3. Теория по расчету цепей при несинусоидальных токах напряжениях и э.Д.С.

Во всех задачах, где приходится иметь дело со сложными несинусоидальными кривыми токов и напряжений, очень важно уметь свести сложную задачу к более простой и применить методы расчета более простых задач. В настоящей главе рассматриваются методы расчета линейных цепей при несинусоидальных периодических или почти периодических токах и напряжениях, которые можно разложить на гармонические составляющие.

Разложение периодической несинусоидальной кривой в тригонометрический ряд.

Явления, происходящие в линейных цепях, при периодических, но несинусоидальных э. д. с, напряжениях и токах, проще всего поддаются исследованию, если кривую э. д. с, напряжения или тока разложить в тригонометрический ряд Эйлера — Фурье.

Рисунок 3.1 Пример разложения и синтеза несинусоидальной кривой при наличии первой и третьей гармоники с разными начальными фазами

Как известно, всякая периодическая функция f(ωt), удовлетво­ряющая условиям Дирихле, т. е. имеющая на всяком конечном интервале конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов, может быть разложена в тригонометри­ческий ряд Эйлера - Фурье:

Первый член ряда А_о называется постоянной состав­ляющей или нулевой гармоникой, второй член A_lrnsin(ωt+ψ₁) — основной синусоидой или первой гармоникой, а все остальные члены вида А_кm sin (kωt + ψ_k) при k > 1 носят название высших гармоник; ω = 2л/Т — основная частота; Т — период несинусоидальной периодической функции.

Тригонометрический ряд после раскрытия синуса суммы для каждой из гармонических составляющих или, короче, гармоник записывается и в иной форме:

Здесь B_km = А_km cosψ_k, C_km = А_km sinψ_k. Коэффициенты A_о, B_km и C_km могут быть вычислены при помощи следующих интегралов:

Постоянная составляющая A_о равна среднему значению функции f (t) за ее период Т = 2π/ω.

Зная коэффициенты ряда (7), легко перейти к форме (6), подсчитывая

Вводя условно отрицательные частоты, т. е. переходя к суммиро­ванию по k от — оо до + оо, можно ряду (6) придать более компакт­ный вид (где по существу каждая гармоника, кроме нулевой, входит под знак суммы дважды):

Постоянная составляющая в этом выражении получается при k = 0, что соответствует выражению (7), так как A_о = С_0m/2.

Значительное число непериодических функций времени, с которыми приходится встречаться в электротехнике (рис.3.2) удовлетворяет

условию

Функции, удовлетворяющие этому условию, называются сим­метричными относительно оси абсцисс. Они раскладываются в ряд, который не содержит четных гармоник и постоянной составляющей:

При выпрямлении переменного тока или напряжения часто приходится встречаться с функциями, которые при соответствующем выборе начала координат удовлетворяют условию (рис.3.2)

Такие функции называют симметричными относительно оси ординат. В этом случае ряд не содержит синусоидальных гармоник

Рисунок 3.2 Основные виды симметрии кривых

В схемах умножения частоты встречаются напряжения, которые при выборе начала координат в точке нуля функции удовлетворяют условию:

Такие функции называются симметричными отно­сительно начала координат и раскладываются в ряд, не содержащий косинусов и постоянной составляющей:

При оценке несинусоидальных периодических кривых в электро­энергетике, где кривые преимущественно симметричны относительно оси абсцисс, пользуются коэффициентом формы кривой к_ф, коэффи­циентом амплитуды k_a, коэффициентом искажения k_и.

Коэффициент формы определяется как отношение действующего напряжения (тока) к среднему по модулю значению:

Для синусоиды .Коэффициент амплитуды определяется как отношению максимального к действующему значению:

Для синусоиды .

Коэффициент искажения определяется как отношение действу­ющего значения основной гармоники к действующему значению всей кривой:

Для синусоиды к_и = 1

В информационной и энергетической электронике для оценки искажений используется коэффициент гармоник, который определяется как отношение действующего значения высших гармоник к действующему значению основной гармоники:

При отсутствии постоянной составляющей

Для синусоиды k = 0.

ЗАДАНИЕ 1. Расчет трехфазных цепей

Для электрической схемы, соответствующему номеру варианта и данным, приведенным в таблице 1.1, необходимо выполнить следующее:

1. Определить величины и направления комплексов токов во всех ветвях для четырех режимов:

• симметричной нагрузке;

• несимметричной нагрузке;

• короткого замыкания сопротивления фазы A=Za при симметричной нагрузке;

• обрыва цепи сопротивления Za при несимметричной нагрузке.

2. По найденным комплексам токов и падениям напряжений найти мгновенное значение этих величин и построить временные диаграммы.

