TOA_studentam / Лекции / 4

4.0. Теплопроводность при нестационарном режиме (нагревание и охлаждение тел).

Аналитическое решение нестационарных задач теплопровод­ности.

Для нахождения распределения температур при нагревании или охлаждении твердых тел необходимо решить нестационарное дифференциальное уравнение теплопроводности, которое получается из уравнения энергии при отсутствии движения (u=0):

.

Для интегрирования уравнения необходимо задать условия однозначности, которые в данном случае включают в себя:

1. теплофизические свойства тела (с, ρ, λ)

2. форму и размеры тела,

3. начальное условие, определяющее температурное поле в теле в начальный момент времени τ = 0,

4. граничные условия, определяющие перенос теплоты на гра­ницах тела.

Чаще всего задается либо температура тела на его поверхности (так называемые граничные условия первого рода), либо температура омывающей тело среды и коэффициент теплоотдачи между ними (граничные условия третьего рода).

Решение нестационарной задачи рассмотрим на примере охлаждения бес­конечной пластины в среде с постоянной температурой и при постоянном коэффициенте тепло-отдачи. Заметим, что распределение температуры по сечению пластины конечных размеров будет практически таким же, как и в бесконечной, если рассматриваемое сечение отстоит от края на расстоянии, более чем в 10 раз превышающем толщину пластины. На практике решение таких задач необходимо, например, при расчете процессов термообработки: вначале пластина с комнатной температурой помещается в печь, где она нагревается го­рячими газами, а затем охлаждается в ванне с маслом.

Математическая постановка задачи состоит из нестационарного уравнения теплопроводности, которое для одномерного случая будет иметь вид:

(1)

из начального условия t_τ=0 = t₀ = const (2)

и граничного условия третьего рода.

Математическая формулировка граничного условия III рода получается из баланса двух тепловых потоков: подходящего за счет теплопро­водности к поверхности остывающего тела из его глубины

и отводимого теплоотдачей к теплоносителю

т.е.

(3)

Учитывая симметричность задачи относительно середины пла­стины, будем считать второй границей середину пластины х=0, где по условиям симметричности температурного поля при х=0 .

Воспользуемся теорией подобия. Введем безразмерные переменные , . Приведем уравнения 1-4 к безраз­мерному виду:

или (1)

(2)

или (3)

(4)

Согласно постановке задачи в безразмерной форме температура θ должна зависеть лишь от координаты X и двух определяющих без­размерных чисел: числа Фурье

которое представляет собой безразмерное время, и числа Био

Число Био характеризует отношение термического сопротивле­ния переносу теплоты теплопроводностью от середины твердого тела к его поверхности к термическому сопротивлению теплоотдачи .

Математическое выражение чисел Био и Нуссельта совпадают, но между ними есть два существенных отличия. В число Био входит коэффициент теплопроводности для твердого тела, а в число Нус­сельта входит коэффициент теплопроводности для жидкости. Второе отличие состоит в том, что число Нуссельта - определяемое, по­скольку коэффициент теплоотдачи α в нем неизвестен, а в число Био должно подставляться заданное условиями задачи число α. Поэтому число Био - определяющее, его величина известна из условий задачи.

Аналитическое решение уравнений получается следующим об­разом. Итак, имеем:

Решение этого уравнения ищем в виде произведения двух функ­ций, из которых одна является функцией только τ, а другая - только х (метод разделения переменных).

Подставляем в дифференциальное уравнение:

или

Разделяем переменные:

Левая часть зависит только от времени, правая только от координа­ты. Если зафиксировать х и менять только τ, то при любом его значении левая часть уравнения будет равна константе, стоящей в правой части. Аналогично, при фиксации τ. В результате можем записать уравнение в виде:

Постоянную k определим из граничных условий, а знак минус выбираем из физических соображений. Для тепловых процессов, стремящихся к тепловому равновесию, может быть только знак минус.

Получили систему:

Эти уравнения легко интегрируются: первому удовлетворяет функция , второму .

В результате получаем частное решение:

,

где k, C – постоянные.

Определимся с постоянными, используя начальные условия.

.

Используя условие, преобразуем:

Из анализа этого уравнения следует, что при каждом значении число Био существует бесконечное множество решений μ_i.

Наиболее просто они находятся графически.

Распределение температуры можно найти по формуле:

.

Распределение температуры по толщине пластины в различные моменты времени представляет собой семейство кривых с максиму­мом на оси пластины. Можно показать, что в любой момент времени F₀ > 0 (τ > 0) касательные к кривой распределения температуры на гра­нице пластины выходят из одной точки С, расположенной на оси X на расстоянии 1/Bi от поверхности пластины. Мы уже получили ранее , поэтому справедливо . При больших значениях Био практически при Bi > 100, когда α>>λ/δ, расстояние 1/Bi→0. Это значит, что сразу после начала процесса теп­лообмена поверхность тела охлаждается до температуры жидкости. При таких режимах изменение температуры внутри тела определяется только термическим сопротивлением теплопроводности и дальней­шее увеличение α уже не ускоряет процесс.

При малых значениях Bi→0 расстояние 1/Bi стремится к беско­нечности, т.е. касательная к кривой распределения тем­ператур в теле в течение всего периода охлаждения остается горизонтальной и само распределение температур представляет собой горизонтальную линию. Следовательно, температура не зависит от координат и в любой момент времени постоянна по всему сечению тела.

Регулярный режим.

Для этого важного случая зависимость температуры от времени для пластины может быть получена из следующих соображений. Те­ло произвольной формы с объемом V, все точки которого охлаждаются с одинаковой скоростью и за время dτ потеряет количество теплоты:

Одновременно эта теплота передается путем теплоотдачи к жидкости или газу с температурой t_ж от поверхности F, имеющей ту же температуру t, что и точки внутри тела

По закону сохранения энергии

Введя избыточную температуру и разделив переменные, получим:

Таким образом, избыточная температура тела с течением време­ни уменьшается экспоненциально. Режим охлаждения, при котором температура в любой точке тела изменяется во времени по экспоненте, называют регулярным.