TOA_studentam / Лекции / 4

4.1. Численные методы решения задач теплопроводности.

Даже самые совершенные аналитические методы позволяют по­лучить точное решение задач теплопроводности только в простых случаях. Между тем существуют приближенные численные методы, с помощью которых можно решать практически любую задачу с учетом многих реальных особенностей явления. Трудности этих методов связаны с необходимостью выполнения большого количества вычис­лений. В настоящее время ПЭВМ достигли такой производительно­сти, что решение большого количества задач методами конечных элементов возможно в домашних условиях.

Более древнее название МКЭ - это метод конечных разностей или метод сеток. В этом методе рассматриваемое тело разбивается на несколько объемов ∆V конечных размеров (но не дифференциально малых dV, как это делается при аналитическом решении задачи) и каждому объему присваивается номер. В пределах объема, обычно в его центре, выбирается узловая точка, или узел. Теплоемкость всего вещества, находящегося в объеме ∆V (С = сρ∆V), считается сосредоточенной в узловой точке. Эти узловые точки соединяются друг с другом теплопроводящими стержнями с термическим сопротивлением R эквивалент-ным сопротивлению стенки толщиной, равной расстоянию между узлами, и пло­щадью, равной площади контакта объемов. Край­ние узлы в зависимости от рода граничных усло­вий либо поддерживаются при определенной температуре, либо обмениваются теплом с окружаю­щей средой. Система узлов и теплопроводящих стержней называется сеткой, см. рисунок.

После представления рассматриваемого тела в виде сетки со­ставляются уравнения теплового баланса для каждого узла. Система балансовых уравнений разностный аналог дифференциального урав­нения теплопроводности, в котором производные заменены отноше­ниями конечных приращений (разностей) независимых переменных.

Например, если начальные температуры в узлах сетки равны t₁ (эти температуры должны быть заданы в начальных условиях), а че­рез промежуток времени ∆τ будут равны t_i', то для любого узла мож­но составить баланс теплоты, приравняв изменение внутренней энер­гии к алгебраической сумме приходящих за время ∆τ количеств теплоты ∆Q по всем теплопроводящим стержням. Так, на­пример, для пятого узла сетки:

Число таких уравнений будет равно числу узлов, причем для всех внутренних узлов уравнения будут аналогичными, а уравнения для крайних узлов будут учитывать граничные условия. Решив эти уравнения относительно t_i', найдем температуру всех узлов через промежуток времени ∆τ с начала процесса. Затем полученное рас­пределение температур берется за начальное и решение повторяется. Многократное повторение этого расчета позволяет найти распреде­ление температуры в узловых точках в любой момент времени τ = N∆τ, где N - число повторений расчета.