3. Расчетные схемы электрических цепей необходимо приводить к виду “звезда-звезда”. После чего, просто найти напряжение смещения нейтрали, а затем, используя метод двух узлов, найти токи во всех ветвях.

4. Найти активную, реактивную и полную мощность системы и составить, используя их, уравнения баланса мощностей для всех режимов.

5. Построить треугольник мощностей для одной фазы при симметричной нагрузке, для всех фаз при несимметричной нагрузке и в аварийных режимах.

6. Построить векторные диаграммы токов и напряжений для симметричного, несимметричного и аварийных режимов.

Таблица 1.1

Вариант	Схема	Параметры источников			Симмет-ричный режим	Несимметричный режим
		Eф, В	Z, Ом	Zo, Ом	Za=Zb=Zc, Ом	Za, Ом	Zb, Ом	Zc, Ом
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	110	10	0	20+j30	20	20+j30	20-j30
2	1	110	10	10	20-j30	j20	10-j20	10+j20
3	2	110	10	-	20+j30	30	30+j30	30-j30
4	3	220	10	-	20-j30	j30	20-j30	20+j30
5	4	220	10	-	20+j30	40	30+j40	30-j40
6	1	110	10	j10	30+j20	j40	30-j40	30+j40
7	1	110	10	-j10	30+j20	20	20+j30	20-j30
8	2	110	10	-	30+j20	-j20	10-j20	10+j20
9	3	220	10	-	40+j30	30	30+j40	30-j40
1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	4	220	10	-	30+j20	-j30	30+j30	30-j30
11	1	110	j10	0	30+j20	40	40+j30	40-j50
12	1	110	j10	10	30-j40	-j40	40-j40	30+j20
13	2	220	j10	-	30+j30	20	30+j30	40-j50
14	3	220	j10	-	30-j40	j20	30-j40	30+j20
15	4	220	j10	-	30+j30	30	30+j30	30-j30
16	1	110	j10	j10	20-j30	j30	20+j10	20-j30
17	1	110	j10	-j10	20+j10	40	30+j20	30-j40
18	2	110	j10	-	20+j20	j40	20-j20	20+j20
19	3	220	j10	-	20-j20	20	30-j40	30+j20
20	4	220	j10	-	20+j20	-j20	30+j30	30-j30
21	1	110	-j10	0	30-j20	30	20-j10	20+j30
22	1	110	-j10	10	30+j40	-j30	20+j30	20-j20
23	2	110	-j10	-	20+j20	40	20-j20	20+j20
1	2	3	4	5	6	7	8	9
24	3	220	-j10	-	20-j10	-j40	30-j20	30+j40
25	4	220	-j10	-	30+j30	20	30+j30	30-j30
26	1	110	-j10	j10	20-j10	j20	20+j30	20-j10
27	1	110	-j10	-j10	20+j30	30	30-j20	30+j40
28	2	110	-j10	-	20+j20	j30	30+j30	30-j30
29	3	220	-j10	-	30-j20	40	20+j30	30+j40
30	4	220	-j10	-	30+j30	j40	30-j30	30+j30

Схемы для первого задания

ЗАДАНИЕ 2. Магнитные цепи при постоянных токах и напряжениях

0. Вычертить в масштабе магнитную цепь.

1. Разместить на ее стержнях заданные ампервитки. Согласно заданному направлению м.д.с. () указать направления токов в катушках.

2. Разбить каждый стержень магнитной цепи на участки постоянного сечения и обозначить длины этих участков, выбирая их по средней магнитной силовой линии.

3. Вычислить площади поперечного сечения стержней и длины этих участков. Результаты вычислений свести в таблицу № 2.2.

4. Вычертить электрическую схему, являющуюся аналогом магнитной цепи.

5. 6. Задаться направлениями магнитных потоков в стержнях (рекомендуется все три магнитные потока направить к узлу).

6. 7. Вычертить в масштабе кривую намагничивания стали, заданную таблицей № 2.3.

7. 8. Задаться значениями магнитной индукции в одном из стержней 1-ой ветви (0; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,8; 1,0; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6 Тл).

8. 9. Вычислить магнитный поток в первой ветви Ф1 для каждого значения первой ветви.

9. 10. Определить значения магнитной индукции на всех других участках первой ветви.

10. 11. Определить напряжения магнитного поля на всех участках первой ветви.

11. 12. Написать выражения магнитного напряжения между двумя узлами, совершая обход по первой ветви. Вычислить его для каждого значения магнитного потока. Результаты расчетов по пунктам 8, 9, 10, 11, 12 свести в таблицу № 2.4.

12. 13. Аналогичные вычисления выполнить для второй и третей ветвей магнитной цепи.

