Основные законы лучистого теплообмена.

Закон Планка устанавливает распределение интенсивности из­лучения по различным участкам спектра длин волн λ. Выделим уча­сток dλ в окрестности точки λ_i спектра. В этом интервале длин волн излучается энергия dE. Величина характеризует интенсивность излучения на данной длине волны λ_i и называется спектраль­ной плотностью потока излучения.

Связь спектральной плотности потока излучения абсолютно черного тела I₀ с длиной волны излучения и абсолютной температу­рой тела была установлена в 1900 году Планком:

,

где с₁, с₂ - постоянные излучения , (h - постоянная Планка, k - постоянная Больцмана, с - скорость света). Графи­чески закон Планка показан на рисунке.

Закон смещения Вина. Из рисунка и из закона Планка видно, что плотность потока излучения I возрастает от нуля при λ=0 до максимума при определенной длине волны λ_м и снова стремится к нулю при λ → ∞.

Вин в 1893 г. установил, что произведение Тλ_м есть величина постоянная: Тλ_м = 2,898 10^-3 м К. Из этого выражения следует, что с ростом температуры максимум излучения смещается в сторону ко­ротких волн. Так в излучении с поверхности солнца (5500 К) макси­мум приходится на видимую часть спектра λ~0,5 мкм, а в излучении электронагревателя 1100 К λ~3 мкм.

То обстоятельство, что с повышением температуры доля коротковолнового излучения в спектре увеличивается, может быть использовано для определения температуры излучения (цветовая темпера­тура).

Закон Стефана-Больцмана. На рисунке площадь заштрихован­ного прямоугольника, равная произведению I₀dλ_i определяет поверх­ностную плотность потока излучения абсолютно черного тела dE₀ = I_0λdλ₁ в диапазоне длин волн от λ_i до λ₁ + dλ.

Поверхностная плотность потока интегрального излучения аб­солютно черного тела Е₀ определяется суммированием dE по всем длинам волн, т.е. площадью под кривой для данной температуры тела

подставив сюда I из закона Планка и проведя интегрирование, полу­чим выражение:

здесь σ₀ = 5,67 10^-8 Вт/(м²К⁴) - постоянная Стефана-Больцмана. Фор­мула была получена опытным путем в 1879 Стефаном и теоретически обоснована в 1881 Больцманом. Для технических расчетов обычно используется в виде:

,

где с₀ = 5,67 называется излучательной способностью абсолютно чер­ного тела. Тела, с которыми имеют дело на практике, излучают меньше тепловой энергии, чем абсолютно черное тело при той же температуре. Если они излучают при этом во всем диапазоне спектра длин волн, они, как указано ранее, называются серыми.

Отношение поверхностной плотности потока собственного интегрального излучения Е данного тела к поверхностной плотно­сти потока интегрального излучения абсолютно черного тела при той же температуре называется коэффициентом теплового излуче­ния ε.

Используя понятие коэффициента теплового излучения, можно записать закон Стефана-Больцмана для реального тела

где с - излучательная способность серого тела.

Коэффициент теплового излучения ε меняется для различных тел от нуля до 1 в зависимости от материала, состояния поверхности, температуры.

Для алюминия с = 0,3; для чугуна 0,94; для никелированной стали 0,06.

Закон Кирхгофа. Устанавливает количественную связь между энергиями излучения и поглощения для серых и абсолютно черных тел.

Рассмотрим лучистый теплообмен между двумя телами: серым и абсолютно черным. Пусть их плоские поверхности, обращенные друг к другу – параллельны, расстояние между ними очень мало, площадь каждой поверхности составляет 1 м². Ввиду малого расстояния между ними практически все излучение каждой из рассматриваемых по­верхностей попадает на противоположную. Серое и черное тела име­ют соответственно температуры Т и Т₀, энергии излучения Е и Е₀, ко­эффициенты поглощения А и А₀ = 1. Остальные поверхности тел изо­лированы и в теплообмене с другими телами не участвуют.

Черная поверхность Ч излучает на серую поверхность С энер­гию Е₀. Часть этой энергии, равная АЕ₀, поглощается поверхностью серого тела, а остальная часть (Е₀ – АЕ₀) отражается на черную по­верхность, где полностью поглощается. Запишем баланс теплоты для серого тела: оно излучает энергию Е, а принимает АЕ₀. Тогда плот­ность результирующего потока теплоты от серого тела будет равна: q = E - AE₀.

При Т = Т₀ система находится в термодинамическом равновесии. Для нее q = 0. Тогда можем записать Е = АЕ₀. С учетом можем записать ε = A, т.е. коэффициент теплового излучения любого тела в состоянии термодинамического равновесия равен его коэффициенту поглощения при той же температуре.

Полученное выражение можно записать в виде:

Эта зависимость полученная Кирхгофом в 1882 г. является об­щей записью закона.

В соответствии с законом Кирхгофа отношение энергии излучения к коэффи­циенту поглощения не зависит от природы тела и равно энергии излучения абсолютно черного тела при той же температуре. Чем больше коэффици­ент поглощения, тем больше для этого тела и энергия излучения. Ес­ли тело мало излучает, то оно мало и поглощает. Абсолютно белое тело не способно излучать и поглощать энергию.

Закон Кирхгофа справедлив не только для всего спектра в це­лом, но и для излучения определенной длины волны (монохромати­ческого излучения). В этом случае он имеет вид:

Отсюда следует, что тело, излучающее энергию только в опре­деленной части спектра, способно и поглощать ее только в этой час­ти спектра.

Для монохроматического излучения выражение можно записать в виде ε_λ = А_λ. Здесь приведены коэффициенты поглощения и излуче­ния в узком интервале длин волн в окрестности рассматриваемой длины волны λ.

Закон Ламберта. Закон Стефана-Больцмана определяет количе­ство энергии, излучаемой телом по всем направлениям. Однако ин­тенсивность зависит от его направления, определяемого углом φ, ко­торый оно образует с нормалью к этой поверхности. Ламбертом в 1760 г. было установлено, что максимальное излучение Е_н имеет ме­сто в направлении нормали к поверхности. Количество энергии излу­чаемой под углом φ к нормали, пропорционально косинусу угла Е_φ = Е_нcosφ.

Отсюда видно, что интенсивность излучения вдоль поверхности равна 0.