
TOA_studentam / Лекции / 1.3 Теплопроводность при стационарном режиме
.doc1.3 Теплопроводность при стационарном режиме.
При установившемся, или стационарном тепловом режиме температура тела во времени остается постоянной. При этом полученное нами дифференциальное уравнение теплопроводности упрощается:
Если внутренние источники теплоты отсутствуют, то уравнение еще упростится:
Рассмотрим теплопроводность в телах простейшей геометрической формы.
Передача теплоты через плоскую стенку.
Рассмотрим
передачу теплоты через плоскую стенку
(рис. 1.3) в случае, когда заданы граничные
условия первого рода. Стенка толщиной
δ
имеет постоянный коэффициент
теплопроводности λ.
На наружных поверхностях стенки
поддерживаются постоянные температуры
t1
и t2.
При заданных условиях температура будет
изменяться только в направлении,
перпендикулярном плоскости стенки.
Направим ось х,
как показано на рис. 1.3, тогда для осей
y
и
z
справедливо:
В
Рис. 1.3.1 Передача теплоты
через плоскую стенку
Граничные условия в рассматриваемой передаче запишем следующим образом:
при х = 0, t = t1
при х = δ, t = t2
Дифференциальное уравнение вместе с граничными условиями дают полную математическую формулировку поставленной задачи.
В результате решения этой задачи должно быть найдено распределение температуры в плоской стенке t = f(x), и получена формула для определения плотности теплового потока.
Закон распределения температуры в плоской стенке найдем выполнив интегрирование уравнения:
Таким образом, при постоянном коэффициенте теплопроводности, температура в стенке изменяется по линейному закону.
Константы определим из граничных условий:
при х = 0, t = t1 => С2 = t1
при
х = δ,
t
= t2
=>
Для определения количества теплоты, проходящего через единицу поверхности стенки в единицу времени в направлении оси х, воспользуемся законом Фурье, согласно которому:
Учитывая, что
и
,
получим:
.
Из полученного уравнения следует, что количество теплоты, проходящее через единицу поверхности стенки в единицу времени, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности λ и разности температур, и обратно пропорционально толщине стенке δ. Отметим, что тепловой поток определяется не абсолютным значением температур, а их разностью, которую называют температурным напором.
Отношение
называется тепловой
проводимостью
стенки, а обратная величина
– тепловым
(термическим) сопротивлением
стенки, которое представляет собой
падение температуры в стенке на единицу
плотности теплового потока.
Зная плотность теплового потока, легко вычислить общее количество теплоты Q, которое передается через стенку площадью F за промежуток времени τ:
Используя, полученные выражения, можем записать температурное поле в виде:
В действительности коэффициент теплопроводности λ является переменной величиной. Рассмотрим случай, когда коэффициент теплопроводности является функцией температуры λ = λ(t).
Для многих материалов зависимость коэффициента теплопроводности от температуры близка к линейной:
,
где
– значение
коэффициента теплопроводности при 0°С.
На основании закона Фурье, запишем:
Выполнив
интегрирование
,
найдем среднеинтегральное значение
коэффициента теплопроводности:
Тогда плотность теплового потока можно вычислить по формуле:
Таким образом, если коэффициент теплопроводности зависит от температуры, то для вычисления теплового потока можно использовать среднеинтегральное значение теплопроводности в заданном интервале температур.
Передача теплоты через многослойную плоскую стенку.
Рассмотрим теплопроводность многослойной плоской стенки, состоящей из n однородных слоев. Примем, что контакт между слоями полный и температура на соприкасающихся поверхностях двух слоев одинакова.
При стационарном режиме тепловой поток, проходящий через любую изотермическую поверхность неоднородной стенки, один и тот же:
При заданных температурах на внешних поверхностях многослойной стенки, размерах слоев и соответствующих коэффициентах теплопроводности, можно составить систему уравнений:
…………………
Определив температурные напоры в каждом слое и выполнив суммирование, получим:
Отсюда можно получить плотность теплового потока:
Величина в знаменателе, равная сумме термических сопротивлений всех n слоев стенки, называется полным термическим сопротивлением многослойной стенки.
При сравнении
переноса теплоты через многослойную
стенку и стенку из однородного материала
удобно ввести в рассмотрение эквивалентный
коэффициент теплопроводности.