13. 14. По результатам расчетов построить в одной системе координат зависимости Ф1=f(Uтаб); Ф2=f(Uтаб).

14. 15. На основании 1-го закона Кирхгофа сложить магнитные потоки при одном и том же магнитном напряжении.

15. 16. Определить значения магнитных потоков в трех стержнях магнитной цепи и их действительные направления, как результат графического решения построения графиков. Определить действительные значения магнитного напряжения между двумя узлами.

16. 17. Зная значения магнитных потоков, вычислить магнитные сопротивления всех участков магнитной цепи, для чего предварительно определить магнитную проницаемость каждого стержня.

17. 8

    Таблица 2.1

№ варианта	Ампервитки I1W1			Ампервитки I2W2			Геометрические размеры магнитопровода											№ магнитной цепи
	№ стержня	Направление	А	№ стержня	Направление	А	a1	a2	a3	a4	a5	b	b1	b2	d	б1	б2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
1	1		460	2		200	3	10	4	12	3	15	3	3	5	1	-	1
2	1		620	2		340	3	10	4	12	3	15	3	3	5	1	-	1
3	1		500	3		1000	3	10	4	12	3	15	3	3	5	1	-	1
4	1		500	3		300	3	10	4	12	3	15	3	3	5	1	-	1
5	2		200	3		500	3	10	4	12	3	15	3	3	5	1	-	1
6	1		460	3		200	3	10	4	12	3	15	3	3	5	1	-	2
7	1		620	3		200	3	10	4	12	3	15	3	3	5	1	-	2
8	2		500	3		1000	3	10	4	12	3	15	3	3	5	1	-	2
9	2		500	3		300	3	10	4	12	3	15	3	3	5	1	-	2
10	1		200	3		500	3	10	4	12	3	15	3	3	5	1	-	2
11	2		200	3		460	3	12	4	10	4	16	4	4	6	1	-	3
12	2		340	3		620	3	12	4	10	4	16	4	4	6	1	-	3
13	1		1000	3		500	3	12	4	10	4	16	4	4	6	1	-	3
14	1		300	3		500	3	12	4	10	4	16	4	4	6	1	-	3
15	1		500	2		200	3	12	4	10	4	16	4	4	6	1	-	3
16	1		460	2		200	4	12	4	10	3	15	3	3	5	1	1.5	4
17	1		620	2		340	4	12	4	10	3	15	3	3	5	1.5	1	4
18	1		500	3		1000	4	12	4	10	3	15	3	3	5	1	1.5	4
19	2		500	3		300	4	12	4	10	3	15	3	3	5	1.5	1	4
20	2		200	3		500	4	12	4	10	3	15	3	3	5	1	1.5	4
21	1		200	3		460	3	10	4	12	4	16	4	4	6	1.5	1	5
22	1		340	3		620	3	10	4	12	4	16	4	4	6	1	1.5	5
23	1		1000	3		500	3	10	4	12	4	16	4	4	6	1.5	1	5
24	2		300	3		500	3	10	4	12	4	16	4	4	6	1	1.5	5
25	2		500	2		200	3	10	4	12	4	16	4	4	6	1.5	1	5
26	1		460	3		200	4	12	3	10	3	14	3	3	4	1	1.5	6
27	1		620	2		340	4	12	3	10	3	14	3	3	4	1.5	1	6
28	1		500	2		300	4	12	3	10	3	14	3	3	4	1	1.5	6
29	2		500	3		500	4	12	3	10	3	14	3	3	4	1.5	-	6
30	1		300	3		600	4	12	3	10	3	14	3	3	4	1	-	6

Таблица 2.2.

Участок цепи	Длина участков магнитопровода, м			Толщина воздушного зазора б, м	Сечение участков магнитопровода, м			Сечение зазора Sб, м2
	l’	l’’	l’’’		S’	S’’	S’’’
1-ая ветвь	l1’	l1’’	l1’’’	б1	S1’	S1’’	S1’’’	Sб1
2-ая ветвь	l2’	l2’’	l2’’’	б2	S2’	S2’’	S2’’’	Sб2
3-я ветвь	l3’	l3’’	l3’’’	б3	S3’	S3’’	S3’’’	Sб3

Таблица 2.3.

В, Тл	0,05		0,2	0,3	0,4		0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0	1,1	1,2
Н, А/м	171		136	165	200		246	300	350	410	490	600	755	1000
В, Тл	1,3	1.4		1,5
Н, А/м	1300	1820		2500

Таблица 2.4.

В

Тл

0

0,2

0,5

0,8

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

Ф1

Вб

B1’

Тл

B1’’

Тл

Bб

Тл

Н1’

А/м

Н1’’

А/м

Н1’’

А/м

Нб

А/м

Uab

А