1.2 Расчет трехфазных систем.

Трехфазные цепи - разновидность цепей синусоидального тока и потому расчет и исследование процессов в них производятся на основании символического метода, с построением векторных и топографических диаграмм.

а). Расчет симметричных цепей: производится для одной фазы системы, т.к. здесь I_А=I_В=I_С ; Z_А=Z_В=Z_С ; _А= _В = _С , т.е. имеет место полная симметрия. В этом случае при соединении звездой (рис. 4) линейные напряжения равны разностям соответствующих фазных напряжений:

, ,,

а при соединении треугольником линейные токи равны разностям соответствующих фазных токов:

, ,.

На рис. 6 и 7 представлены топографические векторные диаграммы для случаев соединения фаз приемника звездой и треугольником соответственно.

рис. 6	рис. 7

б). Расчет несимметричных цепей при соединении в звезду и звезду с нулевым проводом необходимо начинать с определения напряжение смещения нейтрали:

где АИ,ВИ,СИ - фазные напряжения источника; YA,YB, YC, Y0 - проводимости фаз нагрузки и нулевого провода.

Токи в фазах нагрузки и нейтральном проводе:

_А= Y_AAН =;_B = Y_BBН =;_C = Y_CCН =;

₀ = Y_0OO’ =,

где АН =АИ -ОО’ ;BН =BИ -ОО’ ;CН =CИ -ОО’ - фазные напряжения в несимметричной нагрузке.

Если нагрузка соединена в звезду без нулевого провода, то в (1) нужно принять Y0 = 0.

Если известны (в случае Y0 = 0) линейные напряжения AB,BC,CA, и проводимости фаз нагрузки, то фазные напряжения

нагрузки можно найти по формулам:

; ;.

в) Порядок расчета несимметричной нагрузки с соединением фаз в треугольник зависит от учета или неучета сопротивлений в линейных проводах (рис. 8).

Рис. 8 Несимметричная нагрузка с соединением фаз в треугольник

Если известны линейные напряжения между зажимами A, B, C, к которым присоединены сопротивления приемника, то задача определения токов в нагрузке решается по закону Ома, а затем находятся токи в линейных проводах. Однако обычно бывают известны напряжения на зажимах A, B, C источника питания, поэтому расчет несколько усложняется. Проще всего его провести, заменяя треугольник сопротивлений эквивалентной звездой. Определив токи в линейных проводах, нетрудно определить фазные напряжения приемника в эквивалентной звезде и получить линейные напряжения на фазах приемника - как разность фазных напряжений эквивалентной звезды, а затем вычислить токи в ветвях треугольника нагрузки. Формулы преобразования звезды сопротивлений (ZA, ZB, ZC) в эквивалентный треугольник (Zab, Zbc, Zca) и обратно имеют вид:

1.3 Мощность в трехфазных системах.

Активная мощность - это сумма активных мощностей фаз нагрузки с учетом активной мощности в сопротивлении нулевого провода: P = PA+PB+PC+P0. Аналогично – суммарная реактивная мощность: Q = QA+QB+QC+Q0. Тогда полная мощность несимметричной трехфазной нагрузки S =.

При равномерной нагрузке фаз:

P = 3U_ф I_ф соs =U_л I_л cos

Q = 3U_ф I_ф sin =U_л I_л sin

S = 3U_ф I_ф =U_л I_л

В уравновешенных системах суммарная активная мощность постоянна и не зависит от времени: P = PA+ PB+ PC = = 3UфIф cos = P.

В несимметричной трехфазной системе полная, активная и реактивная мощности определяется отдельно для каждой фазы нагрузки:

A =АНA = PA + jQA = UAHIA cosA + jUAHIA sin B =ВНB = PB + jQB = UBHIB cosB + jUBHIB sin C =СНC = PC + jQC = UCHIC cosC + jUCHIC sin 0 =ОО’0 = P0 + jQ0 = UOO’I0 cos0 + jUOO’I0 sin

Расчет трехфазных цепей, содержащих магнитосвязанные катушки, производится так же, как и расчет магнитосвязанных цепей однофазного синусоидального тока.

2. ТЕОРИЯ ПО МАГНИТНЫМ ЦЕПЯМ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Большинство электротехнических устройств основано на использовании магнитных цепей. Для усиления магнитного потока здесь применяются ферромагнитные материалы – электротехнические стали, пермаллои и ферриты.

Расчет магнитной цепи заключается в установлении связи между магнитным потоком – Ф, током в обмотках – I, числом витков – w и геометрическими размерами магнитопровода: сечением – S, шириной – а, глубиной – b и высотой – h сердечника, с учетом магнитных свойств материалов μ_а = μμ₀, из которых выполнен магнитопровод.

Магнитное поле в материале магнитопровода определяется плотностью магнитного потока или вектором магнитной индукции . Магнитная индукция в свою очередь зависит от величины вектора намагниченностии вектора напряженности магнитного поля.

Если среда магнитопровода однородная, то вектора можно заменить скалярными величинами, тогда

B = μ μ0 H = μа H,

где - абсолютная магнитная проницаемость вакуума;μ = (1 + J/H) = (1 + χ) – относительная магнитная проницаемость вещества; μ_а – абсолютная магнитная проницаемость вещества магнитопровода; χ = J/H – намагниченность вещества.

Связь между напряжением и током в катушке индуктивности, намотанной на ферромагнитном сердечнике и магнитной индукцией и напряженностью магнитного поля в ферромагнитном сердечнике устанавливается на основании двух законов:

- закона электромагнитной индукции и

- закона полного тока, который для скалярных величин имеет вид

Здесь потокосцепление ψ пропорционально произведению числа витков на магнитный поток в ферромагнитном сердечнике ψ = w Ф(t) = w S B(t), а магнитодвижущая сила (F), равная произведению силы тока в катушке на ее число витков (w) - пропорциональна произведению напряженности магнитного поля (H) на длину магнитопровода .

Магнитная индукция – B характеризует силовое действие магнитного поля на проводник с током, измеряется в системе СИ в – «Теслах» (Тл). Внесистемная единица измерения – «Гаусс»:

[B] = Т (Тл) = 10⁴ Гс, иначе [B] = Т (Тл) = Вб/м, так как В =Ф/S.

Одна Тесла , это индукция равномерного магнитного поля, в котором магнитный поток, через площадь поперечного сечения магнитопровода в 1м², перпендикулярную направлению магнитного поля, равен одному Веберу.

Магнитный поток – Ф, равный одному Веберу, это поток, который, при убывании до нуля за одну секунду, возбуждает в сцепленном с ним контуром э.д.с. самоиндукции величиной в один вольт.

Размерность магнитного потока в системе СИ вытекает из закона электромагнитной индукции

где Максвелл (Мкс) - внесистемная единица измерения.

Напряженность магнитного поля – H, в системе СИ измеряется в А/м, внесистемная единица измерения – Эрстед.

Напряженность магнитного поля в 1 А/м, это напряженность, возбуждаемая током, силой 12,566 А (4π), проходящим по прямому бесконечно длинному проводнику, на расстоянии 2 метра от его оси:

[H] = 1 А/м = 4π 10^-3 Эрстед.

Намагниченность вещества (J) – характеризует состояние вещества при намагничивании. Имеет ту же размерность, что и напряженность поля - Н.

Намагниченность вещества обусловлена наличием у него спонтанно (самопроизвольно) намагниченных областей, которые под воздействием внешнего магнитного поля ориентируются (в разной степени) вдоль силовых линий внешнего магнитного поля.

Абсолютная магнитная проницаемость магнитопровода зависит от строения и магнитного состояния вещества. При изменении напряженности магнитного поля она изменяется в соответствии с нелинейной кривой намагничивания

Рисунок 1. Кривая намагничивания

Размерность абсолютной магнитной проницаемости определяется из отношения магнитной индукции к напряженности магнитного поля:

В общем случае зависимость B от H для ферромагнитных материалов не имеет точного аналитического описания, поэтому для каждого материала она изображается графически:

Рисунок 2. Петля гистерезиса

Здесь: 1 - основная кривая намагничивания, 2 - основная кривая размагничивания; ± B_R – остаточная магнитная индукция, ± H_С – коэрцитивная (задерживающая) сила.

Между величинами, характеризующими магнитные и электрические цепи постоянного тока существует формальная аналогия, позволяющая для магнитных цепей ввести ряд понятий аналогичных тем, которые используются при расчете электрических цепей постоянного тока.

а)	б)
Рисунок 3.Катушка индуктивности на замкнутом магнитопроводе (а) и ее схема замещения (б)

1. В электрических цепях протекают токи, а в магнитных цепях – магнитные потоки т.е. можно утверждать, что между магнитным потоком и электрическим током существует формальная аналогия Ф ~ I.

2. В электрических цепях токи протекают под воздействием источников э.д.с. (E), а в магнитных цепях – магнитные потоки (Ф) возбуждаются магнитодвижущими силами (м.д.с.) - т.е. можно утверждать, чтоF ~ E.

3. В электрических цепях токи ограничиваются сопротивлениями. По аналогии в магнитных цепях можно ввести понятие магнитного сопротивления:

где - длина и сечение провода;- длина и сечение магнитопровода; γ и μ_а– соответственно, удельная электропроводность и абсолютная магнитная проницаемость, характеризующие свойства различных сред.

Размерность магнитного сопротивления сердечника:

Реальный магнитный поток состоит из основного потока, замыкающегося через ферромагнитный сердечник и потока рассеяния. Если сердечник замкнут, то потоки рассеяния весьма малы (Ф_σ ≈ 0,01Ф_ном) и ими, как правило, пренебрегают.

Рассмотрим замкнутую магнитную цепь, представленную на рис.3.

Если принять, что S₁ > S₂, а Ф₀ = const в любом сечении сердечника,

то магнитные индукции или плотности магнитного потока в каждом сечении

магнитопровода будут пропорциональны потоку Ф₀ и обратно пропорциональны сечениям сердечника: B₁ = Ф₀/S₁ и B₂ = Ф₀/S₂ . Тогда напряженности магнитного поля на отдельных участках найдем как:

На основании закона полного тока, м.д.с. воздействующая на магнитную цепь должна уравновешиваться суммой магнитных падений напряжений:

В то же время, падения напряжений на отдельных участках магнитопровода можно найти из схемы замещения (рис.3.б), как произведения магнитного потока на магнитные сопротивления отдельных участков:

Следовательно, падения напряжения на отдельных участках магнитопровода можно определять двояко, как произведения магнитного потока на магнитные сопротивления отдельных участков или как произведения напряженностей магнитного поля на отдельных участках магнитопровода на длины отдельных участков:

Тогда закон Ома для магнитной цепи можно записать следующим образом:

Из курса физики известно, что магнитный поток сквозь любую замкнутую поверхность должен быть равен нулю (рис. 4), следовательно, для

Рисунок 4. Узел магнитной цепи

узлов магнитной цепи должно быть справедливо следующее выражение:

Последнее выражение представляет собой первый закон Кирхгофа для магнитной цепи: «Алгебраическая сумма магнитных потоков сходящихся в узле магнитной цепи должна быть равна нулю».

Используя закон полного тока, можно для разветвленной магнитной цепи получить уравнение выражающее второй закон Кирхгофа:

Правило. «Алгебраическая сумма м.д.с. действующих в замкнутом контуре магнитной цепи, должна уравновешиваться алгебраической суммой магнитных падений напряжений на участках магнитопровода в том же контуре».

При расчете магнитных цепей приходится решать два типа задач.

В одних - по заданному магнитному потоку Ф₀ требуется определить ток намагничивания «I» и м.д.с. F = I w, а в других типах задач - по заданной м.д.с. F или току намагничивания «I» требуется определить магнитный поток Ф₀ .

Задачи первого типа получили название задач «прямого решения». Они решаются графо-аналитическими методами, а задачи второго типа получили название «обратных» задач. Из-за нелинейной связи между магнитным потоком Ф₀ и током намагничивания «I», обусловленной насыщением магнитопровода, такие задачи не имеют графо-аналитического решения. Как правило, они решаются методами последовательного приближения, т.е. итерационными методами.

Приведенные в учебном пособии задачи по расчету магнитных цепей постоянного тока относятся к задачам имеющим «прямое решение». Здесь как минимум один из стержней магнитопровода содержит воздушный зазор, который обеспечивает для него практически линейный режим работы, а остальные стержни магнитопровода выполнены из однородного материала и имеют (на всем своем протяжении) одинаковое сечение.