Он равен коэффициенту теплопроводности
однородной стенки, толщина которой δ
равна толщине многослойной стенки
,
а термическое сопротивление равно
термическому сопротивлению рассматриваемой
многослойной стенки, т.е.
Из полученного уравнения следует, что эквивалентный коэффициент теплопроводности зависит не только от теплофизических свойств слоев, но и от их толщины. Температуры на границах соприкосновения двух соседних слоев равны:
Для многослойной стенки в целом температурная кривая представляет собой ломанную линию.
Теплопередача.
Передача теплоты от одной среды (жидкости или газа) к другой через разделяющую их стенку любой формы называется теплопередачей. Теплопередача включает в себя теплоотдачу от более горячей жидкости (газа) к стенке, теплопроводность в стенке и теплоотдачу от стенки к более холодной жидкости (газу).
Р
Рис. 1.3.2 Теплопередача через плоскую
стенку
При заданных условиях необходимо найти тепловой поток от горячей жидкости к холодной и температуры на поверхности стенки.
Плотность теплового потока от горячей жидкости к стенке определяется уравнением:
Та же плотность теплового потока, обусловленная теплопроводностью, определится как:
Та же плотность теплового потока от второй поверхности стенки к холодной жидкости за счет теплоотдачи:
Определив из этих выражений температурный напор и выполнив суммирование, получим:
Отсюда плотность теплового потока:
Величина k
имеет такую же размерность, что и α
,
и называется коэффициентом
теплопередачи.
Коэффициент теплопередачи численно
равен количеству теплоты, которое
передается через единицу поверхности
стенки в единицу времени при разности
температур между жидкостями в один
градус.
Величина, обратная коэффициенту теплопередачи, называется термическим сопротивлением теплопередачи:
Термическое сопротивление теплопередачи складывается из термического сопротивления теплоотдачи от горячей жидкости к поверхности стенки, термического сопротивления теплопроводности стенки и термического сопротивления теплоотдачи от поверхности стенки к холодной жидкости.
Очевидно, что для многослойной стенки термическое сопротивление теплопередачи будет:
Тепловой поток Q, через поверхность стенки F равен:
Температуры поверхности стенки можно найти из уравнений:
Графический метод определения температур.
Рассмотрим графический метод определения температур на поверхности слоев многослойной стенки, в основу которого положено свойство линейной зависимости температурного напора от термического сопротивления стенки:
или для любого слоя:
Такая зависимость дает возможность построить фиктивную стенку, в которой толщины слоев будут пропорциональны соответствующим термическим сопротивлениям, а внешние термические сопротивления теплоотдачи учитываются путем введения двух условных граничных слоев соответствующей толщины. Сущность метода поясним на примере трехслойной стенки (рис. 1.3.3).
Термическое сопротивление теплопередачи через такую стенку равно:
Отложим на оси
абсцисс отрезки соответственно равные
термическим сопротивлениям перечисленным
в формуле. На границах отрезков проведем
перпендикуляры. На крайних перпендикулярах
отложим в произвольном масштабе
температуры жидкостей и соединим
полученные точки прямой. Эта прямая
отсечет на оставшихся перпендикулярах
температуры на
Рис. 1.3.3 Теплопередача через многослойную
стенку
или
Выполним некоторые преобразования:
=>
Из полученных соотношений следует:
Аналогично доказывается, что и другие отрезки соответствуют температурам на поверхности слоев стенки.
ЗАДАЧИ.
-
Определить тепловой поток через бетонную стену здания толщиной 200 мм, высотой 2,5 м и длиной 2 м. Если температуры на поверхности стены: t1 = 20°C; t2 = -10°C, а коэффициент теплопроводности бетона λ = 1 Вт/(м·°К).
Решение.
Так как процесс стационарный и внутренних источников тепла нет, то можно воспользоваться формулой, выведенной нами ранее:
-
На реке лед толщиной 300 мм покрыт слоем снега в 200 мм. Температура воздуха -15˚С. Коэффициент теплопроводности льда – 2,23 Вт/(м∙К), коэффициент теплопроводности снега – 0,46 Вт/(м∙К). Найти плотность теплового потока и температуру на границе льда и снега.
Решение.
Так как процесс стационарный и внутренних источников тепла нет, то можно воспользоваться формулой, выведенной нами ранее: