между стеклами. Как показывает эксперимент, большинство таких случаев (теплообмен в вертикальных, горизонтальных кольцевых щелях) можно приближенно объединить общей расчетной методи­кой. Среднюю плотность теплового патока q, между поверхностями, разделенными прослойкой газа или жидкости толщиной δ, можно рассчитывать, как в случае переноса тепла теплопроводностью:

,где λ_экв – эквивалентный коэффициент теплопроводности, учитывающий и конвективный перенос тепла.

При Gr∙Pr < 10³ естественную конвекцию можно вообще не учитывать, считая λ_ж = λ_экв. При Gr∙Pr > 10³ значение λ_экв рассчитывается по формуле λ_экв=ε_к∙λ_ж. Величина поправок на конвекцию определяется зависимостью:

Определяющий размер в этом случае толщина прослойки, а оп­ределяющая температура - средняя между температурами поверхно­стей.

Пример. Для отоплений гаража используют трубу, в которой протекает теплоноситель. Рассчитать коэффициент теплоотдачи и конвективный тепловой поток, если размеры трубы d = 0,1м, l = 10м, а температура стенки трубы t_c = 85С и воздуха 20С.

Средняя температура:

˚С

Теплофизические свойства воздуха при этой температуре:

λ = 2,84∙10^-2 Вт/(м∙К), ν = 18,2∙10^-6 м²/с, Pr = 0,697

1/К

Безразмерное число Gr:

По значению произведения Gr∙Pr ≈ 4,2∙10⁶ по таблице находим значения b= 0,54 n = 0,25. Следовательно:

Вт/(м²∙К)

Вт