TOA_studentam / Лекции / 2

2.2 Дифференциальные уравнения конвективного теплопереноса.

Основной закон конвективного теплообмена.

При аналитическом изучении любых физических процессов вначале составляют дифференциальные уравнения, описывающие поведение дифференциально малого объема рассматриваемой системы за малый промежуток времени. Затем эти уравнения интегрируют для всей пространственной и временной области.

Уравнение сплошности или неразрывности.

Из курса ГГД помним:

. (1)

Уравнение энергии.

Для получения уравнения рассмотрим элементарный объем в виде кубика со сторонами dx, dy, dz (см. рисунок). Кубик расположен так, чтобы его грани были параллельны соответству-ющим координатным плос-костям. Количество теплоты, которое подводится к граням элементарного объема за время d в направлении осей x, y, z обозначим соответственно dQ_x, dQ_y, dQ_z.

Количество теплоты, которое будет отводится через противоположные грани в тех же направлениях, обозначим соответственно dQ_x+dx, dQ_y+dy, dQ_z+dz.

Количество теплоты, подведенное за счет теплопроводности к грани dzdy в направлении оси x за время d, составляет:

,

а конвекцией

,

где h = c_pt – энтальпия жидкости.

Суммарное количество теплоты будет равно:

.

Функция Q является непрерывной в рассматриваемом интервале dx и может быть разложена в ряд Тейлора:

Разница между количеством теплоты, подведенным к элементарному объему, и количеством теплоты, отведенном от него, представляет собой теплоту:

Аналогичным образом можно найти количество теплоты, подводимое к объему в направлении двух других координатных осей y и z.

Количество теплоты dQ:

С учетом уравнения сплошности:

Согласно первому закону ТД для потока вся теплота dQ, подводимая к потоку, при отсутствии технической работы и изменения кинетической энергии расходуется на изменение энтальпии жидкости. Скорость изменения энтальпии в объеме dν равна dH/d, а за время d энтальпия изменится на:

Приравнивая правые части уравнений для тепла и энтальпии:

(2)

Полученное уравнение энергии называется уравнением Фурье-Кирхгофа.

Дифференциальное уравнение движения.

Для несжимаемой жидкости в векторной форме это уравнение имеет вид:

.

В поле сил тяжести массовая сила F – это сила тяжести:

Физически это уравнение движения представляет собой запись второго закона Ньютона, в котором сила инерции вещества в единичном объеме (правая часть) приравнена сумме сил тяжести, давления и вязкости, действующих на этот объем (левая часть уравнения). Вывод этого уравнения мы сделали в курсе ГГД.

В неизотермических условиях действие силы тяжести приводит к появлению подъемной силы (силы Архимеда), которое мы уже получили:

Чтобы не упускать явления естественной конвекции, добавим в левую часть подъемную силу, действующую на единичный объем прогретого теплоносителя. С учетом этих поправок уравнение движения неизотермической жидкости примет вид:

(3)

Система уравнений 1, 2, 3 замкнута, поскольку число уравнений равно числу переменных. Эта система описывает практически любой процесс конвективного теплообмена. Для конкретной задачи необходимо задать условия однозначности:

1. физические условия – теплофизические свойства с, , , , v;

2. геометрические условия;

3. временные;

4. граничные, определяют протекание процесса на внешних границах системы (1, 2, 3 рода).

Решение системы дифференциальных уравнений конвективного теплообмена с соответствующими условиями однозначности позволяет получить поля скоростей, температур, и давлений в жидкости.

Тепловой поток к поверхности через слой прилипшей к ней жидкости переносится исключительно теплопроводностью. Согласно полученной ранее формуле, количество теплоты, передаваемой теплопроводностью через площадку dF за время d, равно:

Для этого же количества теплоты в соответствии с законом Ньютона-Рихмана можно записать:

Приравняв правые части получим дифференциальное уравнение теплоотдачи:

,

которое позволит найти распределение местных коэффициентов теплопередачи по теплоотдающей поверхности.

Аналогичное решение полученной системы дифференциальных уравнений возможно в отдельных случаях с существенными упрощениями, поэтому обычно для получения расчетных зависимостей прибегают или к экспериментам или к решению численными методами на ЭВМ. Объем исследований получается очень большим. Если проводить эксперименты или числовые расчеты на ЭВМ, изменяя m раз каждый из n параметров, влияющих на теплообмен, то суммарное число экспериментов N=mⁿ. Обработка и использование таких результатов весьма затруднительны. Преодолеть эти трудности позволяет теория подобия.